模长，方向余弦，方向角、单位向量和方向导数的计算

设已知两点 M1(5,2,2),M2(4,0,3)M_1(5, \sqrt{2}, 2), M_2(4, 0, 3)M1(5,2,2),M2(4,0,3) ，计算向量M1M2→\overrightarrow{M_1M_2}M1M2

模长
M1M2→=M2→−M1→=(−1,−2,1)∣M1M2→∣=(−1)2+(−2)2+12=2\overrightarrow{M_1M_2}=\overrightarrow{M_2}-\overrightarrow{M_1}=(-1, -\sqrt{2}, 1) \\ |\overrightarrow{M_1M_2}|=\sqrt{(-1)^2 + (-\sqrt{2})^2 + 1^2} = 2 M1M2=M2−M1=(−1,−2,1)∣M1M2∣=(−1)2+(−2)2+12=2
方向余弦
cosα=x∣M1M2→∣=−12=−12cosβ=y∣M1M2→∣=−22=−22cosγ=x∣M1M2→∣=12=12cos\alpha = \frac{x}{|\overrightarrow{M_1M_2}|} = \frac{-1}{2} = - \frac{1}{2} \\ cos\beta = \frac{y}{|\overrightarrow{M_1M_2}|} = \frac{-\sqrt{2}}{2} = - \frac{\sqrt{2}}{2} \\ cos\gamma = \frac{x}{|\overrightarrow{M_1M_2}|} = \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \\ cosα=∣M1M2∣x=2−1=−21cosβ=∣M1M2∣y=2−2=−22cosγ=∣M1M2∣x=21=21
其中：
(cosα)2+(cosβ)2+(cosγ)2=1(cos\alpha)^2 + (cos\beta)^2 + (cos\gamma)^2 = 1(cosα)2+(cosβ)2+(cosγ)2=1
方向角
α=2π3,β=3π4,γ=π3\alpha = \frac{2\pi}{3}, \beta = \frac{3\pi}{4}, \gamma = \frac{\pi}{3}\\ α=32π,β=43π,γ=3π
方向一致的单位向量
M1M2→∣M1M2→∣=(−1,−2,1)2=(−12,−22,12)\frac{\overrightarrow{M_1M_2}}{|\overrightarrow{M_1M_2}|} = \frac{(-1, -\sqrt{2}, 1)}{2} = (-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{1}{2}) \\ ∣M1M2∣M1M2=2(−1,−2,1)=(−21,−22,21)
设f(x,y,z)=x+y2+z3f(x, y, z) = x + y^2 + z^3f(x,y,z)=x+y2+z3，求 fff 在点 P0(1,1,1)P_0(1, 1, 1)P0(1,1,1) 沿方向 M1M2→\overrightarrow{M_1M_2}M1M2 的方向导数。
解：易见 fff 在 P0(1,1,1)P_0(1, 1, 1)P0(1,1,1) 可微，所以：
fx(P0)=1,fy(P0)=2,fz(P0)=3f_x(P_0) = 1, f_y(P_0) = 2, f_z(P_0) = 3 \\ fx(P0)=1,fy(P0)=2,fz(P0)=3
根据 2. 方向余弦，因此方向导数 fM1M2→f_{\overrightarrow{M_1M_2}}fM1M2：
fM1M2→(P0)=fx(P0)⋅cosα+fy(P0)⋅cosβ+fz(P0)⋅cosγ=1∗(−12)+2∗(−22)+3∗12f_{\overrightarrow{M_1M_2}}(P_0) = f_x(P_0) · cos\alpha + f_y(P_0) · cos\beta+ f_z(P_0) · cos\gamma \\ = 1 *( - \frac{1}{2}) + 2 * (- \frac{\sqrt{2}}{2}) + 3 * \frac{1}{2} fM1M2(P0)=fx(P0)⋅cosα+fy(P0)⋅cosβ+fz(P0)⋅cosγ=1∗(−21)+2∗(−22)+3∗21

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