鸡蛋掉落（动态规划）

问题来源：力扣算法面试汇总

问题描述：你将获得 K 个鸡蛋，并可以使用一栋从 1 到 N 共有 N 层楼的建筑。每个蛋的功能都是一样的，如果一个蛋碎了，你就不能再把它掉下去。你知道存在楼层 F ，满足 0 <= F <= N 任何从高于 F 的楼层落下的鸡蛋都会碎，从 F 楼层或比它低的楼层落下的鸡蛋都不会破。每次移动，你可以取一个鸡蛋（如果你有完整的鸡蛋）并把它从任一楼层 X 扔下（满足 1 <= X <= N）。

你的目标是确切地知道 F 的值是多少。无论 F 的初始值如何，你确定 F 的值的最小移动次数是多少？

例子：
输入：K = 1, N = 2
输出：2
解释：
鸡蛋从 1 楼掉落。如果它碎了，我们肯定知道 F = 0 。
否则，鸡蛋从 2 楼掉落。如果它碎了，我们肯定知道 F = 1 。
如果它没碎，那么我们肯定知道 F = 2 。
因此，在最坏的情况下我们需要移动 2 次以确定 F 是多少。

# 输入
K = 1
N = 2

以下分析内容主要参考题解中@labuladong的解答。

分析：一般这种带有生活场景的题目，都是要用动态规划。

问题目标：最坏情况下的最小移动次数。

解释：

对于我们如何选择楼层进行测试，是有很多种选择或者策略的。比如，我们可以选择依次从1层到最高层扔鸡蛋；或者每次选择从中间楼层扔鸡蛋。
每个策略下，都有最好的情况或者最坏的情况。比如，依次从1层扔到最高层，最好的情况是在第一层就发现鸡蛋碎了，这样就只扔一次；但最坏的情况下，我们一直扔到最高层才发现鸡蛋碎了，这样就要扔N次。
最坏情况下的最小移动次数，就是要找最佳策略，使得这个策略下，最坏情况在所有策略中是最小的。

上面我们确定了问题，接下来用动态规划来解决。对于动态规划，我们要确定两点，即问题的状态和选择。

问题的状态：当前鸡蛋总数K和楼层总数N
选择：选择楼层X来扔鸡蛋。显然，1≤X≤N1\le X\le N1≤X≤N。

这样，我们初步的动态规划框架为

# 当前状态为K个鸡蛋，N层楼
# 返回这个状态下最优结果
def dp(K, N):int resfor 1<=X<=N:res = min(res, 在第X层楼上扔鸡蛋的结果)return res

这个时候，在第X层楼上扔鸡蛋的结果如何表示？在第X层楼上扔鸡蛋，

如果鸡蛋没碎，那么接下来应该测试第X+1层楼至第N层楼，这样，子问题的状态就变成K个鸡蛋，N-X层楼，结果为dp(K,N−X)dp(K, N-X)dp(K,N−X)
如果鸡蛋破碎，那么接下来应该测试第1层楼至第X-1层楼，这样，子问题的状态就变成K-1个鸡蛋，X-1层楼，结果为dp(K−1,X−1)dp(K-1,X-1)dp(K−1,X−1)
由于我们要选择最坏情况，所以我们在第X层楼上扔鸡蛋的结果应该是max(dp(K,N−X),dp(K−1,X−1))+1max(dp(K, N-X), dp(K-1,X-1))+1max(dp(K,N−X),dp(K−1,X−1))+1

所以我们的程序为

# 当前状态为K个鸡蛋，N层楼
# 返回这个状态下最优结果
def dp(K, N):for 1<=X<=N:res = min(res, max(dp(K, N-X), dp(K-1,X-1))+1)return res

接下来，递归的base case为

当K=1K=1K=1，即只有一个鸡蛋时，只能从最底层往上遍历，因此，dp(1,N)=Ndp(1, N)=Ndp(1,N)=N
当N=1N=1N=1，即只有一层楼时，无论有多少鸡蛋都只需要测试一次，因此，dp(K,1)=1dp(K, 1)=1dp(K,1)=1

我们添加一个备忘录memo以防止重复计算，即

# 当前状态为K个鸡蛋，N层楼
# 返回这个状态下最优结果
def dp(K, N):if K == 1: return Nif N == 1: return 1memo = {}if (K, N) in memo:return memo[(K, N)]res = float('inf')for 1<=X<=N:res = min(res, max(dp(K, N-X), dp(K-1,X-1))+1)memo[(K, N)] = resreturn res

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