文章目录

一、前言
二、线性时不变（LTI）系统
三、冲激函数
四、阶跃函数
五、卷积
- 5.1 卷积的推导
- 5.2 LTI系统卷积的性质
- - 5.2.1 交换律
  - 5.2.2 分配律
  - 5.2.3 结合律

数字信号处理是音视频开发所必不可少的一项技能，我会从本篇开始，开启一系列入门文章，分享关于数字信号处理方面的知识。这只是一个精简的知识提炼，供大家进行入门，也是对自己的一个备忘和学习笔记。难免会有纰漏，要深入的同学请务必去看一些经典教材。

文章以 * 来表示乘法，以⊗表示卷积\otimes表示卷积⊗表示卷积

一、前言

数字信号处理我们日常生活中其实会经常接触到，像音频、视频、机械控制等等。简单来说就是一个信号xxx，通过系统SSS后输出信号yyy，系统SSS需要对信号进行处理，比如滤除噪音、调节频率等等。数字信号处理讲的就是对xxx进行操作的学问。

二、线性时不变（LTI）系统

一般我们说数字信号处理都是基于线性时不变（LTI）系统，那么什么是LTI系统呢？顾名思义
1. 线性： 这个线性其实就是我们所用的线性方程中的那个概念，满足叠加定理，比如x1→y1x_1 \rightarrow y1x1→y1是一个映射（也就是我们常说的函数关系）。假设有x2=ax1x_2 = ax_1x2=ax1，经过同样的映射x2→y2x_2 \rightarrow y_2x2→y2，那么y2=ay1y_2 = ay_1y2=ay1。

2. 时不变： 这个就更好理解了。同样一个输入信号，任何时候的输出都是一样的。

三、冲激函数

冲激函数是指在0点上有值，而在其他地方均为0的函数。通常使用δ\deltaδ表示。

连续形式：
δ(t)={+∞t=00t≠0\delta(t) = \begin{cases} +\infty & t = 0\\ 0 & t \neq 0 \end{cases} δ(t)={+∞0t=0t=0

上面的式子比较抽象，其实它只有一个定义，就是在负无穷到正无穷的积分是1。

离散形式：
δ[n]={1n=00n≠0\delta[n] = \begin{cases} 1 & n = 0\\ 0 & n \neq 0 \end{cases} δ[n]={10n=0n=0

它们各有一些性质，不过我们马上使用的是一些直观上的数学性质。

需要说明的一点，之后我们推导的很多公式都会以连续信号和离散信号的形式。连续信号我们以x(t)x(t)x(t)表示，离散信号我们以x[n]x[n]x[n]表示

四、阶跃函数

阶跃函数是从0开始到正无穷都为1，从负无穷到0都为0的函数。

连续形式：

u(t)={1t>00t<0u(t) = \begin{cases} 1 & t > 0\\ 0 & t < 0 \end{cases} u(t)={10t>0t<0

需要注意的是，阶跃函数在t=0这一点是不连续的。
连续的阶跃函数和冲激函数有这么一层关系，从上面讲的连续冲击函数的定义，就可以得出
u(t)=∫−∞tδ(τ)dτu(t) = \int^{t}_{-\infty}\delta(\tau)d\tau u(t)=∫−∞tδ(τ)dτ
因为δ(t)\delta(t)δ(t)在负无穷到正无穷的积分是1。那么δ(t)\delta(t)δ(t)就是u(t)u(t)u(t)的一阶微分。但上面也说过u(t)u(t)u(t)在t=0时是不连续的，因此严格来说不是可导的。但如果将u(t)u(t)u(t)认为是在一个很小的间隔Δ\DeltaΔ内从0上升到1的，那就不难理解了。而这种情况，其实在现实世界中才是真正常见的。

离散形式：
u[n]={1n≥00n<0u[n] = \begin{cases} 1 & n \ge 0\\ 0 & n < 0 \end{cases} u[n]={10n≥0n<0

显然离散形式要简单多了。同连续形式，我们也可以得出离散的冲击函数和阶跃函数的关系。
u[n]=∑m=−∞nδ[m]u[n] = \sum_{m = -\infty}^{n}\delta[m] u[n]=m=−∞∑nδ[m]
u[n]u[n]u[n]是δ[n]\delta[n]δ[n]的求和
或者
δ[n]=u[n]−u[n−1]\delta[n] = u[n] - u[n - 1] δ[n]=u[n]−u[n−1]
δ[n]\delta[n]δ[n]是u[n]u[n]u[n]的差分。

从以上形式不难看出一个规律，离散的求和对应连续的积分，离散的差分对应连续的微分，这一点将会在记忆一些性质的时候特别有用。后面我们也将会更加深刻地体验到。

五、卷积

5.1 卷积的推导

让我们以离散信号举例，从上面的冲激函数和阶跃函数来推导。
设有一信号
x[n]=...+x[−2]+x[−1]+x[0]+x[1]+x[2]+...x[n] = ... + x[-2] + x[-1] + x[0] + x[1] + x[2] + ...x[n]=...+x[−2]+x[−1]+x[0]+x[1]+x[2]+...
由于我们是从数学上来推导，因此暂且不要关心信号的序号为什么会有负的。
由冲激函数的定义，我们可以稍稍变形
x[i]=x[i]∗δ[n−i]x[i] = x[i] * \delta[n - i]x[i]=x[i]∗δ[n−i]
因为当且仅当i=ni = ni=n时δ[n−i]=1\delta[n - i] = 1δ[n−i]=1
那么
x[n]=...+x[−2]∗δ[n+2]+x[−1]∗δ[n+1]+x[0]∗δ[n]+x[1]∗δ[n−1]+x[2]∗δ[n−2]+...=∑k=−∞+∞x[k]∗δ[n−k]x[n] = ... + x[-2] * \delta[n + 2] + x[-1] * \delta[n + 1] + x[0] * \delta[n] + x[1] * \delta[n - 1] + x[2] * \delta[n - 2] + ...\\ =\sum_{k=-\infty}^{+\infty}x[k] * \delta[n-k]x[n]=...+x[−2]∗δ[n+2]+x[−1]∗δ[n+1]+x[0]∗δ[n]+x[1]∗δ[n−1]+x[2]∗δ[n−2]+...=k=−∞∑+∞x[k]∗δ[n−k]

设有一LTI系统对冲激信号δ[n]\delta[n]δ[n]的响应为h[n]h[n]h[n]，称为冲激响应。由我们对LTI系统的定义，它是满足叠加性质的，也就是说，对于系统S，它的输入为δ[n]\delta[n]δ[n]，输出为h[n]h[n]h[n]，根据LTI的线性性质，就有
x[i]∗δ[n−i]→x[i]∗h[n−i]x[i] * \delta[n - i] \rightarrow x[i] * h[n - i]x[i]∗δ[n−i]→x[i]∗h[n−i]
此处我们把x[i]x[i]x[i]看做了一个系数。
因此可以得出系统S对x[t]x[t]x[t]的输出为
y[n]=∑k=−∞+∞x[k]∗h[n−k]=x[n]⊗h[n]y[n] = \sum_{k=-\infty}^{+\infty}x[k] * h[n-k]\\ =x[n] \otimes h[n]y[n]=k=−∞∑+∞x[k]∗h[n−k]=x[n]⊗h[n]
这便是卷积的定义。由此我们也能得出，只要知道了一个系统的冲激响应，那么就可以得出它对任意输入信号的输出。

需要区分δ[n]\delta[n]δ[n]和h[n]h[n]h[n]的区别，虽然δ[n]\delta[n]δ[n]是一个冲激信号，只在一个时段有值，但它的响应h[n]h[n]h[n]是一个普通的信号，有可能是任何形式的，但是绝大部分来说，h[n]h[n]h[n]都会持续一段时间。
这就好像有一台马达，你在很短的时间内给它电源，断掉之后它还会持续转一会儿。
类似于这样

当然，也有输入时冲激信号，输出也是冲激信号，就是
h[n]=Kδ[n]h[n] = K\delta[n]h[n]=Kδ[n]
那么这样的系统我们称之为无记忆系统，当前的输出只和当前的输入有关。但现实世界中我们绝大多数都面对的是有记忆系统，当前的输出和之前的输入以及当前的输入有关。上面马达的例子还有图都是有记忆系统。
说到这个，系统还分为因果系统和非因果系统。因果系统是输出仅和之前以及目前的输入有关，而非因果系统是输出和之前、现在以及将来的输入有关。非因果系统实在太过诡异，以至于我目前还无法理解，也没遇到过。我们说的系统，都是因果系统。

5.2 LTI系统卷积的性质

5.2.1 交换律

∑k=−∞+∞x[k]∗h[n−k]=x[n]⊗h[n]=h[n]⊗x[n]=∑k=−∞+∞h[k]∗x[n−k]\sum_{k=-\infty}^{+\infty}x[k] * h[n-k] = x[n] \otimes h[n] = h[n] \otimes x[n] = \sum_{k=-\infty}^{+\infty}h[k] * x[n-k]k=−∞∑+∞x[k]∗h[n−k]=x[n]⊗h[n]=h[n]⊗x[n]=k=−∞∑+∞h[k]∗x[n−k]
假设有r=n−kr = n - kr=n−k
那么
∑k=−∞+∞x[k]∗h[n−k]=∑r=−∞+∞h[r]∗x[n−r]=h[n]⊗x[n]\sum_{k=-\infty}^{+\infty}x[k] * h[n-k] = \sum_{r=-\infty}^{+\infty}h[r]*x[n - r] = h[n] \otimes x[n]k=−∞∑+∞x[k]∗h[n−k]=r=−∞∑+∞h[r]∗x[n−r]=h[n]⊗x[n]

5.2.2 分配律

x[n]⊗(h1[n]+h2[n])=x[n]⊗h1[n]+x[n]⊗h2[n]x[n] \otimes (h_1[n] + h_2[n]) = x[n] \otimes h_1[n] + x[n] \otimes h_2[n]x[n]⊗(h1[n]+h2[n])=x[n]⊗h1[n]+x[n]⊗h2[n]
这个就更简单了，便不单独推导了。

用系统框图表示就是

上下两个系统是等价的

5.2.3 结合律

x[n]⊗h1[n]⊗h2[n]=x[n]⊗h2[n]⊗h1[n]x[n] \otimes h_1[n] \otimes h_2[n] = x[n] \otimes h_2[n] \otimes h_1[n]x[n]⊗h1[n]⊗h2[n]=x[n]⊗h2[n]⊗h1[n]

这个需要从求和公式中推导，这里就不展开了，记住就好。

根据这个式子，有一个很重要的结论。
假设信号x[n]x[n]x[n]先经过冲激响应为h1[n]h_1[n]h1[n]系统S1，得到输出为w[n]w[n]w[n]，然后w[n]w[n]w[n]经过冲激响应为h2[n]h_2[n]h2[n]系统S2，得到最终输出y[n]y[n]y[n]。那么它也等效于信号x[n]x[n]x[n]先经过S2再经过S1。如下图。

牢记以上的几条性质，对于系统设计会非常有用。

上面都是以离散信号举例，其实对于连续信号来说，也是一样的，只是把求和换成积分。
y(n)=∫−∞+∞x(k)∗h(n−k)dk=x(n)⊗h(n)y(n) = \int_{-\infty}^{+\infty}x(k) * h(n-k)dk\\ =x(n) \otimes h(n)y(n)=∫−∞+∞x(k)∗h(n−k)dk=x(n)⊗h(n)
由于我们目前将的都是数字信号处理，因此着重讲离散信号，连续信号都会跟着提一下。

至此，讲完了卷积的由来，下一篇我们讲一下傅里叶变换。

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