点集拓扑——基本知识点整理归纳

假如全集为XXX，对于XXX中的一个点集SSS（S⊂XS\subset XS⊂X，且SSS非空，这里用⊂\subset⊂表示SSS不是XXX本身，与⊆\subseteq⊆做区分）来说，全集XXX中的点可以被不重叠地分为三类，或者说这三类点构成一个全集的分割，并且，这样的分割主要有两种：

第一种：
X=S∘⊎∂S⊎(Sc)∘X = S^{\circ} \uplus \partial S\uplus (S^{c})^{\circ} X=S∘⊎∂S⊎(Sc)∘
上式中的集合运算符号是⊎\uplus⊎，意为“无交并”，即参与运算集合的交集为空；下面分别叙述式中三个集合的定义，应充分理解它们为什么交集为空，它们为何能构成全集的分割：

S∘S^{\circ}S∘：集合SSS的“内部”，通常记为S∘S^{\circ}S∘或int(S)\mathrm{int}(S)int(S)

集合内部的点被称为集合的内点（如果x∈Sx\in Sx∈S，存在一个xxx的邻域U(x)U(x)U(x)，使得U(x)⊆SU(x)\subseteq SU(x)⊆S，那么称xxx为SSS的内点）

(Sc)∘(S^{c})^{\circ}(Sc)∘：集合SSS的“外部”

集合的外部也可以被理解为集合的补集（集合SSS相对于全集XXX的补集记为ScS^{c}Sc，Sc={x∣x∈X,x∉S}S^{c} = \{x|x\in X, x\notin S\}Sc={x∣x∈X,x∈/S}）的内部

∂S\partial S∂S：集合SSS的边界

集合的边界点（如果对于xxx的任意邻域U(x)U(x)U(x)，总是有U(x)∩S≠∅U(x)\cap S \neq \emptyU(x)∩S=∅且U(x)∩Sc≠∅U(x)\cap S^{c} \neq \emptyU(x)∩Sc=∅，那么称xxx是SSS的边界点）构成的集合被称为集合的边界

第二种：
X=S′⊎Si⊎(Sc)∘=Sˉ⊎(Sc)∘\begin{aligned} X &= S{'} \uplus S^{i} \uplus (S^{c})^{\circ}\\ &= \bar{S} \uplus (S^{c})^{\circ} \end{aligned} X=S′⊎Si⊎(Sc)∘=Sˉ⊎(Sc)∘
结合第一种全集的分割，不难发现有：Sˉ=S′⊎Si=S∘⊎∂S\bar{S} = S{'} \uplus S^{i} = S^{\circ} \uplus \partial SSˉ=S′⊎Si=S∘⊎∂S成立，上式中新出现的三种集合定义如下：

S′S{'}S′：集合SSS的导集

集合SSS的所有聚点（如果对于xxx的任意去心邻域U˚(x)\mathring{U}(x)U˚(x)，总是有U˚(x)∩S≠∅\mathring{U}(x)\cap S \neq \emptyU˚(x)∩S=∅，那么称xxx为SSS的聚点）组成的集合被称为SSS的导集

SiS^{i}Si：集合SSS的孤立点集

集合SSS的孤立点（如果x∈Sx\in Sx∈S，存在一个xxx的去心邻域U˚(x)\mathring{U}(x)U˚(x)，使得U˚(x)∩S=∅\mathring{U}(x)\cap S = \emptyU˚(x)∩S=∅，那么称xxx为SSS的孤立点）组成的集合

Sˉ\bar{S}Sˉ：SSS的闭包，通常记为Sˉ\bar{S}Sˉ或cl(S)\mathrm{cl}(S)cl(S)

闭包的定义与导集的定义很相似，但从上式中可看出，闭包还包括了孤立点集，集合的闭包是满足如下条件的点集：对于xxx的任意邻域U(x)U(x)U(x)，总是有U(x)∩S≠∅U(x)\cap S \neq \emptyU(x)∩S=∅

用上图来示意内部、边界与原本集合的关系，最左边的图中，所有用蓝色着色的地方属于SSS，用实线标出的边界属于SSS，但用虚线标出的边界不属于SSS，显然，该集合有一个孤立点，并且集合内部有一个不属于该集合的点（集合内部有一个“洞”）

中间的图是集合的内部，包含了集合中的所有内点，可以看出，所有边界点和孤立点都不是内点；最右边的图是集合的边界，集合的边界点不一定属于该集合，除了大块区域的边界点之外，集合的边界还包括孤立点和集合内部的“洞”

用上图来示意闭包、导集与原本集合的关系；中间的图是该集合的导集，导集包含了集合的所有聚点，能看出导集包含了所有内点，并且还包含了大块区域的边界以及集合内部的“洞”，但导集不包含孤立点；最右边的图是该集合的闭包，闭包在导集的基础之上还包含了孤立点集

注：

在实空间当中，孤立点与集合内部的“洞”也属于集合的边界
∂S=∂Sc\partial S = \partial S^{c}∂S=∂Sc
聚点和孤立点的定义互斥
集合的闭包也有两种分割，即Sˉ=S∘⊎∂S=S′⊎Si\bar{S} = S^{\circ} \uplus \partial S = S{'} \uplus S^{i}Sˉ=S∘⊎∂S=S′⊎Si
集合的内点和孤立点一定属于该集合
集合的边界点和聚点不一定属于该集合
S∘⊆S⊆SˉS^{\circ}\subseteq S\subseteq \bar{S}S∘⊆S⊆Sˉ

除了几种上述定义之外，点集SSS还可以被归类为开集或闭集：

开集：如果一个集合中的点全是该集合的内点，那么这个集合是开集，显然，集合的内部是开集（可以把开集简单理解为不包含边界的集合，开集不允许包含孤立点，开集允许集合中有“洞”）
闭集：如果一个集合包含了它的所有聚点，那么这个集合是闭集，换言之：如果S′⊆SS{'}\subseteq SS′⊆S，那么SSS是闭集，显然，集合的导集和闭包是闭集，集合的边界也是闭集（可以把闭集简单理解为包含边界的一整块并附加若干孤立点，闭集允许包含孤立点，闭集不允许集合中有“洞”）

另外，闭集也有其他等价定义，如：1）一个集合是闭集当且仅当它的补集是开集；2）一个集合是闭集当且仅当Sˉ=S\bar{S}=SSˉ=S；空集和全集比较特殊，它们既是开集也是闭集

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