含参积分求导/积分上限函数求导/

定理： 设 f(x,y),fy(x,y)f(x,y),f_y(x,y)f(x,y),fy(x,y) 都是闭矩形 [a,b]×[c,d][a,b]\times [c,d][a,b]×[c,d],上的连续函数，又设 a(y),b(y)a(y),b(y)a(y),b(y) 是在 [c,d][c,d][c,d] 上的可导函数，满足 a⩽a(y)⩽b,a⩽b(y)⩽ba\leqslant a(y)\leqslant b,a\leqslant b(y)\leqslant ba⩽a(y)⩽b,a⩽b(y)⩽b，则函数

F(y)=∫a(y)b(y)f(x,y)dxF(y)=\int_{a(y)}^{b(y)}f(x,y)\mathrm{d}xF(y)=∫a(y)b(y)f(x,y)dx

在 [c,d][c,d][c,d] 上可导，并且在 [c,d][c,d][c,d] 上成立

F′(y)=∫a(y)b(y)fy(x,y)dx+f(b(y),y)b′(y)−f(a(y),y)a′(y)F'(y)=\int_{a(y)}^{b(y)}f_y(x,y){\rm d}x+f(b(y),y)b'(y)-f(a(y),y)a'(y)F′(y)=∫a(y)b(y)fy(x,y)dx+f(b(y),y)b′(y)−f(a(y),y)a′(y)

说实话这个定理看起来容易让人迷惑，下面举个例子吧

例：设

F′(y)=∫0yln⁡(1+xy)xdx,y>0F'(y)=\int_0^y\frac{\ln(1+xy)}{x}\mathrm{d}x,\quad y>0F′(y)=∫0yxln(1+xy)dx,y>0

求 F′(y)F'(y)F′(y)

F′(y)=∫0y11+xydx+ln⁡(1+y2)y=(ln⁡(1+xy)y)∣0y+ln⁡(1+y2)y=2yln⁡(1+y2)\begin{aligned} F'(y)&=\int_{0}^y\frac{1}{1+xy}\mathrm{d}x+\frac{\ln(1+y^2)}{y}\\ &=\left.\left(\frac{\ln(1+xy)}{y}\right)\right|_0^y+\frac{\ln(1+y^2)}{y}\\ &=\frac{2}{y}\ln(1+y^2) \end{aligned}F′(y)=∫0y1+xy1dx+yln(1+y2)=(yln(1+xy))∣∣∣∣0y+yln(1+y2)=y2ln(1+y2)

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