正态总体统计量的分布

一、单个正太总体的统计量的分布
从总体X中抽取容量为n的样本X1,X2,...,Xn,X_1,X_2,...,X_n,X1,X2,...,Xn,样本均值与样本方差分别是
Xˉ=1n∑i=1nXi,S2=1n−1∑i=1n(Xi−Xˉ)2\bar{X}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}X_i,S^2=\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n}\left ( X_i-\bar X\right)^2Xˉ=n1∑i=1nXi,S2=n−11∑i=1n(Xi−Xˉ)2
定理1：设总体X服从正态分布N(μ,σ2)N\left ( \mu ,\sigma ^2 \right )N(μ,σ2)，则样本均值Xˉ∼N(μ,σ2n)\bar X\sim N\left ( \mu ,\frac{\sigma ^2}{n} \right )Xˉ∼N(μ,nσ2)
定理2：设总体X服从正态分布N(μ,σ2)N\left ( \mu ,\sigma ^2 \right )N(μ,σ2)，则统计量u=Xˉ−μσ/nu=\frac{\bar X-\mu }{\sigma /\sqrt{n} }u=σ/nXˉ−μ服从标准正态分布N（0，1），即
u=Xˉ−μσ/n∼N(0,1)u=\frac{\bar X-\mu }{\sigma /\sqrt{n} } \sim N\left ( 0,1 \right ) u=σ/nXˉ−μ∼N(0,1)
定理3：设总体X服从正态分布N(μ,σ2)N\left ( \mu ,\sigma ^2 \right )N(μ,σ2)，则统计量1σ2∑i=1n(Xi−μ)2\frac{1}{\sigma^2}\sum_{i=1}^{n}\left ( X_i-\mu \right )^2σ21∑i=1n(Xi−μ)2 服从自由度为n的χ2\chi^2χ2分布，即χ2=1σ2∑i=1n(Xi−μ)2∼χ2(n)\chi^2=\frac{1}{\sigma^2}\sum_{i=1}^{n}\left ( X_i-\mu \right )^2 \sim \chi^2\left ( n \right )χ2=σ21i=1∑n(Xi−μ)2∼χ2(n)
定理4：设总体X服从正态分布N(μ,σ2)N\left ( \mu ,\sigma ^2 \right )N(μ,σ2)，则
（1）样本均值Xˉ\bar XXˉ与样本方差S2S^2S2相互独立;
（2）统计量 χ2=(n−1)S2σ2\chi^2=\frac{\left ( n-1 \right )S^2 }{\sigma^2}χ2=σ2(n−1)S2服从自由度为n-1的χ2\chi^2χ2分布，即
χ2=(n−1)S2σ2∼χ2(n−1)\chi^2=\frac{\left ( n-1 \right )S^2 }{\sigma^2}\sim \chi^2\left ( n-1 \right ) χ2=σ2(n−1)S2∼χ2(n−1)
定理5：设总体X服从正态分布N(μ,σ2)N\left ( \mu ,\sigma ^2 \right )N(μ,σ2)，则统计量t=Xˉ−μS/nt=\frac{\bar X-\mu }{S/\sqrt{n} }t=S/nXˉ−μ服从自由度为n-1的t分布，即：
t=Xˉ−μS/n∼t(n−1)t=\frac{\bar X-\mu }{S/\sqrt{n} }\sim t\left ( n-1 \right )t=S/nXˉ−μ∼t(n−1)
二、两个正态总体的统计量的分布
从总体X中抽取容量为nxn_xnx的样本X1,X2,...,XnxX_1,X_2,...,X_nxX1,X2,...,Xnx,从总体Y中抽取容量为nyn_yny的样本Y1,Y2,...,YnyY_1,Y_2,...,Y_nyY1,Y2,...,Yny。假设所有的抽样都是相互独立的，由此得到的样本Xi(i=1,2,...,nx)X_i\left ( i=1,2,...,n_{x} \right )Xi(i=1,2,...,nx) 与Yi(i=1,2,...,nx)Y_i\left ( i=1,2,...,n_{x} \right )Yi(i=1,2,...,nx) 都是相互独立的随机变量。把取自两个总体的样本均值分别记作
Xˉ=1nx∑i=1nxXi,Yˉ=1ny∑i=1nyYi\bar X=\frac{1}{n_x}\sum_{i=1}^{n_x}X_i, \bar Y= \frac{1}{n_y}\sum_{i=1}^{n_y}Y_iXˉ=nx1i=1∑nxXi,Yˉ=ny1i=1∑nyYi
样本方差分别记作
Sx2=1nx−1∑i=1nx(X−Xˉ)2,Sy2=1ny−1∑j=1ny(Y−Yˉ)2S_x^2=\frac{1}{n_x-1}\sum_{i=1}^{n_x}\left ( X-\bar X \right )^2,S_y^2=\frac{1}{n_y-1}\sum_{j=1}^{n_y}\left ( Y-\bar Y \right )^2Sx2=nx−11i=1∑nx(X−Xˉ)2,Sy2=ny−11j=1∑ny(Y−Yˉ)2
定理6：设总体X服从正态分布N(μx,σx2)N\left ( \mu_x ,\sigma_x ^2 \right )N(μx,σx2)，总体Y服从正态分布N(μy,σy2)N\left ( \mu_y ,\sigma_y ^2 \right )N(μy,σy2)，则统计量U=(Xˉ−Yˉ)−(μx−μy)σ2nx+σ2nyU=\frac{\left ( \bar X-\bar Y \right )-\left ( \mu _x-\mu _y \right ) }{\sqrt{\frac{\sigma ^2}{n_x}+ \frac{\sigma ^2}{n_y}} }U=nxσ2+nyσ2(Xˉ−Yˉ)−(μx−μy) 服从标准正态分布。
U=(Xˉ−Yˉ)−(μx−μy)σ2nx+σ2ny∼N(0,1)U=\frac{\left ( \bar X-\bar Y \right )-\left ( \mu _x-\mu _y \right ) }{\sqrt{\frac{\sigma ^2}{n_x}+ \frac{\sigma ^2}{n_y}} }\sim N\left ( 0,1 \right )U=nxσ2+nyσ2(Xˉ−Yˉ)−(μx−μy)∼N(0,1)
定理7：设总体X服从正态分布N(μx,σx2)N\left ( \mu_x ,\sigma_x ^2 \right )N(μx,σx2)，总体Y服从正态分布N(μy,σy2)N\left ( \mu_y ,\sigma_y ^2 \right )N(μy,σy2)，则统计量T=(Xˉ−Yˉ)−(μx−μy)Sw1nx+1nyT=\frac{\left ( \bar X-\bar Y \right )-\left ( \mu _x-\mu _y \right ) }{S_w\sqrt{\frac{1}{n_x}+ \frac{1}{n_y}} }T=Swnx1+ny1(Xˉ−Yˉ)−(μx−μy)服从自由度为nx+ny−2n_x+n_y-2nx+ny−2的t分布，即
T=(Xˉ−Yˉ)−(μx−μy)Sw1nx+1ny∼t(nx+ny−2)T=\frac{\left ( \bar X-\bar Y \right )-\left ( \mu _x-\mu _y \right ) }{S_w\sqrt{\frac{1}{n_x}+ \frac{1}{n_y}} }\sim t\left ( n_x+n_y-2 \right )T=Swnx1+ny1(Xˉ−Yˉ)−(μx−μy)∼t(nx+ny−2)
其中：Sw=(nx−1)Sx2+(ny−1)Sy2nx+ny−2S_w=\sqrt{\frac{\left ( n_x-1 \right )S_x^2+\left ( n_y-1 \right )S_y^2 }{n_x+n_y-2} } Sw=nx+ny−2(nx−1)Sx2+(ny−1)Sy2
定理8：设总体X服从正态分布N(μx,σx2)N\left ( \mu_x ,\sigma_x ^2 \right )N(μx,σx2)，总体Y服从正态分布N(μy,σy2)N\left ( \mu_y ,\sigma_y ^2 \right )N(μy,σy2)，则统计量F=∑i=1nx(Xi−μx)2/nxσx2∑j=1ny(Yi−μy)2/nyσy2F=\frac{\sum_{i=1}^{n_x}\left ( X_i-\mu _x \right )^2/n_x\sigma _x^2 }{\sum_{j=1}^{n_y}\left ( Y_i-\mu _y \right )^2/n_y\sigma _y^2}F=∑j=1ny(Yi−μy)2/nyσy2∑i=1nx(Xi−μx)2/nxσx2服从自由度为(nx,ny)\left ( n_x,n_y \right )(nx,ny)的F分布。即
F=∑i=1nx(Xi−μx)2/nxσx2∑j=1ny(Yi−μy)2/nyσy2∼F(nx,ny)F=\frac{\sum_{i=1}^{n_x}\left ( X_i-\mu _x \right )^2/n_x\sigma _x^2 }{\sum_{j=1}^{n_y}\left ( Y_i-\mu _y \right )^2/n_y\sigma _y^2} \sim F\left ( n_x,n_y \right ) F=∑j=1ny(Yi−μy)2/nyσy2∑i=1nx(Xi−μx)2/nxσx2∼F(nx,ny)
定理9：设总体X服从正态分布N(μx,σx2)N\left ( \mu_x ,\sigma_x ^2 \right )N(μx,σx2)，总体Y服从正态分布N(μy,σy2)N\left ( \mu_y ,\sigma_y ^2 \right )N(μy,σy2)，则统计量F=Sx2/σx2Sy2/σy2F=\frac{S_x^2/\sigma _x^2}{S_y^2/\sigma _y^2}F=Sy2/σy2Sx2/σx2服从自由度为 (nx−1,ny−1)\left ( n_x-1,n_y-1 \right )(nx−1,ny−1)的F分布，即
F=Sx2/σx2Sy2/σy2∼N(nx−1,ny−1)F=\frac{S_x^2/\sigma _x^2}{S_y^2/\sigma _y^2}\sim N\left ( n_x-1,n_y-1 \right )F=Sy2/σy2Sx2/σx2∼N(nx−1,ny−1)

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