泊松分布与指数分布的理解

说到泊松分布，最好是明白：泊松分布是二项分布n很大而p很小时的一种极限形式。

二项分布：已知某件事情发生的概率是p，那么做n次试验，事情发生的次数就服从二项分布。

泊松分布式某段连续的时间内事情发生的次数。事情发生的时间是可以忽略的。关注的是事件的发生。泊松分布是离散的变量。
这段时间是确定大小的，不是说某两件事件（不知何时发生）的间隔。

把连续的时间分割层无数小份，那么每个小份之间都是相互独立的。在每个很小的时间区间内，事情可能发生也可能不发生，因此这就是一个p很小的二项分布。连续的时间分成无数小份，也就意味着n很大，即：泊松分布是二项分布的一种极限形式。

此外，二项分布是最简单的发生于不发生的分布，那么与此关系密切的泊松分布自然在生活中很常见也可以理解了。

泊松分布中的lambda意义就是：一个时间段内时间平均发生的次数。

指数分布是两件事情发生的平均间隔时间，时间是连续变量。

看一道例子：
一机器在任何长为t的时间内出故障的次数是N(t)服从参数为lambda(意义为平均发生的次数)的泊松分布。
1）求两次相邻故障之间的时间间隔T的分布。

解释：由上面的知识可知，这个将服从指数分布。下面是具体计算。
FT(t>0)=P{T<=t}=1−P{T>t}=1−P{N(t)=0}=1−(λt)00!e−λt=1−e−λt,t>0F_T(t > 0) = P\{T t\} = 1-P\{N(t) = 0\} = 1- {(\lambda t)^0 \over 0!}e^{-\lambda t} = 1-e^{-\lambda t}, t > 0
FT(t≤0)=0F_T(t \leq 0) = 0

所以得到的分布就是一个指数分布：

FT(t)={1−e−λt,0,t>0t≤0 F_T(t) = \begin{cases} 1-e^{-\lambda t}, &t \gt 0 \\ 0,& t \leq 0 \end {cases}

2)在设备无故障工作8小时的情况下，再无故障工作8小时的概率。
解释：有了上面的分布再计算这个就很简单了。
P(t≥8+8|t≥8)=P(t≥16,t≥8)P(t≥8)=1−P(t<16)1−P(t<8)=1−FT(16)1−FT(8)=e−8λ=P(t≥8) P(t \geq 8+8 | t \geq 8) = {P(t \geq 16, t\geq 8) \over P( t\geq 8)} = {1-P(t \lt 16) \over 1-P(t\lt8)} = {1-F_T(16) \over 1-F_T(8)} = e^{-8\lambda} = P(t \geq 8)

由此可见无记忆性。

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