树

树的概念

树（英语：tree）是一种抽象数据类型（ADT）或是实作这种抽象数据类型的数据结构，用来模拟具有树状结构性质的数据集合。它是由n（n>=1）个有限节点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做“树”是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。它具有以下的特点：

每个节点有零个或多个子节点；
没有父节点的节点称为根节点；
每一个非根节点有且只有一个父节点；
除了根节点外，每个子节点可以分为多个不相交的子树；

树的术语

节点的度：一个节点含有的子树的个数称为该节点的度；
树的度：一棵树中，最大的节点的度称为树的度；
叶节点或终端节点：度为零的节点；
父亲节点或父节点：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点；
孩子节点或子节点：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点；
兄弟节点：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点；
节点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子节点为第2层，以此类推；
树的高度或深度：树中节点的最大层次；
堂兄弟节点：父节点在同一层的节点互为堂兄弟；
节点的祖先：从根到该节点所经分支上的所有节点；
子孙：以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙；
森林：由m（m>=0）棵互不相交的树的集合称为森林。

树的种类

无序树：树中任意节点的子节点之间没有顺序关系，这种树称为无序树，也称为自由树；
有序树：树中任意节点的子节点之间有顺序关系，这种树称为有序树；
1 二叉树：每个节点最多含有两个子树的树称为二叉树；
（1）完全二叉树：对于一颗二叉树，假设其深度为d(d>1)。除了第d层外，其它各层的节点数目均已达最大值，且第d层所有节点从左向右连续地紧密排列，这样的二叉树被称为完全二叉树，其中满二叉树的定义是所有叶节点都在最底层的完全二叉树;
（2）平衡二叉树（AVL树）：当且仅当任何节点的两棵子树的高度差不大于1的二叉树；
（3）排序二叉树（二叉查找树（英语：Binary Search Tree），也称二叉搜索树、有序二叉树）；
2 霍夫曼树（用于信息编码）：带权路径最短的二叉树称为哈夫曼树或最优二叉树；
3 B树：一种对读写操作进行优化的自平衡的二叉查找树，能够保持数据有序，拥有多余两个子树。

二叉树

基本概念

二叉树是每个节点最多有两个子树的树结构。通常子树被称作“左子树”（left subtree）和“右子树”（right subtree）

性质

性质1: 在二叉树的第i层上至多有2^(i-1)个结点（i>0）
性质2: 深度为k的二叉树至多有2^k - 1个结点（k>0）
性质3: 对于任意一棵二叉树，如果其叶结点数为N0，而度数为2的结点总数为N2，则N0=N2+1;
性质4:具有n个结点的完全二叉树的深度必为 log2(n+1)
性质5:对完全二叉树，若从上至下、从左至右编号，则编号为i 的结点，其左孩子编号必为2i，其右孩子编号必为2i＋1；其双亲的编号必为i/2（i＝1 时为根,除外）

遍历

树的遍历是树的一种重要的运算。所谓遍历是指对树中所有结点的信息的访问，即依次对树中每个结点访问一次且仅访问一次，我们把这种对所有节点的访问称为遍历（traversal）。那么树的两种重要的遍历模式是深度优先遍历和广度优先遍历,深度优先一般用递归，广度优先一般用队列。一般情况下能用递归实现的算法大部分也能用堆栈来实现。

深度优先遍历

对于一颗二叉树，深度优先搜索(Depth First Search)是沿着树的深度遍历树的节点，尽可能深的搜索树的分支。
那么深度遍历有重要的三种方法。这三种方式常被用于访问树的节点，它们之间的不同在于访问每个节点的次序不同。这三种遍历分别叫做先序遍历（preorder），中序遍历（inorder）和后序遍历（postorder）。我们来给出它们的详细定义，然后举例看看它们的应用。

在先序遍历中，我们先访问根节点，然后递归使用先序遍历访问左子树，再递归使用先序遍历访问右子树 根节点->左子树->右子树
在中序遍历中，我们递归使用中序遍历访问左子树，然后访问根节点，最后再递归使用中序遍历访问右子树 左子树->根节点->右子树
在后序遍历中，我们先递归使用后序遍历访问左子树和右子树，最后访问根节点 左子树->右子树->根节点

广度优先遍历(层次遍历)

从树的root开始，从上到下从从左到右遍历整个树的节点

实现

class Node(object):"""节点类"""def __init__(self, elem, lchild=None, rchild=None):self.elem = elemself.lchild = lchildself.rchild = rchildclass Tree(object):"""树类"""def __init__(self, root=None):self.root = rootdef add(self, elem):"""为树添加节点"""node = Node(elem)#如果树是空的，则对根节点赋值if self.root == None:self.root = nodeelse:queue = []queue.append(self.root)#对已有的节点进行层次遍历while queue:#弹出队列的第一个元素cur = queue.pop(0)if cur.lchild == None:cur.lchild = nodereturnelif cur.rchild == None:cur.rchild = nodereturnelse:#如果左右子树都不为空，加入队列继续判断queue.append(cur.lchild)queue.append(cur.rchild)def breadth_travel(self):"""利用队列实现树的层次遍历"""if self.root == None:returnqueue = []queue.append(self.root)while queue:node = queue.pop(0)print(node.elem,end=" ")if node.lchild != None:queue.append(node.lchild)if node.rchild != None:queue.append(node.rchild)def preorder(self,node):"""递归实现先序遍历"""#根节点->左子树->右子树if node is None:returnprint(node.elem,end=" ")self.preorder(node.lchild)self.preorder(node.rchild)def inorder(self,node):"""递归实现中序遍历"""#左子树->根节点->右子树if node is None:returnself.inorder(node.lchild)print(node.elem,end=" ")self.inorder(node.rchild)def postorder(self,node):"""递归实现后序遍历"""#左子树->右子树->根节点if node is None:returnself.postorder(node.lchild)self.postorder(node.rchild)print(node.elem,end=" ")if __name__=="__main__":tree=Tree()tree.add(0)tree.add(1)tree.add(2)tree.add(3)tree.add(4)tree.add(5)tree.add(6)tree.add(7)tree.add(8)tree.add(9)tree.breadth_travel()print(" ")tree.preorder(tree.root)print(" ")tree.inorder(tree.root)print(" ")tree.postorder(tree.root)

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