题目背景：

“最大子列和”被定义为所有连续子列元素的和中最大者。例如给定序列{ -2, 11, -4, 13, -5, -2 }，其连续子列{ 11, -4, 13 }有最大的和20。现要求你编写程序，计算给定整数序列的最大子列和。

本题旨在测试各种不同的算法在各种数据情况下的表现。各组测试数据特点如下：

数据1：与样例等价，测试基本正确性；
数据2：10^2个随机整数；
数据3：10^3个随机整数；
数据4：10^4个随机整数；
数据5：10^5个随机整数；

输入格式:
输入第1行给出正整数K (K≤100000)；第2行给出K个整数，其间以空格分隔。

输出格式:
在一行中输出最大子列和。如果序列中所有整数皆为负数，则输出0。

输入样例:
6
-2 11 -4 13 -5 -2
输出样例:
20

思路一暴力枚举：

通过双重for循环，依次枚举起点与终点，再对该范围内的元素进行求和操作，之后用已经记录好的max值进行比较，再选择是否更新max值。
如果求和使用的是for循环，那么这个算法的渐进复杂度将达到O(n^3 ),我们可以借鉴之前在动态规划是学到的由已知推未知，用一个二维数组来存每次的sum(i,j)，这样就可以把渐进复杂度改进为O(n^2).
如果求和使用的是二维数组，在这个二维数组里面仍然存在严重的空间浪费，所以，我们还可以仅借助一个一维数组来求和，而sum(i)表示的是从第一个元素开始到元素i的总和，那么上述的sum(i,j)可表示为sum(j)-sum(i-1) //注意对端点的处理

代码如下：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int N,num[100005],sum[100005];
int main(){scanf("%d",&N);for(int i=1;i<=N;i++)scanf("%d",&num[i]);sum[0] = 0;for(int i = 1; i <= N; i++) {sum[i]=num[i]+sum[i-1];}int ans = num[1]; for(int i = 1; i <= N; i++) {for(int j = i; j <= N; j++) {int s = sum[j] - sum[i - 1];if(s > ans) ans = s;}}printf("%d\n", ans);return 0;
}

思路二分而治之：

使用分而治之，将一个问题分解为规模更小但类型相同的子问题
对于一个区间，我们一般都是取中点从而分解为两个区间，那么此时我们的问题是应该如何处理这两个区间的关系。
我们可以确定，对于这个区间来说，最终的结果只存在3种可能：
1.目标序列位于左区间
2.目标序列位于右区间
3.目标序列横跨左右区间
对于1，2，我们只需要继续分治即可，问题在于如何处理问题3
对于一个横跨左右区间的序列来说，其实它还是由两段序列所组成：分别以左右区间交界点（即中点）为起点的最大连续子序列，这个问题便被简化为了固定起点的连续序列求和，这两个序列之和即问题3的结果。
这种解法的渐进复杂度为O(n*logn)

代码如下：

#include <bits/stdc++.h>
int N,num[100005];
using namespace std;
int solve(int left, int right){if(left==right)return num[left];int mid=(left+right)/2;int lans=solve(left,mid);int rans=solve(mid+1,right);int sum=0,lmax=num[mid],rmax=num[mid+1];for(int i=mid;i>=left;i--){sum+=num[i];if(sum>lmax)lmax=sum;}sum=0;for(int i=mid+1;i<=right;i++){sum+=num[i];if(sum>rmax)rmax=sum;}int ans=lmax+rmax;if(lans>ans)ans=lans;if(rans>ans)ans=rans;return ans;
}
int main(){scanf("%d",&N);for(int i=1;i<=N;i++)scanf("%d",&num[i]);printf("%d\n",solve(1,N));return 0;
}

思路三动态规划/在线处理：

步骤一：确定状态
步骤二：确定状态转移方程
步骤三：确定边界情况和初始条件
步骤四：确定计算顺序
我们用dp[n]表示以第n个数结尾的最大连续子序列的和，于是存在以下递推公式：
dp[n] = max(0, dp[n-1]) + num[n]
对于第n个数，以它为结尾的最大连续子序列可以由前一个数的状态决定，若前者为负数，则会选择0，若为正数，则可相连
这其实不算标准的动态规划，也可认为是一种在线处理，每输入一个数据就进行即时处理，在任何一个地方中止输入，算法都能正确给出当前的解
时间复杂度为O(n).

代码如下：

#include<bits/stdc++.h>
int N,num[100005];
using namespace std;
int main(){scanf("%d", &N);for(int i=1;i<=N;i++)scanf("%d",&num[i]);num[0]=0;int ans=num[1];for(int i=1;i<=N;i++){num[i]+=max(0,num[i-1]);if(num[i]>ans)ans=num[i];}printf("%d\n",ans);return 0;
}

思路四数学分析（另类在线处理）：

对于sum(i,j)来说，求和方法为sum(j)-sum(i-1)，那么从数学角度，在确定j的位置时，减去其前方sum(i-1)的最小值即可求以j结尾的最大连续子序列和
那么完全在一次遍历中达到我们的目的，把复杂度保持在O（n）。

#include<bits/stdc++.h>
int N,num[100005];
using namespace std;
int main(){scanf("%d",&N);for(int i=1;i<=N;i++)scanf("%d",&num[i]);int ans=num[1],lmin=0;for(int i=1;i<=N;i++){num[i]+=num[i-1];if(num[i]-lmin>ans)ans=num[i]-lmin;if(num[i]<lmin)lmin=num[i];}printf("%d\n",ans);return 0;
}

结语：

这道题本身是一道经典的题目，同时也是为了下一道题而做的铺垫。

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