迪杰斯特拉算法及其堆优化

迪杰斯特拉算法是一种求解图的单点最短路径的算法。
一句话来说就是找最近点，更新相邻距离，再找最近点，更新相邻距离
迪杰斯特拉算法的原理是
1.首先在没有中间节点的情况下，也就是直达路径中找到到达某点p的最短路径。易知，该路径一定是原点到点p的最短路径。将点p标记在vis数组中，并将最短路径的值存在dist数组中。
2.再对所有节点进行松弛操作，也就是下一个节点的最短路径有两种情况，一种是经过某个已知的最短路（就是被vis标记的最短路径），第二种情况是直达。所以，求解下一个最短路径就是求解递推公式
dist[i]=min(dist[i] , map[i][now]+dist[now])
now是上一个最短路径。
3.找到最短的dist并标记在vis中，并迭代2，3步。
总体来说，迪杰斯特拉算法是按从小到大的顺序求解到各个点的最短路径，每求出一个最短路径，下次循环时就判断所有的点（其实等同于没有求出最短路径的点）如果经过上一个已经求出最短路径的点，是否会出现更短的路径（这一步就成为松弛操作）。在遍历所有点的同时，找到没有求出最短路径的点中的最短路径，并保存。
没有优化的迪杰斯特拉算法的时间复杂度为O(n*n)。
下面是一张图解：

以下是参考代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define inf 0x7fffffff
long long int dist[100100];
int Map[1000][1000];
int vis[1010];
int main(){int n,m,s;while(~scanf("%d%d%d",&n,&m,&s)){for( int i=1;i<=n;i++){for( int j=1;j<=n;j++){Map[i][j]=0x7fffffff;}dist[i]=0x7fffffff;}memset(vis,0,sizeof(vis));for( int i=1;i<=m;i++){int from,to,val;cin>>from>>to>>val;Map[from][to]=min(val,Map[from][to]);Map[to][from]=min(val,Map[from][to]);   }dist[s]=0;vis[s]=1;int start=s;for( int j=1;j<=n;j++){int next, minn=0x7fffffff;;for( int i=1;i<=n;i++){if(Map[start][i]!=inf) {dist[i]=min(dist[i],Map[start][i]+dist[start]);}if(vis[i]==0&&dist[i]<minn){next=i;minn=dist[i];}  }if(minn==inf)break;start=next;vis[start]=0;}for( int i=1;i<=n;i++){cout<<dist[i];if(i!=n) cout<<" ";}cout<<endl;}
}

对迪杰斯特拉算法的优化：
上面的迪杰斯特拉算法主要缺陷是，每当找到一个最短路径，如果需要找下一个最短路径，就需要在完成松弛操作之后，遍历dist数组，寻找其中的最小值。遍历dist数组的时间复杂度为O(n)。
如果图的边数为n*(n-1)，那么每找到一个最小值，所要进行的松弛操作数就是n-1，这和遍历dist数组可以同时进行，算法优化的空间不大。
然而，如果是稀疏图，每找到一个最小值，所要进行的松弛操作数就远小于n-1，这时就可以对算法进行优化。优化的关键是省去对dist的线性查找，如果每次可以直接返回dist中的最大值，就可以大大减小算法的时间复杂度。
堆优化后的迪杰斯特拉算法复杂度为ElogE

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define inf 0x7fffffff
struct p{long long int to,val,next;
};
p edge[200100];
long long int dist[100100];
int vis[100100];
int head[100100];
int cnt;
void add_edge( long long from,long long to,long long  val){edge[++cnt].val=val;edge[cnt].to=to;edge[cnt].next=head[from];head[from]=cnt;
}
struct node{long long int from,val;bool operator <(const node &a ) const{return a.val<val;}
};
int main(){int n,m,s;while(~scanf("%d%d%d",&n,&m,&s)){cnt=0;memset(edge,0,sizeof(edge));for( int i=1;i<=n;i++){dist[i]=1e12;head[i]=0;vis[i]=0;}for( int i=1;i<=m;i++) edge[i].val=1e12;for( int i=1;i<=m;i++){long long int from,to,val;scanf("%lld%lld%lld",&from,&to,&val);add_edge(from,to,val);}dist[s]=0;priority_queue<node>q;q.push({s,0});while(!q.empty()){node now=q.top();q.pop();if(vis[now.from]) continue;vis[now.from]=1;for( long long int  i=head[now.from];i!=0;i=edge[i].next){int j=edge[i].to;if(dist[now.from]+edge[i].val<dist[j]){//进行松弛操作dist[j]=dist[now.from]+edge[i].val;q.push({j,dist[j]});}}}for( int i=1;i<=n;i++){printf("%lld ",dist[i]);}cout<<endl;    }
}

迪杰斯特拉算法的优化可以总结为以下几步：
1.将最短距离出队。
2.进行松弛操作，并将成功松弛的点入队。

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