【非线性声学】—

写在前面
（博主为初入声学领域的一只菜鸟，如果错误，望大神斧正。）
在线性声学的范围里稳态声场的声压是高频的振动，声压作用在声场中的物体或介质本身的作用力在超过几个周期的时间平均值是0。但是考虑了非线性后声场中的物体就会受到一个时间平均后不为0的压力，即声辐射力。
个人理解：在非线性条件下，声压的表达式较为复杂，会包含直流分量以及一系列的简谐分量，经过时间平均后，简谐分量的作用为0，而直流分量的作用则显示了出来。在超声中，由于频率高，所以kkk大，故振幅大，此时非线性的声波方程不能再简化为线性方程了。

声波方程的推导

声学基础里取了长方体体积元，并且没有声源和外力的分布，推出了直角坐标系下的声波方程。这里采用更加一般的形式去推导声波方程。
考虑介质中的一个区域，体积为VVV，表面积为SSS

质量守恒定律
声源：向声场中注入或抽取一定的介质，设注入的体积速度密度是w(r⃗,t)w(\vec{r},t)w(r,t)，则可得注入的体积速度为q(t)=∭w(r⃗,t)dVq(t)=\iiint w(\vec{r},t) {\rm d}Vq(t)=∭w(r,t)dV
体积内的质量：∭ρdV\iiint \rho {\rm d}V∭ρdV
通过表面流出的介质的体积的速率：∯v⃗⋅n⃗dS\oiint \vec{v}\cdot \vec{n} {\rm d}S∬v⋅ndS
根据质量守恒定律，体积内的质量随时间的变化等于通过SSS流入质量的速率与声源注入介质的质量的速率之和
∂∂t∭ρdV=−∯ρv⃗⋅n⃗dS+∭ρw(r⃗,t)dV\frac{\partial}{\partial t}\iiint \rho {\rm d}V=-\oiint \rho \vec{v}\cdot \vec{n} {\rm d}S +\iiint \rho w(\vec{r},t) {\rm d}V∂t∂∭ρdV=−∬ρv⋅ndS+∭ρw(r,t)dV
∭∂ρ∂tdV=−∭∇⋅(ρv⃗)dV+∭ρw(r⃗,t)dV\iiint \frac{\partial \rho}{\partial t} {\rm d}V = -\iiint \nabla \cdot(\rho \vec{v}) {\rm d}V+\iiint \rho w(\vec{r},t) {\rm d}V∭∂t∂ρdV=−∭∇⋅(ρv)dV+∭ρw(r,t)dV
∂ρ∂t=−∇⋅(ρv⃗)+ρw\frac{\partial \rho}{\partial t} =- \nabla \cdot(\rho \vec{v})+\rho w∂t∂ρ=−∇⋅(ρv)+ρw
动量守恒定理
分布在体积VVV上的体力：∭f(r⃗,t)dV\iiint f(\vec{r},t) {\rm d}V∭f(r,t)dV
表面上收到相邻介质的压力：∯pn⃗dS\oiint p\vec{n} {\rm d}S∬pndS
声源注入体积带来的动量：∭ρv⃗wdV\iiint \rho \vec{v} w {\rm d}V∭ρvwdV
从表面流出的介质带走的动量：∯ρv⃗(v⃗⋅n⃗)dS\oiint \rho \vec{v} (\vec{v}\cdot \vec{n}) {\rm d}S∬ρv(v⋅n)dS
体积VVV内的动量：∭ρv⃗dV\iiint \rho \vec{v} {\rm d}V∭ρvdV
根据动量守恒定理，体积VVV内的动量随时间的变化率等于外力（体力+相邻介质压力）和声源的贡献减去流出介质带走动量的速率
∂∂t∭ρv⃗dV=∭f⃗(r⃗,t)dV−∯pn⃗dS+∭ρv⃗wdV−∯ρv⃗(v⃗⋅n⃗)dS\frac{\partial}{\partial t} \iiint \rho \vec{v} {\rm d}V = \iiint \vec{f}(\vec{r},t) {\rm d}V-\oiint p\vec{n} {\rm d}S+\iiint \rho \vec{v} w {\rm d}V - \oiint \rho \vec{v} (\vec{v}\cdot \vec{n}) {\rm d}S∂t∂∭ρvdV=∭f(r,t)dV−∬pndS+∭ρvwdV−∬ρv(v⋅n)dS
∂ρv⃗∂t=f⃗−∇p+ρv⃗w−∇⋅(ρv⃗v⃗)\frac{\partial \rho \vec{v} } {\partial t}=\vec{f}-\nabla p +\rho \vec{v} w-\nabla \cdot (\rho \vec{v}\vec{v})∂t∂ρv=f−∇p+ρvw−∇⋅(ρvv)
将上式展开，并代入连续方程，即可得到：
ρdv⃗dt=−∇p+f⃗\rho \frac{d\vec{v}}{dt} = -\nabla p+\vec{f}ρdtdv=−∇p+f
状态方程
根据热力学理论，在绝热过程中，压强和密度是函数关系，可写成
P=P(ρ)P=P(\rho)P=P(ρ)
利用泰勒公式进行展开，则得到
P=P0+dPdρ(ρ−ρ0)+d2Pdρ2(ρ−ρ0)2+…P=P_0+\frac{dP}{d \rho}(\rho-\rho_0)+\frac{d^2P}{d \rho^2}(\rho-\rho_0)^2+…P=P0+dρdP(ρ−ρ0)+dρ2d2P(ρ−ρ0)2+…
其中co2=dPdρ=γP0ρ0c_o^2=\frac{dP}{d \rho}=\frac{\gamma P_0}{\rho_0}co2=dρdP=ρ0γP0，这是根据绝热方程导出的，线性声学中只取一次项，即p=co2ρ′p=c_o^2\rho'p=co2ρ′

非线性声学基础

在推导线性声波方程时假定质点的振速比声速小得多，质点位移比波长小得多，声波引起的密度的变化比介质的密度小得多，这样的条件下可以忽略声波基本方程中的非线性项，建立线性声学理论。
但若声波较强，非线性现象在声学中的作用越来越重要。非线性声学的理论还不完善，因为非线性声场不符合叠加原理。叠加原理是线性声学的基本特点，运用叠加原理复杂的声场可以分解为比较简单的声场加以处理，例如频谱分析，格林函数等。

黎曼解（隐式解）
这里分析非线性的一维平面行波，不考虑声源和体力，连续方程和运动方程为：
∂ρ∂t=−∂(ρv)∂x\frac{\partial \rho}{\partial t} =- \frac{\partial (\rho v)}{\partial x}∂t∂ρ=−∂x∂(ρv)
∂v∂t+v∂v∂x=−∂pρ∂x\frac{\partial v}{\partial t} +v \frac{\partial v}{\partial x} = -\frac{\partial p}{\rho \partial x}∂t∂v+v∂x∂v=−ρ∂x∂p
向x方向传播的线性平面行波的声压为p(x−ct)p(x-ct)p(x−ct)，它通过一个函数ϕ(x,t)=x−ct\phi (x,t)=x-ctϕ(x,t)=x−ct随着空间和时间变化，而质点的速度和密度也是通过这个函数随空间和时间变化的。这个性质启发我们假定非线性一维行波的各个物理量在形式上也是通过一个函数ϕ(x,t)\phi (x,t)ϕ(x,t)随空间和时间的变化的，这些量可以相互确定，即：
p=p[ϕ(x,t)],v=v[ϕ(x,t)],ρ=ρ[ϕ(x,t)]p=p[\phi (x,t)],v=v[\phi (x,t)],\rho=\rho[\phi (x,t)]p=p[ϕ(x,t)],v=v[ϕ(x,t)],ρ=ρ[ϕ(x,t)]
p=p(v),ρ=ρ(v)p=p(v),\rho=\rho(v)p=p(v),ρ=ρ(v)
对连续方程和运动方程进行变形：
dρdv∂v∂t=−d(ρv)dv∂v∂x\frac{d \rho}{d v} \frac{\partial v}{\partial t} =- \frac{d (\rho v)}{d v}\frac{\partial v}{\partial x}dvdρ∂t∂v=−dvd(ρv)∂x∂v
∂v∂t+v∂v∂x=−dpρdv∂v∂x\frac{\partial v}{\partial t} +v \frac{\partial v}{\partial x} = -\frac{d p}{\rho d v}\frac{\partial v}{\partial x}∂t∂v+v∂x∂v=−ρdvdp∂x∂v
对运动方程进行合并项，且c2=dpdρc^2=\frac{d p}{d \rho}c2=dρdp，ccc也是ρ\rhoρ或vvv的函数
∂v∂t=−(v+c2dρρdv)∂v∂x\frac{\partial v}{\partial t} = -(v+\frac{c^2 d \rho}{\rho dv})\frac{\partial v}{\partial x}∂t∂v=−(v+ρdvc2dρ)∂x∂v
消去∂v∂t\frac{\partial v}{\partial t}∂t∂v和∂v∂x\frac{\partial v}{\partial x}∂x∂v，得到：vdρdv+ρ=(v+c2dρρdv)dρdvv\frac{d\rho}{dv}+\rho=(v+\frac{c^2 d \rho}{\rho dv})\frac{d\rho}{dv}vdvdρ+ρ=(v+ρdvc2dρ)dvdρ，展开后得到：
cdρρdv=±1\frac{c d \rho}{\rho dv}=\pm1ρdvcdρ=±1
正负号代表波传播的方向，这里分析一个方向，取+号，代入运动方程，得：
−∂v∂t=(c+v)∂v∂x-\frac{\partial v}{\partial t}=(c+v) \frac{\partial v}{\partial x}−∂t∂v=(c+v)∂x∂v
h(v)+x=(c+v)th(v)+x=(c+v)th(v)+x=(c+v)t
v=f[x−(c+v)t]v=f[x-(c+v)t]v=f[x−(c+v)t]
上式是非线性一维行波的通解，该式表明波形上质点速度为vvv的点随时间向xxx方向传播，速度是c(v)+vc(v)+vc(v)+v，波形会发生畸变。
黎曼解中的c(v)c(v)c(v)可以通过状态方程求解，非线性声学中的状态方程利用泰勒公式展开更高阶的项，然后利用定义式c2=dPdρc^2=\frac{dP}{d \rho}c2=dρdP，求得c(v)c(v)c(v)在非线性条件下的近似。
波形畸变的结果会导致经过一段较长的距离后，波形发生间断（正弦波变为锯齿波），可理解为非线性现象具有积累的效应。
微扰法求解非线性波动方程（级数解）
黎曼解是隐式解，推导的方法较为巧妙，难以研究一般的问题。而微扰法的运用范围比较广一些。
微扰法的基本思想：将待求的物理量表示成收敛的级数(后一级比前一级高一阶)
p=p0+p1+p2+...p=p_0+p_1+p_2+...p=p0+p1+p2+...
ρ=ρ0+ρ1+ρ2+...\rho=\rho_0+\rho_1+\rho_2+...ρ=ρ0+ρ1+ρ2+...
v⃗=v1⃗+v2⃗+...\vec{v}=\vec{v_1}+\vec{v_2}+...v=v1+v2+...
将物理量的级数代入声波方程，保留到二阶小量：
∂ρ1∂t+∂ρ2∂t=−ρ0∇⋅v1⃗−ρ0∇⋅v2⃗−∇⋅(ρ1v1⃗)+ρ0w+ρ1w\frac{\partial \rho_1}{\partial t}+\frac{\partial \rho_2 }{\partial t}=-\rho_0\nabla \cdot \vec{v_1}-\rho_0\nabla \cdot \vec{v_2}-\nabla \cdot (\rho_1 \vec{v_1})+\rho_0w+\rho_1w∂t∂ρ1+∂t∂ρ2=−ρ0∇⋅v1−ρ0∇⋅v2−∇⋅(ρ1v1)+ρ0w+ρ1w
ρ0∂v1⃗∂t+ρ0∂v2⃗∂t+ρ1∂v1⃗∂t+ρ0v1⃗⋅∇v1⃗+∇p1+∇p2−f⃗=0\rho_0 \frac{\partial \vec{v_1}}{\partial t}+\rho_0\frac{\partial \vec{v_2}}{\partial t}+\rho_1\frac{\partial \vec{v_1}}{\partial t}+\rho_0 \vec{v_1} \cdot \nabla \vec{v_1}+ \nabla p_1+\nabla p_2-\vec{f}=0ρ0∂t∂v1+ρ0∂t∂v2+ρ1∂t∂v1+ρ0v1⋅∇v1+∇p1+∇p2−f=0
p1+p2=c02(ρ1+ρ2)+c02B2ρ2Aρ12p_1+p_2=c_0^2(\rho_1+\rho_2)+\frac{c_0^2B}{2\rho_2 A}\rho_1^2p1+p2=c02(ρ1+ρ2)+2ρ2Ac02Bρ12
忽略声源和体力，首先考虑上述方程中的一阶量，方程左右两端的一阶量相等，此时的一阶声波方程即为线性声学中的线性方程组：
∂ρ1∂t=−ρ0∇⋅v1⃗\frac{\partial \rho_1}{\partial t}=-\rho_0\nabla \cdot \vec{v_1}∂t∂ρ1=−ρ0∇⋅v1
ρ0∂v1⃗∂t+∇p1=0\rho_0 \frac{\partial \vec{v_1}}{\partial t}+ \nabla p_1=0ρ0∂t∂v1+∇p1=0
p1=c02ρ1p_1=c_0^2\rho_1p1=c02ρ1
故一阶量的解为Aej(wt−kx)Ae^{j(wt-kx)}Aej(wt−kx)这样的简谐形式。
考虑声波方程的二阶小量，经过化简，得到波动方程（存在源项，为一阶小量的二次项），所以可以通过一阶量求解二阶量：
∂2ρ2∂t2−∇2p2=−∇⋅(∂ρ1∂tv1⃗)+ρ0∇⋅(v1⃗⋅∇v1⃗)\frac{\partial^2 \rho_2}{\partial t^2}-\nabla^2 p_2=-\nabla \cdot (\frac{\partial \rho_1}{\partial t} \vec{v_1})+\rho_0 \nabla \cdot (\vec{v_1}\cdot \nabla \vec{v_1})∂t2∂2ρ2−∇2p2=−∇⋅(∂t∂ρ1v1)+ρ0∇⋅(v1⋅∇v1)
假定一阶声波是简谐平面波，则可推出二阶声波（方程与简单振子的无阻尼共振方程一样）：
p1=A0cos[ω(t−xc0)]p_1=A_0cos[\omega(t-\frac{x}{c_0})]p1=A0cos[ω(t−c0x)]
p2=−A02βω2ρ0c03xsin[2ω(t−xc0)]p_2=-\frac{A_0^2\beta\omega}{2\rho_0 c_0^3}xsin[2\omega(t-\frac{x}{c_0})]p2=−2ρ0c03A02βωxsin[2ω(t−c0x)]
这里就可以发现非线性累积的原因，二阶量p2p_2p2的振幅随xxx的增大而增大，而这里振幅中的xxx也是声辐射力在时间平均下不为0的原因。
*注：在更高次的非线性部分还有更多的频率成分(倍频，和频与差频)，它们的幅度都随距离增加。水声学的参量发射用的就是差频的原理，发射两个相近的高频声波，由于非线性效益，这两个声束在传播的过程中会产生差频声波（低频），低频声衰减小，传播距离远。

声辐射压力

Method1：
不考虑声源的作用，对运动方程进行分析（动量守恒方程）
∂ρv⃗∂t=f⃗−∇p−v⃗∇⋅(ρv⃗)\frac{\partial \rho \vec{v} } {\partial t}=\vec{f}-\nabla p-\vec{v}\nabla \cdot (\rho \vec{v})∂t∂ρv=f−∇p−v∇⋅(ρv)
∂ρv⃗∂t=f⃗+f′⃗−∇p\frac{\partial \rho \vec{v} } {\partial t}=\vec{f}+\vec{f'}-\nabla p∂t∂ρv=f+f′−∇p
因此f′⃗\vec{f'}f′可以看做介质质点受到的等效体积力，它是由介质速度通过非线性作用产生的，即：
f′⃗=−v⃗∇⋅(ρv⃗)\vec{f'}=-\vec{v}\nabla \cdot (\rho \vec{v})f′=−v∇⋅(ρv)
如果速度为v=A(x)cos(ωt−kx)v=A(x)cos(\omega t-kx)v=A(x)cos(ωt−kx)的形式，即振幅为xxx的函数，这里应该是先对速度求导再乘一个速度，会留下一项关于xxx的直流项以及其他关于(x,t)(x,t)(x,t)的简谐向，再对时间进行平均后，简谐项全部清零，剩下直流项的作用，即为声辐射压力。
Method2：
1.运动方程的非线性项
对运动方程展开，将全微分展开：
ρdv⃗dt=−∇p+f⃗\rho \frac{d\vec{v}}{dt} = -\nabla p+\vec{f}ρdtdv=−∇p+f
∂v⃗∂t+1ρ∇p+∇(12v⃗2)=1ρf⃗\frac{\partial \vec{v}}{\partial t}+\frac{1}{\rho}\nabla p +\nabla (\frac{1}{2} \vec{v}^2)=\frac{1}{\rho}\vec{f}∂t∂v+ρ1∇p+∇(21v2)=ρ1f
因为速度场是无旋的，所以引入速度势v⃗=−∇ϕ\vec{v}=-\nabla \phiv=−∇ϕ，并假设外力为0：
−∇∂ϕ∂t+1ρ∇p+∇(12(∇ϕ)2)=0-\nabla\frac{\partial \phi}{\partial t}+\frac{1}{\rho}\nabla p+\nabla (\frac{1}{2} (\nabla \phi)^2)=0−∇∂t∂ϕ+ρ1∇p+∇(21(∇ϕ)2)=0
∇(−∂ϕ∂t+12∣∇ϕ∣2)=−1ρ∇p\nabla (-\frac{\partial \phi}{\partial t}+\frac{1}{2} |\nabla \phi|^2)=-\frac{1}{\rho}\nabla p∇(−∂t∂ϕ+21∣∇ϕ∣2)=−ρ1∇p
上式左边第二项即为运动非线性项。
2.状态方程的非线性
温度为TTT，单位质量的熵为sss，焓为hhh的流体热力学关系为dh=Tds+dPρdh=Tds+\frac{dP}{\rho}dh=Tds+ρdP，对于等熵过程（可逆的绝热过程），有dh=dPρdh=\frac{dP}{\rho}dh=ρdP，代入上式并对空间进行积分：
h−h0=∂ϕ∂t−12∣∇ϕ∣2+C′h-h_0=\frac{\partial \phi}{\partial t}-\frac{1}{2} |\nabla \phi|^2+C'h−h0=∂t∂ϕ−21∣∇ϕ∣2+C′
P−P0=(∂P∂h)(h−h0)+(∂2P2∂h2)(h−h0)2+...P-P_0=(\frac{\partial P}{\partial h})(h-h_0)+(\frac{\partial^2 P}{2\partial h^2})(h-h_0)^2+...P−P0=(∂h∂P)(h−h0)+(2∂h2∂2P)(h−h0)2+...
经过化简可得：
P−P0=ρ[∂ϕ∂t−12∣∇ϕ∣2+C′]+ρ2c02[∂ϕ∂t−12∣∇ϕ∣2+C′]2P-P_0=\rho [\frac{\partial \phi}{\partial t}-\frac{1}{2} |\nabla \phi|^2+C']+\frac{\rho}{2c_0^2}[\frac{\partial \phi}{\partial t}-\frac{1}{2} |\nabla \phi|^2+C']^2P−P0=ρ[∂t∂ϕ−21∣∇ϕ∣2+C′]+2c02ρ[∂t∂ϕ−21∣∇ϕ∣2+C′]2
经过时间平均，可得到声辐射力：
<P−P0>=ρ02c02<(∂ϕ∂t)2>−ρ02<∣∇ϕ∣2>+C<P-P_0>=\frac{\rho_0}{2c_0^2}<(\frac{\partial \phi}{\partial t})^2>-\frac{\rho_0}{2}< |\nabla \phi|^2>+C<P−P0>=2c02ρ0<(∂t∂ϕ)2>−2ρ0<∣∇ϕ∣2>+C
其中，第一项是由于本构方程的非线性而存在，而第二项则来自运动非线性。

Question：两种方法得到的声辐射力有差别，个人实在不知道哪里有问题。。。

Reference：
张海澜.理论声学[M].北京:高等教育出版社,2012.
江涛.声波对水中球形粒子声辐射力的研究[D].陕西:陕西师范大学,2018

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