SIRS传染病模型求解及MATLAB实现

模型假设

1、总人数N不变。人群分为健康者、病人和移出者三类。t时刻三类人数量分别记为s(t),i(t)和r(t)。

2、病人的日接触率为 $\lambda$ ，日治愈率为 $\mu$ 。

3、移出者康复后只有暂时免疫力，单位时间内将有 $\gamma$ 的移出者丧失免疫而可能再次被感染。

模型构成

由假设1显然有

$s(t)+i(t)+r(t)=N$ （1-1）

建立关于s(t),i(t)和r(t)的三个方程

$\left\{\begin{matrix}i(t+\bigtriangleup t)-i(t)=\lambda s(t)\cdot i(t)\cdot \bigtriangleup (t)-\mu i(t)\cdot \bigtriangleup (t) \\ s(t+\bigtriangleup t)-s(t)=-\lambda s(t)\cdot i(t)\cdot \bigtriangleup (t)+\gamma r(t)\cdot \bigtriangleup (t) \\ r(t+\bigtriangleup t)-r(t)=\mu i(t)\cdot \bigtriangleup (t)-\gamma r(t)\cdot \bigtriangleup (t) \end{matrix}\right.$ （1-2）

记初始时刻的健康人、病人和移出者人的比例分别是 $s_{0}(s_{0}>0)$ ， $i_{0}(i_{0}>0)$ 和 $r_{0}(r_{0}>0)$ ，则SIRS模型的方程可以写作

$\left\{\begin{matrix} \frac{\mathrm{d} s}{\mathrm{d} t}=-\lambda si+\gamma r \\\frac{\mathrm{d} i}{\mathrm{d} t}=\lambda si-\mu i \\\frac{\mathrm{d}r }{\mathrm{d} t}=\mu i-\gamma r \end{matrix}\right.$ （1-3）

方程（1-3）中无法求出s(t),i(t)和r(t)的解析解，我们先作稳定性分析。

稳定性分析

由于s(t)+i(t)+r(t)=N是一个常数，所以令r=N-s-i,则式(1-3)可以降阶为

$\left\{\begin{matrix} \frac{\mathrm{d} s}{\mathrm{d} t}=-\lambda si+\gamma N-\gamma s-\gamma i \\ \frac{\mathrm{d} i}{\mathrm{d} t}=\lambda si-\mu i \end{matrix}\right.$ （1-4）

引理1 令 $\Omega =\begin{Bmatrix}(s,i):s\geq 0,i\geq 0,s+i\leqslant 1 \end{Bmatrix}$ ，则 $\Omega$ 为方程（1-4）的正向不变集。

定义阈值 $\theta =\frac{\lambda N}{\mu }=\frac{0.1}{0.1}=1$ ,可以得到如下关于平衡点稳定性的结论：

定理1 如果 $\theta \leqslant 1$ ，则方程（1-4）只有疾病消除平衡点 $E_{0}(N,0)$ ，并且是全局渐进稳定的。

定理2 如果 $\theta > 1$ ，则方程（1-4）存在唯一的，且全局渐进稳定的地方平衡点 $E_{1}(s^{*},i^{*})$ ，其中 $s^{*}=\frac{\mu }{\lambda }$ ， $i^{*}=\frac{\gamma (N-s^{*})}{\mu +\gamma }$ 。

模型优化

根据阈值的定义和以上2个定理，就某一地区而言，当所研究的传染病的传染力不是很强，即传染率 $\lambda$ 满足 $\lambda \leqslant \frac{\mu }{N}$ 时，由疾病消除平衡点的全局稳定性可知传染病最终会在该地区消除的；而当所研究的传染病的传染力较强，即传染率 $\lambda$ 满足 $\lambda> \frac{\mu }{N}$ 时，由正平衡点的全局稳定性可知传染病会在该地区蔓延下去，成为地方病。希望通过采取人为的措施，即对传染病的动力系统进行有效的控制，使 $\lambda> \frac{\mu }{N}$ 时系统的疾病消除平衡点 $E_{0}(N,0)$ 具有很好的全局性态，这样疾病将最终消除，为此考虑如下的方程：

$\left\{\begin{matrix} \frac{\mathrm{d} s}{\mathrm{d} t}=-\lambda si+\gamma N-\gamma s-\gamma i \\ \frac{\mathrm{d} i}{\mathrm{d} t}=\lambda si-\mu i+u(s,i) \end{matrix}\right.$ （1-5）

其中 $u(s,i)$ 为控制项。

如果只考虑对染病者施加控制，在医学上一般采用的方法有2种：一种是用有效的药物对染病者进行治疗；另一种是将染病者隔离起来以避免染病者与易感者的接触。令 $k_{1}$ 和 $k_{2}$ 分别表示隔离率和治愈率，考虑如下形式的控制器： $u=-k_{1}\lambda si-k_{2}i$ 。

定理3对于方程（1-5），如果 $\lambda> \frac{\mu }{N}$ ，施加控制 $u=-k_{1}\lambda si-k_{2}i$ ，且 $k_{1}$ ， $k_{2}$ 满足 $0<1-\frac{1}{\theta }\leqslant k_{1}<1$ ， $k_{2}>0$ ，则 $E_{0}(N,0)$ 全局渐近稳定。

数值计算

例在方程（1-4）中，假设N=100, $\mu=0.1$ ， $\gamma =0.05$ ，则得到如下系统：

$\left\{\begin{matrix} \frac{\mathrm{d} s}{\mathrm{d} t}=-\lambda si+5-0.05 s-0.05 i \\ \frac{\mathrm{d} i}{\mathrm{d} t}=\lambda si-0.1 i+u\end{matrix}\right.$ （1-6）

现分别在 $\lambda$ =0.001， $\lambda$ =0.01时讨论其平衡点的稳定性：

当 $\lambda$ =0.001时， $\theta =\frac{\lambda N}{\mu }=\frac{0.1}{0.1}\leqslant 1$ ，方程（1-6）只有疾病消除平衡点 $E_{0}(100,0)$ ，由定理1可知 $E_{0}(100,0)$ 是全局渐近稳定的。

当 $\lambda$ =0.01时， $\theta =\frac{\lambda N}{\mu }=\frac{1}{0.1}>1$ ，由定理2可知方程（1-6）有唯一的、全局渐近稳定的地方病平衡点 $E_{1}(s^{*},i^{*})$ ，其中

$s^{*}=\frac{\mu }{\lambda }=10$ ， $i^{*}=\frac{\gamma (N-s^{*})}{\mu +\gamma }=30$

假定3 个不同的初值：（30，70），（50，50），（80，20）。

当 $\lambda$ =0.001时，得到如图1的相空间曲线，由图可以看到，无论初值如何，最终都趋于 $E_{0}(100,0)$ 。

%%子程序
function y=ill(t,x)
N=100;a=0.001;b=0.1;c=0.05;
y=[-a*x(1)*x(2)+5-c*x(1)-c*x(2),a*x(1)*x(2)-b*x(2)]';
%%运行的程序
[t,x]=ode45('ill',[0,100],[30,70]);
plot(x(:,1),x(:,2));
hold on
[t,x]=ode45('ill',[0,100],[50,50]);
plot(x(:,1),x(:,2));
hold on
[t,x]=ode45('ill',[0,100],[80,20]);
plot(x(:,1),x(:,2));
xlabel('s(t)');ylabel('i(t)')
legend('(30,70)','(50,50)','(80,20)')

当 $\lambda$ =0.01时，得到如图2的相空间曲线，由图可以看到，无论初值如何，最终都趋于 $E_{1}(s^{*},i^{*})=\begin{pmatrix} 10,30 \end{pmatrix}$ 。在这种情况下疾病不能最终被消除，成为该地区的地方病，为此考虑疾病的控制问题。

%%子程序
function y=ill(t,x)
N=100;a=0.01;b=0.1;c=0.05;
y=[-a*x(1)*x(2)+5-c*x(1)-c*x(2),a*x(1)*x(2)-b*x(2)]';
%%运行的程序
[t,x]=ode45('ill',[0,100],[30,70]);
plot(x(:,1),x(:,2));
hold on
[t,x]=ode45('ill',[0,100],[50,50]);
plot(x(:,1),x(:,2));
hold on
[t,x]=ode45('ill',[0,100],[80,20]);
plot(x(:,1),x(:,2));
xlabel('s(t)');ylabel('i(t)')
legend('(30,70)','(50,50)','(80,20)')

当 $\lambda$ =0.01时，为使疾病消除平衡点 $E_{0}(100,0)$ 全局渐近稳定，需要对病人施加有效的控制，考虑如下的系统：

$\left\{\begin{matrix} \frac{\mathrm{d} s}{\mathrm{d} t}=-\lambda si+5-0.05 s-0.05 i \\ \frac{\mathrm{d} i}{\mathrm{d} t}=\lambda si-0.1 i+u\end{matrix}\right.$ （1-7）

由定理3，取 $u=-k_{1}\lambda si-k_{2}i$ ，并令隔离率 $k_{1}=0.9\geqslant 1-\frac{1}{\theta }=0.9$ ，治愈率 $k_{2}=0.01$ ，仿真得到如图3的相空间曲线。由图3可知，方程（1-7）的平衡点( 100，0) 全局渐近稳定，也就是说，当 $\lambda$ =0.01时，控制 $u=-k_{1}\lambda si-k_{2}i$ 使方程（1-7）的疾病消除平衡点 $E_{0}(100,0)$ 全局渐近稳定。

%%子程序
function y=ill(t,x)
N=100;a=0.01;b=0.1;c=0.05;k1=0.9;k2=0.01;
y=[-a*x(1)*x(2)+5-c*x(1)-c*x(2),a*x(1)*x(2)-b*x(2)-k1*a*x(1)*x(2)-k2*x(2)]';
%%运行的程序
[t,x]=ode45('ill',[0,100],[30,70]);
plot(x(:,1),x(:,2));
hold on
[t,x]=ode45('ill',[0,100],[50,50]);
plot(x(:,1),x(:,2));
hold on
[t,x]=ode45('ill',[0,100],[80,20]);
plot(x(:,1),x(:,2));
xlabel('s(t)');ylabel('i(t)')
legend('(30,70)','(50,50)','(80,20)')

参考文献

[1]姜启源，谢金星，叶俊．数学模型（第四版）．北京：高等教育出版社，2011

[2]陈鑫，徐赫屿．一类具有线性传染力的 SIRS 传染病动力系统的分析与控制［J］．沈阳师范大学学报:自然科学版，2012，30( 2) :28－30．

[3]廖晓昕．稳定性的数学理论及应用［M］．武汉:华中师范大学出版社，2001:140－161．

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