线性代数与矩阵论定理 1.3.9 唯一析因定理

证明:分解的存在性是容易证明的.我只用证明分解的唯一性.采用数学归纳法.当$f(x)$可以分解成$a_0q_1(x)$这种形式时,其中$q_1(x)$不可约,那么容易证明此时分解是唯一的.假设当$f(x)$可以分解成$a_0q_1(x)q_2(x)\cdots q_n(x)$时,其中$\forall 0\leq i\leq n$,$q_i(x)$是不可约的,假设此时，分解仍然是唯一的.那么当$f(x)$能被分解成$a_0q_1(x)q_2(x)\cdots q_n(x)q_{n+1}(x)$时，其中$\forall 0\leq i\leq n$,$q_i(x)$都是不可约的,我们要证明此时分解仍是唯一的.这是容易的,因为$$\frac{f(x)}{q_{n+1}(x)}$$能被唯一分解成$a_0q_1(x)q_2(x)\cdots q_n(x)$(根据归纳假设),而$q_{n+1}(x)$与其它多项式只有两种关系,要么$q_{n+1}(x)$和其它多项式互质,要么$q_{n+1}(x)$与其它多项式是常数倍关系.如果是常数被关系，那么这个常数只能是1,此时能证明$f(x)$的分解$a_0q_1(x)q_2(x)\cdots q_n(x)q_{n+1}(x)$是唯一的.如果是互质关系,是不可能的，这是因为如下的结论:

$m(x)$为非零多项式,若$p(x)$与$q(x)$互质，则$m(x)p(x)\neq m(x)q(x)$.

注1:数论里的算术基本定理可以类似得证.

转载于:https://www.cnblogs.com/yeluqing/archive/2012/11/10/3827737.html

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