什么是特征根(值)和特征向量?

如果把矩阵看作是运动,对于运动而言,最重要的当然就是运动的速度和方向。

  • 特征值就是运动的速度
  • 特征向量就是运动的方向

特征根:

特征根法也可用于通过数列的递推公式(即差分方程,必须为线性)求通项公式,其本质与微分方程相同。

称为二阶齐次线性差分方程: 加权的特征方程。

特征向量:
A为n阶矩阵,若数λ和n维非0列向量x满足Ax=λx,那么数λ称为A的特征值,x称为A的对应于特征值λ的特征向量。

式Ax=λx也可写成( A-λE)x=0,并且|λE-A|叫做A 的特征多项式。当特征多项式等于0的时候,称为A的特征方程,特征方程是一个齐次线性方程组,求解特征值的过程其实就是求解特征方程的解。

令|A-λE|=0,求出λ值。

A是n阶矩阵,Ax=λx,则x为特征向量,λ为特征值。

一旦找到两两互不相同的特征值λ,相应的特征向量可以通过求解方程(A – λI) v = 0 得到,其中v为待求特征向量,I为单位阵。

当特征值出现重根时,如λ1=λ2,此时,特征向量v1的求解方法为(A-λ1I)v1=0,v2为(A-λ2I)v2=v1,依次递推。

没有实特征值的一个矩阵的例子是顺时针旋转90度。

import numpy as np
A = np.array([[3,-1],[-1,3]])
print('打印A:\n{}'.format(A))
a, b = np.linalg.eig(A)
print('打印特征值a:\n{}'.format(a))
print('打印特征向量b:\n{}'.format(b))

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