c语言枚举法求满射函数,实变函数论讲义

第1章集合与点集

实变函数论作为现代分析数学的基础,其知识结构是建立在集合论之上的.集合论产生于19世纪70年代,由德国数学家康托尔(Cantor)创立,它是整个现代数学的开端及逻辑基础.作为本科教材,本章只介绍必需的集合论知识,而不涉及有关集合论公理的讨论.

1.1 集合及相关概念

大家在中学就认识了集合这个概念.所谓集合,是指具有某种特定性质的对象的全体.集合中的对象称为该集合的元素.集合通常用大写英文字母A,B,C,…表示；元素通常用小写英文字母a,b,c,…表示.今后用一些特殊的记号表示特殊的集合： R表示全体实数形成的集合；C表示全体复数形成的集合；N,Z,Q分别表示自然数集、整数集和有理数集.另外,不含任何元素的集合称为空集,用记号表示.

集合的具体表示方法一般有两种：一种是枚举法,如集合{1,2,3,4,5}; 一种是描述法,例如,大于20的自然数组成的集合,可写为{x|x>20,且x为自然数}.一般地,若A是具有某种性质P的元素组成的集合,通常记为A={x|x具有性质P}.对于给定的某集合A及某对象a,若a是A中的元素,就说a属于集合A,记为a∈A;否则,就说a不属于集合A,记为aA.给定两个集合A和B,若A中的元素都属于B,则称A是B的子集,记为 AB 或BA;进而,若同时有AB和BA，则A=B.对于任意的非空集合A,空集和A当然是A的子集,这两个子集称为平凡子集.除此之外的子集称为真子集.

例1.1.1 写出{1,2,3}的所有子集,由此计算{1,2,…,n}的子集的个数,其中n∈N.

{1,2,3}的所有子集是： ,{1,2,3},{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},第1章集合与点集1.1 集合及相关概念共23=8个.一般地,{1,2,…,n}的子集的个数是： C0n+C1n+…+Cnn=2n,其中Ckn=n!k!(n-k)! (k∈{0,1,…,n})为组合数公式.

任给集合A,它的所有子集构成的集合称为它的幂集,记为2A.

1.1.1 集合的运算

我们知道,数可以进行运算,并由此生成新的数.类似地,集合之间也可以进行运算, 并由此生成新的集合.其中,最常用的运算有“并”、“交”、“差”三种.

定义1.1.1 任意给定集合A和B,集合{x|x∈A或x∈B}称为A与B的并集,并集也称为和集,记为A∪B,或A+B;集合{x|x∈A且x∈B}称为它们的交集,交集也称为积集,记为A∩B,或AB; 推而广之,给定集合族{Aα}α∈Γ,其中Γ是指标集,则此集合族的并集与交集分别为 ∪α∈ΓAα={x|α∈Γ,x∈Aα}; (1.1)

∩α∈ΓAα={x|α∈Γ,x∈Aα}. (1.2) 集合{x|x∈A且xB}称为A与B的差集,又称补集，记为A\\B,或A-B.注意：一般来说(A-B)∪B未必等于A.如果已知AB,则A-B称为B相对于A的余集,记为AB,特别地,如果我们在某一问题中所考虑的

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