期权定价公式

期权定价通常使用BSM公式，如下所示：
C(St,K,t,T,r,σ)=StN(d1)−e−r(T−t)KN(d2)(1.1)C(S_{t}, K, t, T, r, \sigma)=S_{t} N(d_{1})-e^{-r(T-t)}KN(d_{2}) \tag{1.1} C(St,K,t,T,r,σ)=StN(d1)−e−r(T−t)KN(d2)(1.1)
其中N(d)N(d)N(d)为标准正态分布x∼N(0,1)x \sim N(0,1)x∼N(0,1)时x<dx<dx<d时的概率，如下所示：
N(d)=12π∫−∞de−12x2dx(1.2)N(d)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int^{d}_{-\infty} e^{-\frac{1}{2}x^{2}}dx \tag{1.2} N(d)=2π1∫−∞de−21x2dx(1.2)
式中d1d_{1}d1和d2d_{2}d2为两个常数，定义为：
d1=log⁡StK+(r+σ22)(T−t)σT−t(1.3)d_{1}=\frac{\log \frac{S_{t}}{K} + (r+\frac{\sigma^{2}}{2})(T-t) }{\sigma \sqrt{T-t}} \tag{1.3} d1=σT−tlogKSt+(r+2σ2)(T−t)(1.3)
d2=log⁡StK+(r−σ22)(T−t)σT−t(1.4)d_{2}=\frac{\log \frac{S_{t}}{K} + (r-\frac{\sigma ^{2}}{2})(T-t)}{\sigma \sqrt{T-t}} \tag{1.4} d2=σT−tlogKSt+(r−2σ2)(T−t)(1.4)
上式中的符号说明如下所示：

C：期权价格；
StS_{t}St：标的资产价格；
K：期权行权价格；
t：当前时间；
T：期权到期时间；
r：短期无风险利率；
σ\sigmaσ：波动率；

迭代法

我们在初始状态下，先设定σ\sigmaσ为一个随机值σ0imp\sigma ^{imp}_{0}σ0imp，其中上标imp代表是隐含波动率，下标代表是第0步。将σ0imp\sigma ^{imp} _{0}σ0imp代入上面的公式，就可以求出一个期权的计算值C^\hat{C}C^，其与当前市场上的期权价格CCC的差值可以用来代表我们当初随机取的σ0imp\sigma ^{imp}_{0}σ0imp接近真实值的程度。
我们可以通过牛顿法来求解，我们首先求出∂C∂σ\frac{\partial{C}}{\partial{\sigma}}∂σ∂C：
vega=∂C∂σ=StN′(d1))T−t(1.5)vega=\frac{\partial{C}}{\partial{\sigma}} = S_{t} N'(d_{1})) \sqrt{T-t} \tag{1.5} vega=∂σ∂C=StN′(d1))T−t(1.5)
我们可以通过迭代法来找到更好的σ\sigmaσ的值：
σn+1imp=σnimp−1vega(C^n−C)(1.6)\sigma ^{imp}_{n+1} = \sigma ^{imp}_{n} - \frac{1}{vega}(\hat{C}_{n}-C) \tag{1.6} σn+1imp=σnimp−vega1(C^n−C)(1.6)
上式中nnn代表迭代步数，C代表期权的真实价格，C^n\hat{C}_{n}C^n为当前的计算值。

代码实现

我们首先定义期权估值的BS模型类，如下所示：

#
import math
from enum import Enum,unique
from scipy.stats import norm@unique
class DMode(Enum):D1 = 1D2 = 2class BsModel(object):def __init__(self):self.name = 'fak.option.bs_model.BsModel'@staticmethoddef calculate_C(St, K, t, T, r, sigma):'''已知波动率计算期权价格的BS公式'''d1 = BsModel.calculate_d1(St, K, t, T, r, sigma)d2 = BsModel.calculate_d2(St, K, t, T, r, sigma)nd1 = BsModel.calculate_nd(d1)nd2 = BsModel.calculate_nd(d2)return St * nd1 - math.exp(-r*(T-t)) * K * nd2@staticmethoddef calculate_vega(St, K, t, T, r, sigma):'''计算期权价格对d1的导数，即希腊字母vega的值'''d1 = BsModel.calculate_d1(St, K, t, T, r, sigma)nd1p = BsModel.calculate_ndp(d1)return St * nd1p * math.sqrt(T-t)@staticmethoddef calculate_d1(St, K, t, T, r, sigma):return BsModel.calculate_d(St, K, t, T, r, sigma, DMode.D1)@staticmethoddef calculate_d2(St, K, t, T, r, sigma):return BsModel.calculate_d(St, K, t, T, r, sigma, DMode.D2)@staticmethoddef calculate_d(St, K, t, T, r, sigma, mode):if DMode.D1 == mode:numerator = math.log(St / K)  + (r + sigma*sigma / 2.0)*(T - t)else:numerator = math.log(St / K) + (r - sigma*sigma / 2.0)*(T - t)denominator = sigma * math.sqrt(T-t)return numerator / denominator@staticmethoddef calculate_nd(x0, mu=0.0, sigma=1.0):'''计算由均值为mu，方差为sigma的正态分布下，x<=x0时的概率'''return norm.cdf(x0, loc=mu, scale=sigma)@staticmethoddef calculate_ndp(x0, mu=0.0, sigma=1.0):return norm.pdf(x0, loc=mu, scale=sigma)

代码解读如下所示：

第6~9行：定义枚举类来表示BS公式中计算d1还是d2；
第16~24行：根据式(1.1)(1.1)(1.1)计算给定波动率条件下期权价格；
第27~33行：根据式(1.5)(1.5)(1.5)计算期权价格对波动率的导数，即希腊字母vega；
第36~50行：计算BS公式中的d1和d2的值，通过mode来区分；
第53~57行：计算式(1.1)(1.1)(1.1)中N(d)N(d)N(d)，该项表示正态分布下值小于d的概率，需要用norm.cdf来计算；
第60、61行：计算式(1.5)(1.5)(1.5)中N(d)的导数，我们用norm.pdf来计算；
接下来，我们先假设我们知道波动率σ\sigmaσ，然后可以得到对应的期权价格CCC，然后我们随机给一个σ\sigmaσ的值，就可以计算出期权价格的计算值CtimpC^{imp}_{t}Ctimp，接下来我们求出vega，然后根据式(1.6)(1.6)(1.6)求出新的波动率σtimp\sigma^{imp}_{t}σtimp，循环上述过程，我们就可以求出波动率的真实值，在本例中就是我们初始时给定的波动率的值，代码如下所示：

    def startup(self):# 初始化变量St = 2100.0 # 标的资产价格K = 2200.0 # 行权价格t = 10 # 当前时间T = 30 # 到期时间r = 0.01 # 短期无风险利率sigma = 0.3 # 波动率# 假设已知波动率的情况下计算期权价格和vegaC = BsModel.calculate_C(St, K, t, T, r, sigma)vega = BsModel.calculate_vega(St, K, t, T, r, sigma)# 随机给出一个波动率，用迭代法求出波动率真值sigma_t = 1200for n in range(10000):C_t = BsModel.calculate_C(St, K, t, T, r, sigma_t)vega_t = BsModel.calculate_vega(St, K, t, T, r, sigma_t)sigma_t = sigma_t - 1/vega * (C_t - C)print('C0={0}; vega={1}; sigma={2};'.format(C_t, vega_t, sigma_t))print('真实值：C={0}; vega={1};'.format(C, vega))

运行结果如下所示：

如上图所示，我们经过1000步迭代，σ\sigmaσ从我们最初给定的随机值1200，逐步收敛到我们初始时设定的真实0.3，这正是我们想要的结果。

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