N皇后问题 - 构造法原理与证明: 时间复杂度O(1)

M皇后问题 - 构造法原理

*[原] E.J.Hoffman; J.C.Loessi; R.C.Moore* *The Johns Hopkins University Applied Physics Laboratory* *[译] EXP 2017-12-29 *

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[写在前面]

这是现在网上流传的一套关于M皇后问题的构造法公式，但是这套公式是怎么得来的，却鲜有人知。而文本会详细阐述这套公式的推导过程：

1. 前言

文本核心内容主要译自E. J. Hoffman、J. C. Loessi 和R. C. Moore发表于Mathematics Magazine《数学杂志》上的学术论文《Constructions for the Solution of the m Queens Problem》（已被美国数学协会Mathematical Association of America公开），具体期数为Vol. 42, No. 2 (Mar., 1969), pp. 66-72。

该文献可从以下途径购买：
　　http://www.jstor.org/stable/2689192
　　http://links.jstor.org/sici?sici=0025-570X%28196903%2942%3A2%3C66%3ACFTSOT%3E2.0.CO%3B2-9
　　该文献的英文原文链接：http://penguin.ewu.edu/~trolfe/QueenLasVegas/Hoffman.pdf
　　该文献的CSDN下载地址：http://download.csdn.net/download/lyy289065406/10184847

2. 问题背景

M皇后问题：在M×M格的国际象棋上摆放M个皇后，使其不能互相攻击，即任意两个皇后都不能处于同一行、同一列或同一斜线上。
　　根据场景，又有三种衍生问题：
　　① 共有多少种摆法（即有多少种可行解）
　　② 求出所有可行解
　　③ 求任意一个可行解

问题① 属于 禁位排列 问题，目前是存在通项公式直接求解的。
　　问题② 属于搜索问题，在网上也有多种解法，主流是回溯法（另有衍生的位运算变种算法），但不管如何优化，回溯法都有一个致命的问题：M值不能过大（一般M=30已是极限）。
　　问题③ 属于问题② 的子集，因此很多人的切入点依然是回溯法，也有启发式算法的解法：如遗传算法、还有刘汝佳在《算法艺术与信息学竞赛》提出的启发式修补算法。启发式算法在M<10000左右都是可解的，但是因为启发式算法均存在随机性，收敛速度视不同的收敛因子而变化（我看过某篇论文称启发式算法在M=10000时的耗时等价于回溯法M=30的耗时）。

但早在1969年，问题③ 的解就被E. J. Hoffman、J. C. Loessi 和R. C. Moore找到了潜在的数学规律，通过推导出数学公式，利用 构造法 使得该问题可在O(1) 的时间复杂度得到解。

3. 译者的话

① 由于原文使用了“m皇后”进行描述，所以本文也使用“m皇后”进行描述。我这里就不调整为大多数人习惯的“n皇后”了，避免某些数学公式参数混淆。
　　② 原文写得有点艰涩，有些中间步骤是跳过了。我就加上自己的理解做了意译，并补上了跳过的步骤和图示，但是核心的推导思路和步骤不会修改。
　　③ 原文首先给出了3个构造式（其实就是m皇后问题的通解式），然后以此为结论展开了一系列的推导证明这3个构造式是正确的。但是这3个构造式真正是怎么得来，原作者并没有说，估计是原作者做了大量的演绎、从m皇后的特解找到了潜在规则所总结出来的通解。

4. 译文：m皇后问题的构造解法

4.1. 数学模型定义

m皇后问题最初是由Gauss（高斯）提出的，该问题描述如下：
　　是否有可能在一个m×m的国际棋盘上放置m个皇后使得她们无法互相攻击？（注：皇后是国际象棋中的一种棋子，她可以对横、竖、斜三个方向的棋子发起攻击）

　　至此，m皇后问题的解模型可以定义为如下：
　　放置m个皇后到一个m×m的方格矩阵，使得皇后们的所在的方格同时满足下面所有条件：
　　① 行编号唯一
　　② 列编号唯一
　　③ 主对角编号唯一
　　④ 次对角编号唯一
　　这个模型足以解决所有m皇后问题（但仅适用于m>=4的情况，因为m=2、3时无解，m=1的解就不需要讨论了）—— 译者注：这个大前提条件会在最后进行论证

4.2. m皇后通解：三个构造式

由于通解公式相对复杂，为了便于说明，此处不从过程推导出结论，而是反其道而行之：先给出结论的通解公式（且不考虑公式是怎么推演出来的），再证明之。
　　m皇后问题的解的共由3个构造式组成。

4.2.1. 【构造式A】

4.2.2. 【构造式B】

4.2.3. 【构造式C】

4.3. 三个构造式的正确性证明

要证明构造式是成立的，只需要证明每个构造式导出的皇后位置均满足：① 行编号唯一；② 列编号唯一；③ 主对角编号唯一；④ 次对角编号唯一

4.3.1. 【构造式A】的证明

4.3.1.1. 【构造式A】

4.3.1.2. 【定理A】

4.3.1.3. 【定理A】的证明

4.3.2. 【构造式B】的证明

4.3.2.1. 【构造式B】

4.3.2.2. 【定理B】

4.3.2.3. 【定理B】的证明

4.3.3. 【构造式C】的证明

4.3.3.1. 两条【引理】

4.3.3.2. 【定理C】

4.3.3.3. 【定理C】的证明

4.2. 大前提条件m≥4的证明

上述所有的证明，都是基于一开始给出的大前提条件：
　　对于构造式A或B：令m = 2n，其中 n = 2, 3, 4,…（即m≥4且m是偶数）
　　对于构造式C：在构造式A或B可解的基础上令m+1（即m≥5且m是奇数）

亦即m皇后问题（m≥4且m是偶数）可通过【构造式A】或【构造式B】求解，而m+1皇后问题（m+1≥5且m是奇数）则可通过【构造式C】求解。

至于为什么m=1、m=2或m=3时并不适用于构造式A、B、C就是这里要讨论的。
　　首先当m=1时，虽然是有明确的唯一解，但并不存在m=2n的形式。而n作为三个构造式的重要变量，既然一开始就不存在n值，构造式A、B、C也就无从谈起了。
　　那么需要证明的，就是为什么m=2与m=3也不可取？

5. 译者后记：通解转换式（编程用）

在原作者提出的三个构造式A、B、C中，均使用(i,j)的二维坐标形式标记每个皇后的位置，从数学角度上更易于表达作者的思想，但是不便于编程使用。
　　为此译者在这里补充针对构造式A、B、C的转换公式，使用一维坐标形式标记每个皇后位置，以配合编程使用（其实这就是目前网上普遍流传的m皇后问题构造式）。
　　一维坐标的标记方式为：从第1行开始，依次写出m个数字，分别代表每行的皇后列坐标。亦即行坐标为数序（索引/下标），列坐标为数值。
　　如序列 [5, 3, 1, 6, 8, 2, 4, 7] 等价于 (1,5), (2,3), (3,1), (4,6), (5,8), (6,2), (7,4), (8,7)

5.1.【构造式A】的转换式

5.2.【构造式B】的转换式

5.3. 小结：通解转换式归整