一元函数微分

1.导数定义
2.左右导数导数的几何意义和物理意义
3.函数的可导性与连续性之间的关系
4.平面曲线的切线和法线
5.四则运算法则
6.基本导数与微分表
7.复合函数，反函数，隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法
8.常用高阶导数公式
9.微分中值定理，泰勒公式
10.洛必达法则
11.泰勒公式
12.函数单调性的判断
13.渐近线的求法
14.函数凹凸性的判断
15.弧微分
16.曲率
17.曲率半径

1.导数定义

导数和微分的概念

f′(x0)=lim⁡Δx→0f(x0+Δx)−f(x0)Δxf'({{x}_{0}})=\underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f({{x}_{0}}+\Delta x)-f({{x}_{0}})}{\Delta x}f′(x0)=Δx→0limΔxf(x0+Δx)−f(x0) （1）

或者：

f′(x0)=lim⁡x→x0f(x)−f(x0)x−x0f'({{x}_{0}})=\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)-f({{x}_{0}})}{x-{{x}_{0}}}f′(x0)=x→x0limx−x0f(x)−f(x0) （2）

2.左右导数导数的几何意义和物理意义

函数f(x)f(x)f(x)在x0x_0x0处的左、右导数分别定义为：

左导数：f′−(x0)=lim⁡Δx→0−f(x0+Δx)−f(x0)Δx=lim⁡x→x0−f(x)−f(x0)x−x0,(x=x0+Δx){{{f}'}_{-}}({{x}_{0}})=\underset{\Delta x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f({{x}_{0}}+\Delta x)-f({{x}_{0}})}{\Delta x}=\underset{x\to x_{0}^{-}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)-f({{x}_{0}})}{x-{{x}_{0}}},(x={{x}_{0}}+\Delta x)f′−(x0)=Δx→0−limΔxf(x0+Δx)−f(x0)=x→x0−limx−x0f(x)−f(x0),(x=x0+Δx)

右导数：f′+(x0)=lim⁡Δx→0+f(x0+Δx)−f(x0)Δx=lim⁡x→x0+f(x)−f(x0)x−x0{{{f}'}_{+}}({{x}_{0}})=\underset{\Delta x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f({{x}_{0}}+\Delta x)-f({{x}_{0}})}{\Delta x}=\underset{x\to x_{0}^{+}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)-f({{x}_{0}})}{x-{{x}_{0}}}f′+(x0)=Δx→0+limΔxf(x0+Δx)−f(x0)=x→x0+limx−x0f(x)−f(x0)

3.函数的可导性与连续性之间的关系

Th1: 函数f(x)f(x)f(x)在x0x_0x0处可微⇔f(x)\Leftrightarrow f(x)⇔f(x)在x0x_0x0处可导

Th2: 若函数在点x0x_0x0处可导，则y=f(x)y=f(x)y=f(x)在点x0x_0x0处连续，反之则不成立。即函数连续不一定可导。

Th3: f′(x0){f}'({{x}_{0}})f′(x0)存在⇔f′−(x0)=f′+(x0)\Leftrightarrow {{{f}'}_{-}}({{x}_{0}})={{{f}'}_{+}}({{x}_{0}})⇔f′−(x0)=f′+(x0)

4.平面曲线的切线和法线

切线方程 : y−y0=f′(x0)(x−x0)y-{{y}_{0}}=f'({{x}_{0}})(x-{{x}_{0}})y−y0=f′(x0)(x−x0)

法线方程：y−y0=−1f′(x0)(x−x0),f′(x0)≠0y-{{y}_{0}}=-\frac{1}{f'({{x}_{0}})}(x-{{x}_{0}}),f'({{x}_{0}})\ne 0y−y0=−f′(x0)1(x−x0),f′(x0)=0

5.四则运算法则

设函数u=u(x)，v=v(x)u=u(x)，v=v(x)u=u(x)，v=v(x)]在点xxx可导则

(1) (u±v)′=u′±v′(u\pm v{)}'={u}'\pm {v}'(u±v)′=u′±v′ d(u±v)=du±dvd(u\pm v)=du\pm dvd(u±v)=du±dv

(2)(uv)′=uv′+vu′(uv{)}'=u{v}'+v{u}'(uv)′=uv′+vu′ d(uv)=udv+vdud(uv)=udv+vdud(uv)=udv+vdu

(3) (uv)′=vu′−uv′v2(v≠0)(\frac{u}{v}{)}'=\frac{v{u}'-u{v}'}{{{v}^{2}}}(v\ne 0)(vu)′=v2vu′−uv′(v=0) d(uv)=vdu−udvv2d(\frac{u}{v})=\frac{vdu-udv}{{{v}^{2}}}d(vu)=v2vdu−udv

6.基本导数与微分表

(1) y=cy=cy=c（常数） y′=0{y}'=0y′=0 dy=0dy=0dy=0

(2) y=xαy={{x}^{\alpha }}y=xα($\alpha $为实数) y′=αxα−1{y}'=\alpha {{x}^{\alpha -1}}y′=αxα−1 dy=αxα−1dxdy=\alpha {{x}^{\alpha -1}}dxdy=αxα−1dx

(3) y=axy={{a}^{x}}y=ax y′=axln⁡a{y}'={{a}^{x}}\ln ay′=axlna dy=axln⁡adxdy={{a}^{x}}\ln adxdy=axlnadx
特例: (ex)′=ex({{{e}}^{x}}{)}'={{{e}}^{x}}(ex)′=ex d(ex)=exdxd({{{e}}^{x}})={{{e}}^{x}}dxd(ex)=exdx

(4) y=log⁡axy={{\log }_{a}}xy=logax y′=1xln⁡a{y}'=\frac{1}{x\ln a}y′=xlna1

dy=1xln⁡adxdy=\frac{1}{x\ln a}dxdy=xlna1dx
特例:y=ln⁡xy=\ln xy=lnx (ln⁡x)′=1x(\ln x{)}'=\frac{1}{x}(lnx)′=x1 d(ln⁡x)=1xdxd(\ln x)=\frac{1}{x}dxd(lnx)=x1dx

(5) y=sin⁡xy=\sin xy=sinx

y′=cos⁡x{y}'=\cos xy′=cosx d(sin⁡x)=cos⁡xdxd(\sin x)=\cos xdxd(sinx)=cosxdx

(6) y=cos⁡xy=\cos xy=cosx

y′=−sin⁡x{y}'=-\sin xy′=−sinx d(cos⁡x)=−sin⁡xdxd(\cos x)=-\sin xdxd(cosx)=−sinxdx

(7) y=tan⁡xy=\tan xy=tanx

y′=1cos⁡2x=sec⁡2x{y}'=\frac{1}{{{\cos }^{2}}x}={{\sec }^{2}}xy′=cos2x1=sec2x d(tan⁡x)=sec⁡2xdxd(\tan x)={{\sec }^{2}}xdxd(tanx)=sec2xdx

(8) y=cot⁡xy=\cot xy=cotx y′=−1sin⁡2x=−csc⁡2x{y}'=-\frac{1}{{{\sin }^{2}}x}=-{{\csc }^{2}}xy′=−sin2x1=−csc2x d(cot⁡x)=−csc⁡2xdxd(\cot x)=-{{\csc }^{2}}xdxd(cotx)=−csc2xdx

(9) y=sec⁡xy=\sec xy=secx y′=sec⁡xtan⁡x{y}'=\sec x\tan xy′=secxtanx

d(sec⁡x)=sec⁡xtan⁡xdxd(\sec x)=\sec x\tan xdxd(secx)=secxtanxdx
(10) y=csc⁡xy=\csc xy=cscx y′=−csc⁡xcot⁡x{y}'=-\csc x\cot xy′=−cscxcotx

d(csc⁡x)=−csc⁡xcot⁡xdxd(\csc x)=-\csc x\cot xdxd(cscx)=−cscxcotxdx
(11) y=arcsin⁡xy=\arcsin xy=arcsinx

y′=11−x2{y}'=\frac{1}{\sqrt{1-{{x}^{2}}}}y′=1−x21

d(arcsin⁡x)=11−x2dxd(\arcsin x)=\frac{1}{\sqrt{1-{{x}^{2}}}}dxd(arcsinx)=1−x21dx
(12) y=arccos⁡xy=\arccos xy=arccosx

y′=−11−x2{y}'=-\frac{1}{\sqrt{1-{{x}^{2}}}}y′=−1−x21 d(arccos⁡x)=−11−x2dxd(\arccos x)=-\frac{1}{\sqrt{1-{{x}^{2}}}}dxd(arccosx)=−1−x21dx

(13) y=arctan⁡xy=\arctan xy=arctanx

y′=11+x2{y}'=\frac{1}{1+{{x}^{2}}}y′=1+x21 d(arctan⁡x)=11+x2dxd(\arctan x)=\frac{1}{1+{{x}^{2}}}dxd(arctanx)=1+x21dx

(14) y=arc⁡cot⁡xy=\operatorname{arc}\cot xy=arccotx

y′=−11+x2{y}'=-\frac{1}{1+{{x}^{2}}}y′=−1+x21

d(arc⁡cot⁡x)=−11+x2dxd(\operatorname{arc}\cot x)=-\frac{1}{1+{{x}^{2}}}dxd(arccotx)=−1+x21dx
(15) y=shxy=shxy=shx

y′=chx{y}'=chxy′=chx d(shx)=chxdxd(shx)=chxdxd(shx)=chxdx

(16) y=chxy=chxy=chx

y′=shx{y}'=shxy′=shx d(chx)=shxdxd(chx)=shxdxd(chx)=shxdx

7.复合函数，反函数，隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法

(1) 反函数的运算法则: 设y=f(x)y=f(x)y=f(x)在点xxx的某邻域内单调连续，在点xxx处可导且f′(x)≠0{f}'(x)\ne 0f′(x)=0，则其反函数在点xxx所对应的yyy处可导，并且有dydx=1dxdy\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\frac{dx}{dy}}dxdy=dydx1

(2) 复合函数的运算法则:若μ=φ(x)\mu =\varphi (x)μ=φ(x)在点xxx可导,而y=f(μ)y=f(\mu )y=f(μ)在对应点$\mu (((\mu =\varphi (x))可导,则复合函数)可导,则复合函数)可导,则复合函数y=f(\varphi (x))在点在点在点x可导,且可导,且可导,且{y}’={f}’(\mu )\cdot {\varphi }’(x)$

(3) 隐函数导数dydx\frac{dy}{dx}dxdy的求法一般有三种方法：

1)方程两边对xxx求导，要记住yyy是xxx的函数，则yyy的函数是xxx的复合函数.例如1y\frac{1}{y}y1，y2{{y}^{2}}y2，lnyln ylny，ey{{{e}}^{y}}ey等均是xxx的复合函数.
对xxx求导应按复合函数连锁法则做.

2)公式法.由F(x,y)=0F(x,y)=0F(x,y)=0知 dydx=−F′x(x,y)F′y(x,y)\frac{dy}{dx}=-\frac{{{{{F}'}}_{x}}(x,y)}{{{{{F}'}}_{y}}(x,y)}dxdy=−F′y(x,y)F′x(x,y),其中，F′x(x,y){{{F}'}_{x}}(x,y)F′x(x,y)，
F′y(x,y){{{F}'}_{y}}(x,y)F′y(x,y)分别表示F(x,y)F(x,y)F(x,y)对xxx和yyy的偏导数

3)利用微分形式不变性

8.常用高阶导数公式

（1）(ax)(n)=axln⁡na(a>0)(ex)(n)=ex({{a}^{x}}){{\,}^{(n)}}={{a}^{x}}{{\ln }^{n}}a\quad (a>{0})\quad \quad ({{{e}}^{x}}){{\,}^{(n)}}={e}{{\,}^{x}}(ax)(n)=axlnna(a>0)(ex)(n)=ex

（2）(sin⁡kx)(n)=knsin⁡(kx+n⋅π2)(\sin kx{)}{{\,}^{(n)}}={{k}^{n}}\sin (kx+n\cdot \frac{\pi }{{2}})(sinkx)(n)=knsin(kx+n⋅2π)

（3）(cos⁡kx)(n)=kncos⁡(kx+n⋅π2)(\cos kx{)}{{\,}^{(n)}}={{k}^{n}}\cos (kx+n\cdot \frac{\pi }{{2}})(coskx)(n)=kncos(kx+n⋅2π)

（4）(xm)(n)=m(m−1)⋯(m−n+1)xm−n({{x}^{m}}){{\,}^{(n)}}=m(m-1)\cdots (m-n+1){{x}^{m-n}}(xm)(n)=m(m−1)⋯(m−n+1)xm−n

（5）(ln⁡x)(n)=(−1)(n−1)(n−1)!xn(\ln x){{\,}^{(n)}}={{(-{1})}^{(n-{1})}}\frac{(n-{1})!}{{{x}^{n}}}(lnx)(n)=(−1)(n−1)xn(n−1)!

（6）莱布尼兹公式：若u(x),v(x)u(x)\,,v(x)u(x),v(x)均nnn阶可导，则
(uv)(n)=∑i=0ncniu(i)v(n−i){{(uv)}^{(n)}}=\sum\limits_{i={0}}^{n}{c_{n}^{i}{{u}^{(i)}}{{v}^{(n-i)}}}(uv)(n)=i=0∑ncniu(i)v(n−i)，其中u(0)=u{{u}^{({0})}}=uu(0)=u，v(0)=v{{v}^{({0})}}=vv(0)=v

9.微分中值定理，泰勒公式

Th1:(费马定理)

若函数f(x)f(x)f(x)满足条件：

(1)函数f(x)f(x)f(x)在x0{{x}_{0}}x0的某邻域内有定义，并且在此邻域内恒有
f(x)≤f(x0)f(x)\le f({{x}_{0}})f(x)≤f(x0)或f(x)≥f(x0)f(x)\ge f({{x}_{0}})f(x)≥f(x0),

(2) f(x)f(x)f(x)在x0{{x}_{0}}x0处可导,则有 f′(x0)=0{f}'({{x}_{0}})=0f′(x0)=0

Th2:(罗尔定理)

设函数f(x)f(x)f(x)满足条件：

(1)在闭区间[a,b][a,b][a,b]上连续；

(2)在(a,b)(a,b)(a,b)内可导；

(3)f(a)=f(b)f(a)=f(b)f(a)=f(b)；

则在(a,b)(a,b)(a,b)内一存在个$\xi $，使 f′(ξ)=0{f}'(\xi )=0f′(ξ)=0

Th3: (拉格朗日中值定理)

设函数f(x)f(x)f(x)满足条件：

(1)在[a,b][a,b][a,b]上连续；

(2)在(a,b)(a,b)(a,b)内可导；

则在(a,b)(a,b)(a,b)内一存在个$\xi $，使 f(b)−f(a)b−a=f′(ξ)\frac{f(b)-f(a)}{b-a}={f}'(\xi )b−af(b)−f(a)=f′(ξ)

Th4: (柯西中值定理)

设函数f(x)f(x)f(x)，g(x)g(x)g(x)满足条件：
(1) 在[a,b][a,b][a,b]上连续；

(2) 在(a,b)(a,b)(a,b)内可导且f′(x){f}'(x)f′(x)，g′(x){g}'(x)g′(x)均存在，且g′(x)≠0{g}'(x)\ne 0g′(x)=0

则在(a,b)(a,b)(a,b)内存在一个$\xi $，使 f(b)−f(a)g(b)−g(a)=f′(ξ)g′(ξ)\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{{f}'(\xi )}{{g}'(\xi )}g(b)−g(a)f(b)−f(a)=g′(ξ)f′(ξ)

10.洛必达法则

法则 Ⅰ (00\frac{0}{0}00型)

设函数f(x),g(x)f\left( x \right),g\left( x \right)f(x),g(x)

满足条件：

lim⁡x→x0f(x)=0,lim⁡x→x0g(x)=0\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=0,\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,g\left( x \right)=0x→x0limf(x)=0,x→x0limg(x)=0;

f(x),g(x)f\left( x \right),g\left( x \right)f(x),g(x)在x0{{x}_{0}}x0的邻域内可导，(在x0{{x}_{0}}x0处可除外)且g′(x)≠0{g}'\left( x \right)\ne 0g′(x)=0;

lim⁡x→x0f′(x)g′(x)\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{f}'\left( x \right)}{{g}'\left( x \right)}x→x0limg′(x)f′(x)存在(或$\infty $)。

则:
lim⁡x→x0f(x)g(x)=lim⁡x→x0f′(x)g′(x)\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)}{g\left( x \right)}=\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{f}'\left( x \right)}{{g}'\left( x \right)}x→x0limg(x)f(x)=x→x0limg′(x)f′(x)。
法则I′{{I}'}I′ (00\frac{0}{0}00型)

设函数f(x),g(x)f\left( x \right),g\left( x \right)f(x),g(x)

满足条件：

lim⁡x→∞f(x)=0,lim⁡x→∞g(x)=0\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,f\left(x \right)=0,\underset{x \to \infty}{\mathop{\lim}}\,g\left(x \right)=0x→∞limf(x)=0,x→∞limg(x)=0;

存在一个X>0X>0X>0,当∣x∣>X\left| x \right|>X∣x∣>X时,f(x),g(x)f\left( x \right),g\left( x \right)f(x),g(x)可导,且g′(x)≠0{g}'\left( x \right)\ne 0g′(x)=0;lim⁡x→x0f′(x)g′(x)\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim}}\,\frac{{f}'\left(x \right)}{{g}'\left(x \right)}x→x0limg′(x)f′(x)存在(或$\infty $)。

法则 Ⅱ(∞∞\frac{\infty }{\infty }∞∞型)

设函数f(x),g(x)f\left( x \right),g\left( x \right)f(x),g(x)满足条件：
lim⁡x→x0f(x)=∞,lim⁡x→x0g(x)=∞\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\infty ,\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,g\left( x \right)=\inftyx→x0limf(x)=∞,x→x0limg(x)=∞;

f(x),g(x)f\left( x \right),g\left( x \right)f(x),g(x)在x0{{x}_{0}}x0 的邻域内可导(在x0{{x}_{0}}x0处可除外)且g′(x)≠0{g}'\left( x \right)\ne 0g′(x)=0;lim⁡x→x0f′(x)g′(x)\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{f}'\left( x \right)}{{g}'\left( x \right)}x→x0limg′(x)f′(x)存在(或∞\infty∞)。

则

lim⁡x→x0f(x)g(x)=lim⁡x→x0f′(x)g′(x).\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)}{g\left( x \right)}=\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{f}'\left( x \right)}{{g}'\left( x \right)}.x→x0limg(x)f(x)=x→x0limg′(x)f′(x).

同理法则II′{I{I}'}II′(∞∞\frac{\infty }{\infty }∞∞型)仿法则I′{{I}'}I′可写出。

11.泰勒公式

设函数f(x)f(x)f(x)在点x0{{x}_{0}}x0处的某邻域内具有n+1n+1n+1阶导数，则对该邻域内异于x0{{x}_{0}}x0的任意点xxx，在x0{{x}_{0}}x0与xxx之间至少存在
一个ξ\xiξ，使得：

f(x)=f(x0)+f′(x0)(x−x0)+12!f′′(x0)(x−x0)2+⋯f(x)=f({{x}_{0}})+{f}'({{x}_{0}})(x-{{x}_{0}})+\frac{1}{2!}{f}''({{x}_{0}}){{(x-{{x}_{0}})}^{2}}+\cdotsf(x)=f(x0)+f′(x0)(x−x0)+2!1f′′(x0)(x−x0)2+⋯

+f(n)(x0)n!(x−x0)n+Rn(x)+\frac{{{f}^{(n)}}({{x}_{0}})}{n!}{{(x-{{x}_{0}})}^{n}}+{{R}_{n}}(x)+n!f(n)(x0)(x−x0)n+Rn(x)

其中 Rn(x)=f(n+1)(ξ)(n+1)!(x−x0)n+1{{R}_{n}}(x)=\frac{{{f}^{(n+1)}}(\xi )}{(n+1)!}{{(x-{{x}_{0}})}^{n+1}}Rn(x)=(n+1)!f(n+1)(ξ)(x−x0)n+1称为f(x)f(x)f(x)在点x0{{x}_{0}}x0处的nnn阶泰勒余项。

令x0=0{{x}_{0}}=0x0=0，则nnn阶泰勒公式
f(x)=f(0)+f′(0)x+12!f′′(0)x2+⋯+f(n)(0)n!xn+Rn(x)f(x)=f(0)+{f}'(0)x+\frac{1}{2!}{f}''(0){{x}^{2}}+\cdots +\frac{{{f}^{(n)}}(0)}{n!}{{x}^{n}}+{{R}_{n}}(x)f(x)=f(0)+f′(0)x+2!1f′′(0)x2+⋯+n!f(n)(0)xn+Rn(x)……(1)

其中 Rn(x)=f(n+1)(ξ)(n+1)!xn+1{{R}_{n}}(x)=\frac{{{f}^{(n+1)}}(\xi )}{(n+1)!}{{x}^{n+1}}Rn(x)=(n+1)!f(n+1)(ξ)xn+1，$\xi 在0与在 0 与在0与x$之间.(1)式称为麦克劳林公式

常用五种函数在x0=0{{x}_{0}}=0x0=0处的泰勒公式

(1) ex=1+x+12!x2+⋯+1n!xn+xn+1(n+1)!eξ{{{e}}^{x}}=1+x+\frac{1}{2!}{{x}^{2}}+\cdots +\frac{1}{n!}{{x}^{n}}+\frac{{{x}^{n+1}}}{(n+1)!}{{e}^{\xi }}ex=1+x+2!1x2+⋯+n!1xn+(n+1)!xn+1eξ

或 =1+x+12!x2+⋯+1n!xn+o(xn)=1+x+\frac{1}{2!}{{x}^{2}}+\cdots +\frac{1}{n!}{{x}^{n}}+o({{x}^{n}})=1+x+2!1x2+⋯+n!1xn+o(xn)

(2) sin⁡x=x−13!x3+⋯+xnn!sin⁡nπ2+xn+1(n+1)!sin⁡(ξ+n+12π)\sin x=x-\frac{1}{3!}{{x}^{3}}+\cdots +\frac{{{x}^{n}}}{n!}\sin \frac{n\pi }{2}+\frac{{{x}^{n+1}}}{(n+1)!}\sin (\xi +\frac{n+1}{2}\pi )sinx=x−3!1x3+⋯+n!xnsin2nπ+(n+1)!xn+1sin(ξ+2n+1π)

或 =x−13!x3+⋯+xnn!sin⁡nπ2+o(xn)=x-\frac{1}{3!}{{x}^{3}}+\cdots +\frac{{{x}^{n}}}{n!}\sin \frac{n\pi }{2}+o({{x}^{n}})=x−3!1x3+⋯+n!xnsin2nπ+o(xn)

(3) cos⁡x=1−12!x2+⋯+xnn!cos⁡nπ2+xn+1(n+1)!cos⁡(ξ+n+12π)\cos x=1-\frac{1}{2!}{{x}^{2}}+\cdots +\frac{{{x}^{n}}}{n!}\cos \frac{n\pi }{2}+\frac{{{x}^{n+1}}}{(n+1)!}\cos (\xi +\frac{n+1}{2}\pi )cosx=1−2!1x2+⋯+n!xncos2nπ+(n+1)!xn+1cos(ξ+2n+1π)

或 =1−12!x2+⋯+xnn!cos⁡nπ2+o(xn)=1-\frac{1}{2!}{{x}^{2}}+\cdots +\frac{{{x}^{n}}}{n!}\cos \frac{n\pi }{2}+o({{x}^{n}})=1−2!1x2+⋯+n!xncos2nπ+o(xn)

(4) ln⁡(1+x)=x−12x2+13x3−⋯+(−1)n−1xnn+(−1)nxn+1(n+1)(1+ξ)n+1\ln (1+x)=x-\frac{1}{2}{{x}^{2}}+\frac{1}{3}{{x}^{3}}-\cdots +{{(-1)}^{n-1}}\frac{{{x}^{n}}}{n}+\frac{{{(-1)}^{n}}{{x}^{n+1}}}{(n+1){{(1+\xi )}^{n+1}}}ln(1+x)=x−21x2+31x3−⋯+(−1)n−1nxn+(n+1)(1+ξ)n+1(−1)nxn+1

或 =x−12x2+13x3−⋯+(−1)n−1xnn+o(xn)=x-\frac{1}{2}{{x}^{2}}+\frac{1}{3}{{x}^{3}}-\cdots +{{(-1)}^{n-1}}\frac{{{x}^{n}}}{n}+o({{x}^{n}})=x−21x2+31x3−⋯+(−1)n−1nxn+o(xn)

(5) (1+x)m=1+mx+m(m−1)2!x2+⋯+m(m−1)⋯(m−n+1)n!xn{{(1+x)}^{m}}=1+mx+\frac{m(m-1)}{2!}{{x}^{2}}+\cdots +\frac{m(m-1)\cdots (m-n+1)}{n!}{{x}^{n}}(1+x)m=1+mx+2!m(m−1)x2+⋯+n!m(m−1)⋯(m−n+1)xn
+m(m−1)⋯(m−n+1)(n+1)!xn+1(1+ξ)m−n−1+\frac{m(m-1)\cdots (m-n+1)}{(n+1)!}{{x}^{n+1}}{{(1+\xi )}^{m-n-1}}+(n+1)!m(m−1)⋯(m−n+1)xn+1(1+ξ)m−n−1

或 (1+x)m=1+mx+m(m−1)2!x2+⋯{{(1+x)}^{m}}=1+mx+\frac{m(m-1)}{2!}{{x}^{2}}+\cdots(1+x)m=1+mx+2!m(m−1)x2+⋯ +m(m−1)⋯(m−n+1)n!xn+o(xn)+\frac{m(m-1)\cdots(m-n+1)}{n!}{{x}^{n}}+o({{x}^{n}})+n!m(m−1)⋯(m−n+1)xn+o(xn)

12.函数单调性的判断

Th1:

设函数f(x)f(x)f(x)在(a,b)(a,b)(a,b)区间内可导，如果对∀x∈(a,b)\forall x\in (a,b)∀x∈(a,b)，都有f′(x)>0f\,'(x)>0f′(x)>0（或f′(x)<0f\,'(x)<0f′(x)<0），则函数f(x)f(x)f(x)在(a,b)(a,b)(a,b)内是单调增加的（或单调减少）

Th2:

（取极值的必要条件）设函数f(x)f(x)f(x)在x0{{x}_{0}}x0处可导，且在x0{{x}_{0}}x0处取极值，则f′(x0)=0f\,'({{x}_{0}})=0f′(x0)=0。

Th3:

（取极值的第一充分条件）设函数f(x)f(x)f(x)在x0{{x}_{0}}x0的某一邻域内可微，且f′(x0)=0f\,'({{x}_{0}})=0f′(x0)=0（或f(x)f(x)f(x)在x0{{x}_{0}}x0处连续，但f′(x0)f\,'({{x}_{0}})f′(x0)不存在。）

(1)若当xxx经过x0{{x}_{0}}x0时，f′(x)f\,'(x)f′(x)由“+”变“-”，则f(x0)f({{x}_{0}})f(x0)为极大值；

(2)若当xxx经过x0{{x}_{0}}x0时，f′(x)f\,'(x)f′(x)由“-”变“+”，则f(x0)f({{x}_{0}})f(x0)为极小值；

(3)若f′(x)f\,'(x)f′(x)经过x=x0x={{x}_{0}}x=x0的两侧不变号，则f(x0)f({{x}_{0}})f(x0)不是极值。

Th4:

(取极值的第二充分条件)设f(x)f(x)f(x)在点x0{{x}_{0}}x0处有f′′(x)≠0f''(x)\ne 0f′′(x)=0，且f′(x0)=0f\,'({{x}_{0}})=0f′(x0)=0，则当f′′(x0)<0f'\,'({{x}_{0}})<0f′′(x0)<0时，f(x0)f({{x}_{0}})f(x0)为极大值；
当f′′(x0)>0f'\,'({{x}_{0}})>0f′′(x0)>0时，f(x0)f({{x}_{0}})f(x0)为极小值。
注：如果f′′(x0)<0f'\,'({{x}_{0}})<0f′′(x0)<0，此方法失效。

13.渐近线的求法

(1)水平渐近线若lim⁡x→+∞f(x)=b\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)=bx→+∞limf(x)=b，或lim⁡x→−∞f(x)=b\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)=bx→−∞limf(x)=b，则

y=by=by=b称为函数y=f(x)y=f(x)y=f(x)的水平渐近线。

(2)铅直渐近线若$\underset{x\to x_{0}^{-}}{\mathop{\lim }},f(x)=\infty ，或，或，或\underset{x\to x_{0}^{+}}{\mathop{\lim }},f(x)=\infty $，则

x=x0x={{x}_{0}}x=x0称为y=f(x)y=f(x)y=f(x)的铅直渐近线。

(3)斜渐近线若a=lim⁡x→∞f(x)x,b=lim⁡x→∞[f(x)−ax]a=\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)}{x},\quad b=\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,[f(x)-ax]a=x→∞limxf(x),b=x→∞lim[f(x)−ax]，则
y=ax+by=ax+by=ax+b称为y=f(x)y=f(x)y=f(x)的斜渐近线。

14.函数凹凸性的判断

Th1: (凹凸性的判别定理）若在 I 上f′′(x)<0f''(x)<0f′′(x)<0（或f′′(x)>0f''(x)>0f′′(x)>0），则f(x)f(x)f(x)在 I 上是凸的（或凹的）。

Th2: (拐点的判别定理 1)若在x0{{x}_{0}}x0处f′′(x)=0f''(x)=0f′′(x)=0，（或f′′(x)f''(x)f′′(x)不存在），当xxx变动经过x0{{x}_{0}}x0时，f′′(x)f''(x)f′′(x)变号，则(x0,f(x0))({{x}_{0}},f({{x}_{0}}))(x0,f(x0))为拐点。

Th3: (拐点的判别定理 2)设f(x)f(x)f(x)在x0{{x}_{0}}x0点的某邻域内有三阶导数，且f′′(x)=0f''(x)=0f′′(x)=0，f′′′(x)≠0f'''(x)\ne 0f′′′(x)=0，则(x0,f(x0))({{x}_{0}},f({{x}_{0}}))(x0,f(x0))为拐点。

15.弧微分

dS=1+y′2dxdS=\sqrt{1+y{{'}^{2}}}dxdS=1+y′2dx

16.曲率

曲线y=f(x)y=f(x)y=f(x)在点(x,y)(x,y)(x,y)处的曲率k=∣y′′∣(1+y′2)32k=\frac{\left| y'' \right|}{{{(1+y{{'}^{2}})}^{\tfrac{3}{2}}}}k=(1+y′2)23∣y′′∣。
对于参数方程KaTeX parse error: No such environment: align at position 15: \left\{ \begin{̲a̲l̲i̲g̲n̲}̲ & x=\varphi (…k=∣φ′(t)ψ′′(t)−φ′′(t)ψ′(t)∣[φ′2(t)+ψ′2(t)]32k=\frac{\left| \varphi '(t)\psi ''(t)-\varphi ''(t)\psi '(t) \right|}{{{[\varphi {{'}^{2}}(t)+\psi {{'}^{2}}(t)]}^{\tfrac{3}{2}}}}k=[φ′2(t)+ψ′2(t)]23∣φ′(t)ψ′′(t)−φ′′(t)ψ′(t)∣。

17.曲率半径

曲线在点MMM处的曲率k(k≠0)k(k\ne 0)k(k=0)与曲线在点MMM处的曲率半径$\rho 有如下关系：有如下关系：有如下关系：\rho =\frac{1}{k}$。

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