[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]4.3.17
设在 $\dps{\sex{0,\frac{\pi}{2}}}$ 内连续函数 $f(x)>0$, 且满足 $$\bex f^2(x)=\int_0^x f(t)\frac{\tan t}{\sqrt{1+2\tan^2t}}\rd t. \eex$$ 求 $f(x)$ 的初等函数表达式. (复旦大学)
解答: $$\beex \bea &\quad f^2(x)=\int_0^x f(t)\frac{\tan t}{\sqrt{1+2\tan^2t}}\rd t\\ &\ra 2f(x)f'(x)=f(x)\frac{\tan x}{\sqrt{1+2\tan^2x}}\\ &\ra f'(x)=\frac{\tan x}{2\sqrt{1+2\tan^2x}}\\ &\ra f(x)=\int \frac{\tan x}{2\sqrt{1+2\tan^2x}}\rd x\\ &\quad\quad\quad\quad=\int \frac{1}{s}\cdot \frac{s}{2(1+s^2)}\rd s\quad \sex{s=\sqrt{1+2\tan^2x}}\\ &\quad\quad\quad\quad=\frac{1}{2}\arctan s+C=\frac{1}{2}\arctan \sqrt{1+2\tan^2x}+C. \eea \eeex$$ 再注意到 $\dps{\lim_{x\to 0}f^2(x)=\lim_{x\to 0}\int_0^x f(t)\frac{\tan t}{\sqrt{1+2\tan^2t}}\rd t=0}$, 我们有 $$\bex \frac{1}{2}\cdot \frac{\pi}{4}+C=0\ra C=-\frac{\pi}{8}\ra f(x)=\frac{1}{2}\arctan \sqrt{1+2\tan^2x}-\frac{\pi}{8}. \eex$$
[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]4.3.17相关推荐
- [裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]5.1.5
证明: 若删去调和级数中所有分母含有数字 $9$ 的项, 则新级数收敛, 且和小于 $80$. 证明: 对 $m=1,2,\cdots$, $[10^{m-1},10^m)$ 中的自然数的十进制表示中 ...
- [裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]4.5.8
需要全部的解答, 请 http://www.cnblogs.com/zhangzujin/p/3527416.html 设 $f(x)$ 在 $[a,\infty)$ 上可微; 且 $x\to\inf ...
- [裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]4.3.20
设 $a>0$, 函数 $f(x)$ 在 $[0,a]$ 上连续可微, 证明: $$\bex |f(0)|\leq \frac{1}{a}\int_0^a |f(x)|\rd x+\int_0^ ...
- [裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]5.1.21
设数 $a>0$, $\sed{p_n}$ 是一个数列, 并且 $p_n>0$, $p_{n+1}\geq p_n$. 证明: 级数 $$\bex \vsm{n}\frac{p_n-p_{ ...
- [裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]4.3.13
证明: 如果在 $(-\infty,+\infty)$ 上的连续函数 $f(x)$ 满足 $$\bex \int_x^{x+1}f(x)\rd t=0, \eex$$ 那么 $f(x)$ 是周期函数. ...
- [裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]5.1.27
求 $\dps{\lim_{t\to +\infty}\sex{\frac{1}{t} +\frac{2t}{t^2+1^2}+\frac{2t^2}{t^2+2^2}+\cdots+\frac{2t ...
- [裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]4.3.23
设函数 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续, $f(x)>0$. 又 $\dps{F(x)=\int_a^x f(t)\rd t+\int_b^x \frac{1}{f(t)}\rd t} ...
- [裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]4.3.15
$[a,b]$ 上的连续函数列 $\varphi_1,\varphi_2,\cdots,\varphi_n,\cdots$ 满足 $\dps{\int_a^b \varphi_n^2(x)\rd x= ...
- [裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]4.5.3
求 $\dps{\int_0^\infty f(x^p+x^{-p}) \frac{\ln x}{1+x^2}\rd x}$ (函数 $f(x)$ 连续) 解答: $$\beex \bea \mbox ...
- [裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]4.3.14
设 $f(x)$ 处处连续, $\dps{F(x)=\frac{1}{2\delta}\int_{-\delta}^\delta f(x+t)\rd t}$, 其中 $\delta$ 为任何正数. 证 ...
最新文章
- iOS 系统分析(一) 阅读内核准备知识
- Laplacian matrix 从拉普拉斯矩阵到谱聚类
- OpenResty介绍
- matlab --- 图像处理基础
- python django 是啥_python的django做什么的
- cmd255command.executereader()打印连接错误_打印经常遇到的几个问题,轻松解决
- 软工第二次结对作业---部门录取方案实现
- 自动划分-------训练集+验证集+测试集(code,自己设置比例)
- Bailian2796 Bailian3681 数字求和【序列处理】
- 在windows上安装 chocolatey.1.1.0.nupkg
- 串口通讯---实现 PC 端之间串口连接传输文件
- 数据人必会的Excel|还在给老板看苍白无力的数据?有了这份Excel炫酷的报表,还愁不升职加薪?
- mysql生成数据字典
- 复杂性理论:科学方法的第三个梯级
- antd修改Tooltip背景色
- 国内流行商业网站分类最新排行榜(2008完整版)
- c语言解三色旗问题加注释,三色旗问题(Three
- 如何理解CNN中的感受野(receptive-field)以及如何计算感受野?
- 君澜2021第一季度新开业酒店数量居世界酒店集团排名第六
- Android手机投屏后没有声音,乐播投屏电视没有声音怎么办_乐播投屏电视没有声音手机有声音解决办法_3DM手游...