求若当标准型的变换矩阵

已知
A=[200140102]A = \begin{bmatrix} 2 & 0 &0 \\ 1 & 4 & 0\\ 1 & 0 & 2 \end{bmatrix} A=⎣⎡211040002⎦⎤
特征多项式为：
∣λI−A∣=∣λ−200−1λ−40−10λ−2∣=(λ−2)2(λ−4)=0|\lambda I - A| = \begin{vmatrix} \lambda -2 & 0 &0 \\ -1 & \lambda -4 & 0\\ -1 & 0 & \lambda -2 \end{vmatrix} = (\lambda - 2)^2(\lambda -4)=0 ∣λI−A∣=∣∣∣∣∣∣λ−2−1−10λ−4000λ−2∣∣∣∣∣∣=(λ−2)2(λ−4)=0
求出特征值：λ=2(二重),4\lambda = 2\text{(二重)}, 4λ=2(二重),4.

但是显然 AAA 不会相似于对角矩阵:
[200040002]\begin{bmatrix} 2 & 0 &0 \\ 0 & 4 & 0\\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix} ⎣⎡200040002⎦⎤
因而只能是相似于若当标准型：
J=[200120004]J = \begin{bmatrix} 2 & 0 &0 \\ 1 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 4 \end{bmatrix} J=⎣⎡210020004⎦⎤
注意：若当标准型的标准求法需要用到 λ\lambdaλ-多项式(或λ\lambdaλ-矩阵)，参见高等代数教材。但在这里掐指一算就知道了，因为只有 2 是二重根

下面要求变换矩阵 PPP 使得：
A=PJP−1⇔AP=PJ⇔A[p1p2p3]=[p1p2p3][200120004]⇔{Ap1=2p1+p2Ap2=2p2Ap3=4p3⇔{(A−2I)p1=p2⇒(A−2I)2p1=0(A−2I)p2=0(A−4I)p3=0\begin{aligned} &A = PJP^{-1} \\ \Leftrightarrow& AP = PJ \\ \Leftrightarrow& A \begin{bmatrix}p_1 & p_2 & p_3\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}p_1 & p_2 & p_3\end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 0 &0 \\ 1 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 4 \end{bmatrix} \\ \Leftrightarrow& \begin{cases} A p_1 = 2p_1 + p_2 \\ A p_2 = 2p_2 \\ A p_3 = 4p_3 \end{cases} \\ \Leftrightarrow& \begin{cases} (A - 2I) p_1 = p_2 \Rightarrow (A - 2I)^2 p_1 = 0\\ (A-2I) p_2 = 0 \\ (A-4I) p_3 = 0 \end{cases} \end{aligned} ⇔⇔⇔⇔A=PJP−1AP=PJA[p1p2p3]=[p1p2p3]⎣⎡210020004⎦⎤⎩⎪⎨⎪⎧Ap1=2p1+p2Ap2=2p2Ap3=4p3⎩⎪⎨⎪⎧(A−2I)p1=p2⇒(A−2I)2p1=0(A−2I)p2=0(A−4I)p3=0
p3p_3p3 在 A−4IA-4IA−4I 的核空间，很好求:
(A−4I)p3=[−20010010−2]p3=0⇒p3=[010](A-4I)p_3 = \begin{bmatrix} -2 & 0 &0 \\ 1 & 0 & 0\\ 1 & 0 & -2 \end{bmatrix} p_3 = 0 \Rightarrow p_3= \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} (A−4I)p3=⎣⎡−21100000−2⎦⎤p3=0⇒p3=⎣⎡010⎦⎤
p2p_2p2 在 A−2IA-2IA−2I 的核空间；p1p_1p1 在 (A−2I)2(A-2I)^2(A−2I)2 的核空间，但是不在 A−2IA-2IA−2I 的核空间

这该怎么求呢？

先求 p1p_1p1:
(A−2I)2p1=[000120100]2p1=[000240000]p1=0(A-2I)^2p_1 = \begin{bmatrix} 0 & 0 &0 \\ 1 &2 & 0\\ 1 & 0 &0 \end{bmatrix}^2 p_1 = \begin{bmatrix} 0 & 0 &0 \\ 2 &4 & 0\\ 0 & 0 &0 \end{bmatrix} p_1 =0 (A−2I)2p1=⎣⎡011020000⎦⎤2p1=⎣⎡020040000⎦⎤p1=0⇒p1=[001]或者[−210]\Rightarrow p_1= \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} \text{或者} \begin{bmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} ⇒p1=⎣⎡001⎦⎤或者⎣⎡−210⎦⎤
由于前者 [001]\displaystyle \begin{bmatrix}0 \\0 \\1 \end{bmatrix}⎣⎡001⎦⎤ 在 A−2IA-2IA−2I 的核空间，故舍弃，所以 p1=[−210]\displaystyle p_1 = \begin{bmatrix} -2 \\1 \\0 \end{bmatrix}p1=⎣⎡−210⎦⎤
所以
p2=(A−2I)p1=[000120100][−210]=[00−2]p_2 = (A-2I)p_1 = \begin{bmatrix} 0 & 0 &0 \\ 1 &2 & 0 \\ 1 & 0 &0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -2 \\1 \\0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\0 \\-2 \end{bmatrix} p2=(A−2I)p1=⎣⎡011020000⎦⎤⎣⎡−210⎦⎤=⎣⎡00−2⎦⎤
至此， PPP 矩阵求出

可以验证：
AP=[200140102][−2001010−20]=[−400204−2−40]AP = \begin{bmatrix} 2 & 0 &0 \\ 1 & 4 & 0\\ 1 & 0 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -2 & 0 &0 \\ 1 & 0 & 1\\ 0 & -2 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -4 & 0 &0 \\ 2 & 0 & 4\\ -2 & -4 & 0 \end{bmatrix} AP=⎣⎡211040002⎦⎤⎣⎡−21000−2010⎦⎤=⎣⎡−42−200−4040⎦⎤
PJ=[−2001010−20][200120004]=[−400204−2−40]=APPJ = \begin{bmatrix} -2 & 0 &0 \\ 1 & 0 & 1\\ 0 & -2 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 0 &0 \\ 1 & 2 & 0\\ 0 & 0& 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -4 & 0 &0 \\ 2 & 0 & 4\\ -2 & -4 & 0 \end{bmatrix} = AP PJ=⎣⎡−21000−2010⎦⎤⎣⎡210020004⎦⎤=⎣⎡−42−200−4040⎦⎤=AP
故 A=PJP−1A = PJP^{-1}A=PJP−1

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