实分析

0 实数系完备性定理与达布积分

0.1 稠密性与完备性

稠密性：
两个不同数之间总存在第三个数，如有理数、无理数、实数都具有稠密性.

完备性(连续性)：
两个不同数之间不存在第三个数，如实数.
Tips: 完备未必稠密，如自然数集，康托尔三分集等.

0.2 六个等价的实数系完备性定理

0.2.1 Cauchy收敛准则

{xn}\{x_n\}{xn} 为基本列 ⇔∀ε>0,∃N∈N+,s.t.∀m,n>N:∣xn−xm∣<ε\ \Leftrightarrow \ \forall \varepsilon>0,\exists N\in\N^+,\mathrm{s.t.} \ \forall m,n>N:|x_n-x_m|<\varepsilon ⇔ ∀ε>0,∃N∈N+,s.t. ∀m,n>N:∣xn−xm∣<ε ⇔\Leftrightarrow⇔ {xn}\{x_n\}{xn} 收敛.

0.2.2 单调有界收敛原理

单调有界数列必收敛.

0.2.3 闭区间套定理

若 {[an,bn]}\{[a_n,b_n]\}{[an,bn]} 形成一个闭区间套，即 [an,bn]⊆[an−1,bn−1][a_n,b_n]\subseteq [a_{n-1},b_{n-1}][an,bn]⊆[an−1,bn−1]，则 ∃!ξ∈[an,bn](n∈N+)\exists!\xi\in[a_n,b_n](n\in\N^+)∃!ξ∈[an,bn](n∈N+)，且 ξ=lim⁡n→∞an=lim⁡n→∞bn.\xi =\lim\limits_{n\to\infty}a_n=\lim\limits_{n\to\infty}b_n.ξ=n→∞liman=n→∞limbn.

0.2.4 确界存在定理

非空有上(下)界数集必有上(下)确界.

0.2.5 Bolzano-Weierstrass定理(凝聚定理/聚点定理/致密性定理)

有界数列必有收敛子列.

Rn\mathbb R^nRn中任意有界无限点集必有聚点.(这里的聚点指的是子列极限点)

0.2.6 Heine–Borel有限覆盖定理

一族开集 {Ik}k∈Λ\{I_k\}_{k\in \Lambda}{Ik}k∈Λ 是闭集 EEE 的一个(无限)开覆盖，即 E⊆⋃k∈ΛIkE\subseteq \bigcup\limits_{k\in \Lambda}I_kE⊆k∈Λ⋃Ik，则必可以从 {Ik}k∈Λ\{I_k\}_{k\in \Lambda}{Ik}k∈Λ 中选择有限个开区间来覆盖 EEE.

0.3 Darboux积分

设 fff 为定义在区间 [a,b][a,b][a,b] 的函数，P:a=x0<x1<⋯<xn=bP:a=x_0<x_1<\cdots<x_n=bP:a=x0<x1<⋯<xn=b 为区间[a,b][a,b][a,b] 的一个划分，
Mi=sup⁡x∈[xi−1,xi]f(x),mi=inf⁡x∈[xi−1,xi]f(x)M_i=\sup_{_{x\in [x_{i-1},x_i]}}f(x)\ ,\ m_i=\inf_{_{x\in [x_{i-1},x_i]}}f(x) Mi=x∈[xi−1,xi]supf(x) , mi=x∈[xi−1,xi]inff(x)
记
U(f,P)=∑i=1n(xi−xi−1)Mi,L(f,P)=∑i=1n(xi−xi−1)miU(f,P)=\sum_{i=1}^n(x_i-x_{i-1})M_i\ ,\ L(f,P)=\sum_{i=1}^n(x_i-x_{i-1})m_i U(f,P)=i=1∑n(xi−xi−1)Mi , L(f,P)=i=1∑n(xi−xi−1)mi
为达布上下和. 记
Uf=inf⁡{U(f,P)}=∫ab‾f(x)dx,Lf=sup⁡{L(f,P)}=∫ab‾f(x)dxU_f=\inf{\{U(f,P)\}}=\overline{\int_a^b}f(x)\mathrm{d}x\ ,\ L_f=\sup{\{L(f,P)\}}=\underline{\int_a^b}f(x)\mathrm{d}x Uf=inf{U(f,P)}=∫abf(x)dx , Lf=sup{L(f,P)}=∫abf(x)dx
为达布上下积分.

若 Uf=LfU_f=L_fUf=Lf ，则称 fff 达布可积.

1 集合理论

1.1 集合关系与运算

子集：

“A含于B” = “B包含A” = “A是B的子集” ;

“A真含于B” = “B真包含A” = “A是B的真子集” ;

注意：符号 ⊂\subset⊂ 非严格符号，不同教材中存在不同含义.

∀a∈A:a∈B⇔A⊆BorA⫅BA⊆B∧A≠B⇔A⊊BorA⫋B\begin{aligned} \forall\ a\in A:a\in B &\Leftrightarrow A \subseteq B \ or \ A \subseteqq B \\ A\subseteq B\wedge A\ne B &\Leftrightarrow A\subsetneq B \ or \ A\subsetneqq B \end{aligned}∀ a∈A:a∈BA⊆B∧A=B⇔A⊆B or A⫅B⇔A⊊B or A⫋B

并集：
A∪B={x:x∈A∨x∈B},⋃α∈ΛAα={x:∃k∈Λ,s.t.x∈Aα}A\cup B=\{x:x\in A\vee x\in B\},\ \bigcup_{\alpha\in\Lambda}A_\alpha=\{x:\exists k\in\Lambda,\ \mathrm{s.t.}\ x\in A_\alpha\} A∪B={x:x∈A∨x∈B}, α∈Λ⋃Aα={x:∃k∈Λ, s.t. x∈Aα}

交集：
A∩B={x:x∈A∧x∈B},⋂α∈ΛAk={x:∀k∈Λ,x∈Aα}A\cap B=\{x:x\in A \wedge x\in B\},\ \bigcap_{\alpha\in\Lambda}A_k=\{x:\forall k\in\Lambda,x\in A_\alpha\} A∩B={x:x∈A∧x∈B}, α∈Λ⋂Ak={x:∀k∈Λ,x∈Aα}

差集：
A\B=A∩Bc={x:x∈A∧x∉B}A\backslash B=A\cap B^c=\{x:x\in A \wedge x\notin B \}A\B=A∩Bc={x:x∈A∧x∈/B}

余集：
Ac=R\A=R−A={x:x∈R∧x∉A}A^c=\R\backslash A=\R-A=\{x:x\in \R \wedge x\notin A\} Ac=R\A=R−A={x:x∈R∧x∈/A}

直积 (笛卡尔积)：
A×B={(a,b):a∈A∧b∈B}A\times B=\{(a,b):a\in A\wedge b\in B\}A×B={(a,b):a∈A∧b∈B}

交换律：
A∪B=B∪A,A∩B=B∩AA\cup B=B\cup A\ ,\ A\cap B=B\cap A A∪B=B∪A , A∩B=B∩A

结合律：
A∪(B∪C)=(A∪B)∪CA∩(B∩C)=(A∩B)∩CA\cup(B\cup C)=(A\cup B)\cup C \\ A\cap(B\cap C)=(A\cap B)\cap C A∪(B∪C)=(A∪B)∪CA∩(B∩C)=(A∩B)∩C

分配律：
A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)A\cap(B\cup C)=(A\cap B)\cup(A\cap C) A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)

De Morgan(德摩根)律：
(⋃α∈ΛAα)c=⋂α∈ΛAαc,(⋂α∈ΛAα)c=⋃α∈ΛAαc\left(\bigcup_{\alpha\in\Lambda} A_\alpha\right)^c=\bigcap_{\alpha\in\Lambda}A_\alpha^c \ ,\ \left(\bigcap_{\alpha\in\Lambda} A_\alpha\right)^c=\bigcup_{\alpha\in\Lambda}A_\alpha^c (α∈Λ⋃Aα)c=α∈Λ⋂Aαc , (α∈Λ⋂Aα)c=α∈Λ⋃Aαc

1.2 映射

设 X,YX,YX,Y 为两个非空集合，若存在一种对应法则 fff，使得每个 x∈Xx\in Xx∈X 都有唯一的 y∈Yy\in Yy∈Y 与之对应，则称 fff 为 XXX 到 YYY 的一个映射，记为
f:X→Y∀x↦∃!y=f(x)\begin{aligned} f: \ X \ &\to Y \\ \forall x \ &\mapsto \exists! \ y=f(x) \end{aligned}f: X ∀x →Y↦∃! y=f(x)
y=f(x)y=f(x)y=f(x) 称 xxx 在映射 fff 下的像，xxx 称 yyy 的原像；

XXX 为定义域，Imf=f(X)={f(x):x∈X}\mathrm{Im}f=f(X)=\{f(x):x\in X\}Imf=f(X)={f(x):x∈X} 为值域或像集 ⊆Y\subseteq Y⊆Y为陪域.

若 Imf=f(X)=Y\mathrm{Im}f=f(X)=YImf=f(X)=Y，则映射为满射；

若 ∀x1,x2∈X,x1≠x2:f(x1)≠f(x2)\forall x_1,x_2\in X,x_1\ne x_2:f(x_1)\ne f(x_2)∀x1,x2∈X,x1=x2:f(x1)=f(x2)，则称映射为单射；

若即为单射又为满射称双射，又称 一一映射.

映射 f:X→Yf:X\to Yf:X→Y 为双射 ⇔\Leftrightarrow⇔ 存在逆映射 f−1f^{-1}f−1.

若 f:X→Y,g:Y→Zf:X\to Y,g:Y\to Zf:X→Y,g:Y→Z，则复合映射
g∘f:X→Zx↦z=g(f(x))\begin{aligned} g\circ f:X &\to Z \\ x\ &\mapsto\ z=g(f(x))\end{aligned}g∘f:Xx →Z↦ z=g(f(x)).

1.3 集的基数与对等

若存在一个由集合 XXX 到 YYY 的双射，则称 XXX 与 YYY 对等(亦称等势)，记为 X∼YX\sim YX∼Y，规定空集 Φ∼Φ\Phi\sim\PhiΦ∼Φ.

对等关系是一种等价关系，满足反身性：X∼XX\sim XX∼X，对称性：X∼Y⇒Y∼XX\sim Y\Rightarrow Y \sim XX∼Y⇒Y∼X，传递性： X∼Y∼Z⇒X∼ZX\sim Y\sim Z\Rightarrow X\sim ZX∼Y∼Z⇒X∼Z.

元素相等的两个有限集对等.

无限集存在一个真子集与之对等. 如：正整数集与偶数集

000 (空集Φ\PhiΦ的势/基数) < nnn (n元有限集的势，或称基数, n∈N+n\in\N^+n∈N+) < ℵ0\aleph_0ℵ0 (可列集的势，读作阿列夫零) < ℵ\alephℵ (无限集的势)

康托尔-伯恩斯坦-施罗德(Cantor-Bernstein-Schroeder)定理：

A,B≠ΦA,B\neq \PhiA,B=Φ, A∼BA\sim BA∼B 的一个子集，B∼AB\sim AB∼A 的一个子集，则 A∼BA\sim BA∼B.
即 A=⩽B=,A=⩾B=⇒A==B=.\overset{=}A \leqslant \overset{=}B\ ,\ \overset{=}A \geqslant \overset{=}B\ \Rightarrow\ \overset{=}A=\overset{=}B.A=⩽B= , A=⩾B= ⇒ A==B=.

1.4 有限集与可列集

有限集： n个元素，n为非负整数，即与集合{1,2,⋯,n}\{1,2,\cdots,n\}{1,2,⋯,n}对等；否则为无限集.

可列集(可数集)： 无限集元素能按照某种规律排成一个序列;与自然数集 N\mathbb NN 对等；否则为不可列集.

至多可数集： 有限集与可列集的统称.

1.5 集合语言描述

fff 是定义在 EEE 上的函数

f(E)={f(x):x∈E}f(E)=\{f(x):x\in E\}f(E)={f(x):x∈E}

fff 是定义在 R\mathbb{R}R 上的函数，在 [a,b][a,b][a,b] 有上界 MMM，即 ∀x∈[a,b]:f(x)⩽M\forall x\in [a,b]:f(x)\leqslant M∀x∈[a,b]:f(x)⩽M

[a,b]⊆{x:f(x)⩽M}[a,b]\subseteq \{x:f(x)\leqslant M\}[a,b]⊆{x:f(x)⩽M}

fff 在 R\mathbb{R}R 上连续，取定 x0∈Rx_0\in\mathbb{R}x0∈R，即 ∀ε>0,∃δ>0,s.t.x∈(x0−δ,x0+δ),∣f(x)−f(x0)∣<ε\forall \varepsilon >0,\exists \delta >0,\mathrm{s.t.} x\in (x_0-\delta,x_0+\delta),|f(x)-f(x_0)|<\varepsilon∀ε>0,∃δ>0,s.t.x∈(x0−δ,x0+δ),∣f(x)−f(x0)∣<ε

(x0−δ,x0+δ)⊆{x:∣f(x)−f(x0)∣<ϵ}(x_0-\delta,x_0+\delta)\subseteq \{x:|f(x)-f(x_0)|<\epsilon\}(x0−δ,x0+δ)⊆{x:∣f(x)−f(x0)∣<ϵ}
f((x0−δ,x0+δ))⊆(f(x0)−ε,f(x0)+ϵ)f((x_0-\delta,x_0+\delta))\subseteq (f(x_0)-\varepsilon,f(x_0)+\epsilon)f((x0−δ,x0+δ))⊆(f(x0)−ε,f(x0)+ϵ)

fff 在 R\mathbb{R}R 定义，在 R\mathbb{R}R 有上界 MMM

R={x:f(x)⩽M}={x:f(x)⩽M+1}\mathbb{R}=\{x:f(x)\leqslant M\}=\{x:f(x)\leqslant M+1\}R={x:f(x)⩽M}={x:f(x)⩽M+1}

(a,b)=⋃n=1∞[a+1n,b−1n]\displaystyle (a,b)=\bigcup\limits_{n=1}^{\infty}[\ a+\frac{1}{n},b-\frac{1}{n}\ ](a,b)=n=1⋃∞[ a+n1,b−n1 ]

proof:

LHS⊂RHS:LHS \subset RHS:LHS⊂RHS:
∀x∈(a,b),x−a>0,b−x>0\forall x\in (a,b),x-a>0,b-x>0∀x∈(a,b),x−a>0,b−x>0
∃n∈N,s.t.1n<min⁡{x−a,b−x}\exists n\in\mathbb{N},\mathrm{s.t.}\ \frac{1}{n}<\min\{x-a,b-x\}∃n∈N,s.t. n1<min{x−a,b−x}
即 x∈[a−1n,b+1n]x\in [a-\frac{1}{n},b+\frac{1}{n}]x∈[a−n1,b+n1]

RHS⊂LHS:RHS \subset LHS:RHS⊂LHS:
∀x∈⋃n=1∞[a+1n,b−1n],∃n∈R,s.t.x∈[a−1n,b+1n]⊆(a,b)\forall x\in \bigcup\limits_{n=1}^{\infty}[a+\frac{1}{n},b-\frac{1}{n}],\exists n\in\mathbb{R},\mathrm{s.t.}x\in [a-\frac{1}{n},b+\frac{1}{n}]\subseteq (a,b)∀x∈n=1⋃∞[a+n1,b−n1],∃n∈R,s.t.x∈[a−n1,b+n1]⊆(a,b)

⋃λ∈ΛAλ={x:∃x∈Λ,s.t.x∈Aλ}⋂λ∈ΛAλ={x:∀x∈Λ:x∈Aλ}\begin{aligned} {\color{red}\bigcup\limits_{\lambda\in\Lambda}}A_{\lambda}&=\{x:{\color{red}\exists} x\in\Lambda,\mathrm{s.t.\ }x\in A_{\lambda}\} \\{\color{red}\bigcap\limits_{\lambda\in\Lambda}}A_{\lambda}&=\{x:{\color{red}\forall} x\in\Lambda :x\in A_{\lambda}\} \end{aligned}λ∈Λ⋃Aλλ∈Λ⋂Aλ={x:∃x∈Λ,s.t. x∈Aλ}={x:∀x∈Λ:x∈Aλ}

eg1:
{fn(x)}\{f_n(x)\}{fn(x)} 为定义在 EEE 上的函数列，若 x∈E,{fn(x)}x\in E,\ \{f_n(x)\}x∈E, {fn(x)} 有界 ⇔∃M>0,s.t.∀n∈N:∣fn(x)∣⩽M\Leftrightarrow \exists M>0,\ \mathrm{s.t.}\ \forall n\in\mathbb{N}:|f_n(x)|\leqslant M⇔∃M>0, s.t. ∀n∈N:∣fn(x)∣⩽M
⇔⋃M∈R+⋂n=1∞{∣fn(x)∣⩽M}\Leftrightarrow\displaystyle\bigcup\limits_{M\in\mathbb{R^+}}\bigcap\limits_{n=1}^{\infty}\{|f_n(x)|\leqslant M\}⇔M∈R+⋃n=1⋂∞{∣fn(x)∣⩽M}

eg2:
{fn(x)}\{f_n(x)\}{fn(x)} 为 EEE 上的函数列，xxx 使 fn(x){f_n(x)}fn(x) 收敛于 000 的点，即
∀ε>0,∃N∈N,s.t.∀n⩾N:∣fn(x)∣<ε⇔⋂ε∈R+⋃N∈N⋂n⩾N{∣fn(x)∣<ε}\forall \varepsilon >0,\exists N\in\mathbb{N},\mathrm{s.t.}\forall n\geqslant N:|f_n(x)|<\varepsilon\ \\ \Leftrightarrow\ \displaystyle\bigcap\limits_{\varepsilon\in\mathbb{R^+}}\bigcup\limits_{N\in\mathbb{N}}\bigcap\limits_{n\geqslant N}\{|f_n(x)|<\varepsilon\}∀ε>0,∃N∈N,s.t.∀n⩾N:∣fn(x)∣<ε ⇔ ε∈R+⋂N∈N⋃n⩾N⋂{∣fn(x)∣<ε}

{x:lim⁡n→∞fn(x)≠0or∄}=DeMorgan⋃ε∈R+⋂N∈N⋃n⩾N{∣fn(x)∣⩾ε}\{x:\lim\limits_{n\to\infty}f_n(x)\ne 0\ or\ \nexists\}\xlongequal{De\ Morgan}\displaystyle\bigcup\limits_{\varepsilon\in\mathbb{R^+}}\bigcap\limits_{N\in\mathbb{N}}\bigcup\limits_{n\geqslant N}\{|f_n(x)|\geqslant\varepsilon\}{x:n→∞limfn(x)=0 or ∄}De Morganε∈R+⋃N∈N⋂n⩾N⋃{∣fn(x)∣⩾ε}

1.6 集合列的上下极限

数列的上下极限：

lim⁡‾n→∞an=lim sup⁡n→∞an=lim⁡n→∞sup⁡k≥n{ak}=inf⁡n≥1sup⁡k≥n{ak}lim⁡‾n→∞an=lim inf⁡n→∞an=lim⁡n→∞inf⁡k≥n{ak}=sup⁡n≥1inf⁡k≥n{ak}\begin{aligned} &\overline{\lim}_{n\to\infty}a_n=\limsup\limits_{n\to\infty}a_n=\lim\limits_{n\to\infty}\sup\limits_{k\ge n}\{a_k\}=\inf\limits_{n\ge 1}\sup\limits_{k\ge n}\{a_k\} \\ &\underline{\lim}_{n\to\infty}a_n=\liminf\limits_{n\to\infty}a_n=\lim\limits_{n\to\infty}\inf\limits_{k\ge n}\{a_k\}=\sup\limits_{n\ge 1}\inf\limits_{k\ge n}\{a_k\} \end{aligned}limn→∞an=n→∞limsupan=n→∞limk≥nsup{ak}=n≥1infk≥nsup{ak}limn→∞an=n→∞liminfan=n→∞limk≥ninf{ak}=n≥1supk≥ninf{ak}

集合列上下极限：
lim sup⁡n→∞An=inf⁡n≥1sup⁡k≥n{Ak}=⋂n≥1⋃k≥nAklim inf⁡n→∞An=sup⁡n≥1inf⁡k≥n{Ak}=⋃n≥1⋂k≥nAk\limsup\limits_{n\to\infty}A_n=\inf\limits_{n\ge 1}\sup\limits_{k\ge n}\{A_k\}=\bigcap_{n\ge 1}\bigcup_{k\ge n}A_k \\ \liminf\limits_{n\to\infty}A_n=\sup\limits_{n\ge 1}\inf\limits_{k\ge n}\{A_k\}=\bigcup_{n\ge 1}\bigcap_{k\ge n}A_k n→∞limsupAn=n≥1infk≥nsup{Ak}=n≥1⋂k≥n⋃Akn→∞liminfAn=n≥1supk≥ninf{Ak}=n≥1⋃k≥n⋂Ak

2 点集拓扑概念

2.1 欧式空间与度量空间

一维欧式空间 (R,d):x,y,z(\R,d): x,y,z(R,d):x,y,z
d(x,y)=∣x−y∣d(x,y)=|x-y|d(x,y)=∣x−y∣

数列极限: lim⁡n→∞xn=x⇔lim⁡n→∞d(xn,x)=0\lim\limits_{n\to\infty}x_n=x \Leftrightarrow \lim\limits_{n\to\infty}d(x_n,x)=0n→∞limxn=x⇔n→∞limd(xn,x)=0

二维欧式空间 (R2,d):x=(x1,x2),y=(y1,y2)(\R^2,d):x=(x_1,x_2),y=(y_1,y_2)(R2,d):x=(x1,x2),y=(y1,y2)
d(x,y)=(x1−y1)2+(x2−y2)2d(x,y)=\sqrt{(x_1-y_1)^2+(x_2-y_2)^2} d(x,y)=(x1−y1)2+(x2−y2)2

n维欧式空间 (Rn,d):x=(x1,⋯,xn),y=(y1,⋯,yn)(\R^n,d): x=(x_1,\cdots,x_n),y=(y_1,\cdots,y_n)(Rn,d):x=(x1,⋯,xn),y=(y1,⋯,yn)
d(x,y)=∑k=1n(xk−yk)2d(x,y)=\sqrt{\sum_{k=1}^{n}(x_k-y_k)^2} d(x,y)=k=1∑n(xk−yk)2

三角不等式： (两边之和大于第三边，可由Cauchy不等式证明)
0⩽d(x,y)⩽d(x,z)+d(y,z)0\leqslant d(x,y)\leqslant d(x,z)+d(y,z)0⩽d(x,y)⩽d(x,z)+d(y,z)

邻域： U(P0,δ)={P:d(P,P0)<δ}U(P_0,\delta)=\{P:d(P,P_0)<\delta\}U(P0,δ)={P:d(P,P0)<δ}

两个非空点集的距离： d(E,F)=inf⁡{d(x,y):x∈E,y∈F}d(E,F)=\inf\{d(x,y):x\in E,y\in F\}d(E,F)=inf{d(x,y):x∈E,y∈F}

非空点集直径： diamE=sup⁡P,Q∈Ed(P,Q)\mathrm{diam} E=\sup\limits_{P,Q\in E}d(P,Q)diamE=P,Q∈Esupd(P,Q)

有界点集： diamE<+∞\mathrm{diam} E < +\inftydiamE<+∞

2.2 内点、外点、边界点

内点： 若 ∃U(P0,δ)⊆E\exists\ U(P_0,\delta)\subseteq E∃ U(P0,δ)⊆E，则称 P0P_0P0 为数集 EEE 的内点。EEE 所有内点构成的集合称为内域，记作 E∘E^\circE∘.

外点： 若 P0P_0P0 是 EcE^cEc 的内点，则称 P0P_0P0 为数集 EEE 的外点。所有外点集合记作 (Ec)∘(E^c)^\circ(Ec)∘.

边界点： 既非内点也非外点，即 ∀U(P0,δ)\forall U(P_0,\delta)∀U(P0,δ) 既有属于EEE的点也有不属于 EEE 的点，则称 P0P_0P0 为数集 EEE 的边界点。所有边界点集合称为边界，记作 ∂E\partial E∂E.

2.3 聚点、孤立点

聚点： P0P_0P0 的任一邻域都含有无穷多个属于 EEE 的点.

⇔\Leftrightarrow⇔ P0P_0P0 的任一邻域至少含有一个属于 EEE 而异于 EEE 的点.

孤立点：P0P_0P0 属于 EEE，但不是 EEE 的聚点，即 E\E′E\backslash E'E\E′.

2.4 导集、闭包、自密集、完全集

导集： EEE 的一切聚点构成的集合，记作 E′E'E′.

闭包： E∪E′E\cup E'E∪E′，记作 E‾\overline{E}E.

自密集：E⊆E′E\subseteq E'E⊆E′ ，即集合中每个点都是这个集的聚点.

完备集(完全集)： E′=EE'=EE′=E. 完备集为自密闭集，即没有孤立点的闭集.

2.5 开集、闭集、紧集

开集(open set)： EEE 的每一点都是 EEE 的内点.

闭集(closed set)： EEE 的每一个聚点都属于 EEE. ⇔\Leftrightarrow⇔ 余集 EcE^cEc 为开集.

紧集(compact set)： 任一族覆盖 EEE 的开集，若可从中选出有限个开集仍然覆盖 EEE，则 EEE 为紧集. (或表述为：若 EEE 的任意开覆盖，都存在有限子覆盖，则 EEE 为紧集.)

2.6 康托尔三分疏朗集

稠密：

疏朗集：

3 测度论

3.0 引

长度(面积，体积)公理：

(1) 非负性：m(E)⩾0m(E)\geqslant 0m(E)⩾0
(2) 有限可加性：EkE_kEk 两两不相交，m(⋃k=1nEk)=∑k=1nm(Ek)\displaystyle m\left(\bigcup_{k=1}^{n}E_k\right)=\sum_{k=1}^{n}m(E_k)m(k=1⋃nEk)=k=1∑nm(Ek)
(3) 正则性：m([a,b])=b−am([a,b])=b-am([a,b])=b−a

Lebesgue测度公理：

(1) 非负性：m(E)⩾0m(E)\geqslant 0m(E)⩾0
(2) 可列可加性：EnE_nEn 两两不相交，m(⋃n=1∞En)=∑n=1∞m(En)\displaystyle m\left(\bigcup_{n=1}^{\infty}E_n\right)=\sum_{n=1}^{\infty}m(E_n)m(n=1⋃∞En)=n=1∑∞m(En)
(3) 正则性：m([a,b])=b−am([a,b])=b-am([a,b])=b−a

3.1 外测度

Lebesgue外测度：

m∗(E)=inf⁡E⊆⋃k=1∞Ik{∑k=1∞∣Ik∣}m^*(E)\ =\inf\limits_{_{E\subseteq \bigcup\limits_{k=1}^{\infty} I_k}} \left\{\sum\limits_{k=1}^{\infty}|I_k|\right\}m∗(E) =E⊆k=1⋃∞Ikinf{k=1∑∞∣Ik∣}

非负性：m∗(E)⩾0,m∗(Φ)=0m^*(E) \geqslant 0\ ,m^*(\Phi) =0m∗(E)⩾0 ,m∗(Φ)=0

单调性：E⊆F⇒m∗(E)⩽m∗(F)E\subseteq F \Rightarrow m^*(E)\leqslant m^*(F)E⊆F⇒m∗(E)⩽m∗(F)

次可列可加性：m∗(⋃n=1∞En)⩽∑n=1∞m∗(En)m^*\left(\bigcup\limits_{n=1}^{\infty}E_n\right)\leqslant \sum\limits_{n=1}^{\infty}m^*(E_n)m∗(n=1⋃∞En)⩽n=1∑∞m∗(En)

3.2 可测集

3.2.1 Lebesgue可测集

E⊆Rn,∀opensetI⊇E,m∗(E)=∣I∣−m∗(I−E)E\subseteq \R^n,\ \forall\ open\ set\ I \supseteq E , m_*(E)=|I|-m^*(I-E)E⊆Rn, ∀ open set I⊇E,m∗(E)=∣I∣−m∗(I−E)

3.2.2 Carathéodory(卡拉泰奥多里)可测集

pointsetE⊆Rn,∀pointsetT,m∗(T)=m∗(T∩E)+m∗(T∩Ec)point\ set\ E\subseteq \R^n,\ \forall point\ set\ T,\ m^*(T)=m^*(T\cap E)+m^*(T\cap E^c)point set E⊆Rn, ∀point set T, m∗(T)=m∗(T∩E)+m∗(T∩Ec)，则称点集 EEE 是 Lebesgue\mathrm{Lebesgue}Lebesgue 可测的. 此时 EEE 的 LLL 外测度 m∗(E)m^*(E)m∗(E) 称为 LLL 测度 m(E)m(E)m(E)，LLL 可测集全体记为 M\mathscr{M}M.

3.2.3 可测集的运算

SSS 可测 ⇔Sc\ \Leftrightarrow\ S^c ⇔ Sc 可测；

proof:
m∗(T)=m∗(T∩S)+m∗(T∩Sc)=m∗(T∩(Sc)c)+m∗(T∩Sc)\begin{aligned} m^*(T)=m^*(T\cap S)+m^*(T\cap S^c)=m^*(T\cap (S^c)^c)+m^*(T\cap S^c) \end{aligned}m∗(T)=m∗(T∩S)+m∗(T∩Sc)=m∗(T∩(Sc)c)+m∗(T∩Sc)

S1,S2S_1\ ,S_2S1 ,S2 可测，则 S1∪S2S_1\cup S_2S1∪S2 可测；当 S1∩S2=Φ,∀TS_1\cap S_2=\Phi,\forall TS1∩S2=Φ,∀T，
m∗[T∩(S1∩S2)]=m∗(T∩S1)+m∗(T∩S2)m^*[T\cap (S_1\cap S_2)]=m^*(T\cap S_1)+m^*(T\cap S_2)m∗[T∩(S1∩S2)]=m∗(T∩S1)+m∗(T∩S2)
Si(i=1,2,⋯,n)S_i(i=1,2,\cdots,n)Si(i=1,2,⋯,n) 可测，则 ⋃i=1nSi\bigcup\limits_{i=1}^n S_ii=1⋃nSi 可测；且当 Si∩Sj=Φ(i≠j)S_i\cap S_j=\Phi(i\neq j)Si∩Sj=Φ(i=j)时，对于任意集合 TTT 总有
m∗(T∩(⋃i=1nSi))=∑i=1nm∗(T∩Si)m^*\left(T\cap\left(\bigcup_{i=1}^nS_i\right)\right)=\sum\limits_{i=1}^n m^*(T\cap S_i)m∗(T∩(i=1⋃nSi))=i=1∑nm∗(T∩Si)

S1,S2S_1\ ,S_2S1 ,S2 可测，则 S1∩S2S_1\cap S_2S1∩S2 可测.
Si(i=1,2,⋯,n)S_i(i=1,2,\cdots,n)Si(i=1,2,⋯,n) 可测，则 ⋂i=1nSi\bigcap\limits_{i=1}^nS_ii=1⋂nSi 可测.

S1,S2S_1\ ,S_2S1 ,S2 可测，则 S1\S2=S1−S2S_1\backslash S_2=S_1-S_2S1\S2=S1−S2 可测.

EEE 可测 ⇔∀A⊂E,B⊂Ec,m∗(A∪B)=m∗(A)+m∗(B)\ \Leftrightarrow\ \forall A\subset E,B\subset E^c\ ,m^*(A\cup B)=m^*(A)+m^*(B) ⇔ ∀A⊂E,B⊂Ec ,m∗(A∪B)=m∗(A)+m∗(B)

3.3 sugma-代数

3.4 不可测集

4 可测函数

4.1 定义

定义：
∀a∈R,{x:x∈E,f(x)>a}=记E[f>0]\forall\ a\in\mathbb{R}\ ,\{x:x\in E,f(x)>a\}\xlongequal{_{记}}E[f>0]∀ a∈R ,{x:x∈E,f(x)>a}记E[f>0] 可测，则 f:E→R∪{−∞,+∞}f:E\to\mathbb{R}\cup\{-\infty,+\infty\}f:E→R∪{−∞,+∞} 为定义在 EEE 上的可测函数.
其中 aaa 为有限实数，f(x)∈(a,+∞]f(x)\in (a,+\infty]f(x)∈(a,+∞]，f(x)f(x)f(x) 可以取得 +∞+\infty+∞.

fff 可测的充要条件：

∀x∈R,E[f⩽a]\forall x\in\mathbb{R},E[f\leqslant a]∀x∈R,E[f⩽a] 可测.

proof: E[f⩽a]=(E[f>a])cE[f\leqslant a]=(E[f>a])^cE[f⩽a]=(E[f>a])c

4.2 可测函数运算

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