雷神3开方算法解析，游戏运行速度提高四倍。

我们平时经常会有一些数据运算的操作，需要调用sqrt，exp，abs等函数，那么时候你有没有想过：这个些函数系统是如何实现的？就拿最常用的sqrt函数来说吧，系统怎么来实现这个经常调用的函数呢？

虽然有可能你平时没有想过这个问题，不过正所谓是“临阵磨枪，不快也光”，你“眉头一皱，计上心来”，这个不是太简单了嘛，用二分的方法，在一个区间中，每次拿中间数的平方来试验，如果大了，就再试左区间的中间数；如果小了，就再拿右区间的中间数来试。比如求sqrt(16)的结果，你先试（0+16）/2=8，8*8=64，64比16大，然后就向左移，试（0+8）/2=4，4*4=16刚好，你得到了正确的结果sqrt(16)=4。然后你三下五除二就把程序写出来了：

float SqrtByBisection(float n) //用二分法
{ if(n<0) //小于0的按照你需要的处理 return n; float mid,last; float low,up; low=0,up=n; mid=(low+up)/2; do{if(mid*mid>n)up=mid; else low=mid;last=mid;mid=(up+low)/2; }while(abs(mid-last) > eps);//精度控制return mid;
}

然后看看和系统函数性能和精度的差别（其中时间单位是CPU 节拍）

从图中可以看出，二分法和系统的方法结果上完全相同，但是性能上整整差了几百倍。为什么会有这么大的区别呢？难道系统有什么更好的办法？难道。。。。哦，对了，回忆下我们曾经的高数课，曾经老师教过我们“牛顿迭代法快速寻找平方根”，或者这种方法可以帮助我们，具体步骤如下：

求出根号a的近似值：首先随便猜一个近似值x，然后不断令x等于x和a/x的平均数，迭代个六七次后x的值就已经相当精确了。

例如，我想求根号2等于多少。假如我猜测的结果为4，虽然错的离谱，但你可以看到使用牛顿迭代法后这个值很快就趋近于根号2了：
( 4 + 2/4 ) / 2 = 2.25
( 2.25 + 2/2.25 ) / 2 = 1.56944..
( 1.56944..+ 2/1.56944..) / 2 = 1.42189..
( 1.42189..+ 2/1.42189..) / 2 = 1.41423..

下面介绍下牛顿迭代法原理，直接搬度娘了：

设r是

的根，选取

作为r的初始近似值，过点

做曲线

的切线L，L的方程为

，求出L与x轴交点的横坐标

，称x ₁为r的一次近似值。过点

做曲线

的切线，并求该切线与x轴交点的横坐标

，称

为r的二次近似值。重复以上过程，得r的近似值序列，其中，

称为r的

次近似值，上式称为 牛顿迭代公式。

用牛顿迭代法解非线性方程，是把非线性方程

线性化的一种近似方法。把

在点

的某邻域内展开成泰勒级数

，取其线性部分（即泰勒展开的前两项），并令其等于0，即

，以此作为非线性方程

的近似方程，若

，则其解为

，这样，得到牛顿迭代法的一个迭代关系式：

。

设原方程为f(x)=x^2-a，x(n+1)=x(n)-f(x(n))/f'(x(n))带入原方程可得f(x)=x(n)-f(x(n))/f'(x(n))-a,得到x-(x^2-a)/(2x)=0，也就是(x+a/x)/2。

代码很简单，直接给出

float SqrtByNewton(float x)
{float val = x;//假设猜测值就是xfloat last;//保存上一个计算的值do{last = val;val =(val + x/val) / 2;}while(abs(val-last) > eps);return val;
}

哇塞，性能提高了很多，可是和系统函数相比，还是有这么大差距，这是为什么呀？想啊想啊，想了很久仍然百思不得其解。突然有一天，我在网上看到一个神奇的方法，于是就有了今天的这篇文章，废话不多说，看代码先：

float InvSqrt(float x)
{float xhalf = 0.5f*x;int i = *(int*)&x; // get bits for floating VALUE i = 0x5f375a86- (i>>1); // gives initial guess y0x = *(float*)&i; // convert bits BACK to floatx = x*(1.5f-xhalf*x*x); // Newton step, repeating increases accuracyx = x*(1.5f-xhalf*x*x); // Newton step, repeating increases accuracyx = x*(1.5f-xhalf*x*x); // Newton step, repeating increases accuracyreturn 1/x;
}

然后我们最后一次来看下性能测试：

这次真的是质变了，结果竟然比系统的还要好。。。哥真的是震惊了！！！哥吐血了！！！一个函数引发了血案！！！血案，血案。。。

到现在你是不是还不明白那个“鬼函数”，到底为什么速度那么快吗？不急，先看看下面的故事吧：

Quake-III Arena (雷神之锤3)是90年代的经典游戏之一。该系列的游戏不但画面和内容不错，而且即使计算机配置低，也能极其流畅地运行。这要归功于它3D引擎的开发者约翰-卡马克（John Carmack）。事实上早在90年代初DOS时代，只要能在PC上搞个小动画都能让人惊叹一番的时候，John Carmack就推出了石破天惊的Castle Wolfstein, 然后再接再励，doom, doomII, Quake...每次都把3-D技术推到极致。他的3D引擎代码资极度高效，几乎是在压榨PC机的每条运算指令。当初MS的Direct3D也得听取他的意见，修改了不少API。

最近，QUAKE的开发商ID SOFTWARE 遵守GPL协议，公开了QUAKE-III的原代码，让世人有幸目睹Carmack传奇的3D引擎的原码。这是QUAKE-III原代码的下载地址：
http://www.fileshack.com/file.x?fid=7547

(下面是官方的下载网址，搜索 “quake3-1.32b-source.zip” 可以找到一大堆中文网页的。ftp://ftp.idsoftware.com/idstuff/source/quake3-1.32b-source.zip)

我们知道，越底层的函数，调用越频繁。3D引擎归根到底还是数学运算。那么找到最底层的数学运算函数（在game/code/q_math.c），必然是精心编写的。里面有很多有趣的函数，很多都令人惊奇，估计我们几年时间都学不完。在game/code/q_math.c里发现了这样一段代码。它的作用是将一个数开平方并取倒，经测试这段代码比(float)(1.0/sqrt(x))快4倍：

float Q_rsqrt( float number )
{long i;float x2, y;const float threehalfs = 1.5F;x2 = number * 0.5F;y   = number;i   = * ( long * ) &y;   // evil floating point bit level hackingi   = 0x5f3759df - ( i >> 1 ); // what the fuck?y   = * ( float * ) &i;y   = y * ( threehalfs - ( x2 * y * y ) ); // 1st iteration// y   = y * ( threehalfs - ( x2 * y * y ) ); // 2nd iteration, this can be removed#ifndef Q3_VM#ifdef __linux__assert( !isnan(y) ); // bk010122 - FPE?#endif#endifreturn y;
}

函数返回1/sqrt(x)，这个函数在图像处理中比sqrt(x)更有用。
注意到这个函数只用了一次叠代！（其实就是根本没用叠代，直接运算）。编译，实验，这个函数不仅工作的很好，而且比标准的sqrt()函数快4倍！要知道，编译器自带的函数，可是经过严格仔细的汇编优化的啊！
这个简洁的函数，最核心，也是最让人费解的，就是标注了“what the fuck?”的一句
i = 0x5f3759df - ( i >> 1 );

再加上y = y * ( threehalfs - ( x2 * y * y ) );
两句话就完成了开方运算！而且注意到，核心那句是定点移位运算，速度极快！特别在很多没有乘法指令的RISC结构CPU上，这样做是极其高效的。

算法的原理其实不复杂,就是牛顿迭代法,用x-f(x)/f'(x)来不断的逼近f(x)=a的根。

没错，一般的求平方根都是这么循环迭代算的但是卡马克(quake3作者)真正牛B的地方是他选择了一个神秘的常数0x5f3759df 来计算那个猜测值，就是我们加注释的那一行，那一行算出的值非常接近1/sqrt(n)，这样我们只需要2次牛顿迭代就可以达到我们所需要的精度。好吧如果这个还不算NB,接着看:

普渡大学的数学家Chris Lomont看了以后觉得有趣，决定要研究一下卡马克弄出来的这个猜测值有什么奥秘。Lomont也是个牛人，在精心研究之后从理论上也推导出一个最佳猜测值，和卡马克的数字非常接近, 0x5f37642f。卡马克真牛，他是外星人吗？

传奇并没有在这里结束。Lomont计算出结果以后非常满意，于是拿自己计算出的起始值和卡马克的神秘数字做比赛，看看谁的数字能够更快更精确的求得平方根。结果是卡马克赢了... 谁也不知道卡马克是怎么找到这个数字的。

最后Lomont怒了，采用暴力方法一个数字一个数字试过来，终于找到一个比卡马克数字要好上那么一丁点的数字，虽然实际上这两个数字所产生的结果非常近似，这个暴力得出的数字是0x5f375a86。

最后，给出最精简的1/sqrt()函数：

float InvSqrt(float x)
{float xhalf = 0.5f*x;int i = *(int*)&x; // get bits for floating VALUE i = 0x5f375a86- (i>>1); // gives initial guess y0x = *(float*)&i; // convert bits BACK to floatx = x*(1.5f-xhalf*x*x); // Newton step, repeating increases accuracyreturn x;
}

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