【Matlab学习手记】拟牛顿型信頼域方法求解函数极值

信頼域子问题求解过程，包含Hessian矩阵计算啊，这里采用拟牛顿法（BFGS）来计算近似的Hessian矩阵。

例子比较简单：

 f = 100*(x(1)^2 - x(2))^2 + (x(1) - 1)^2;

很容易看出，此函数有唯一一个全局极小值点[1, 1]，下面给出拟牛顿信頼域法的计算过程，给一个偏离很远的初始值[-100, 100]，经过205次迭代收敛到[1, 1]。

源码

function x = Opt_TrustRegionBFGS(x0, err, MaxIter)
%{
函数功能：BFGS信赖域方法求解无约束问题:  min f(x)；
输入：x0：初始点；err：梯度误差阈值；MaxIter：最大迭代次数；
输出：x：最小值点；
调用格式：
clear; clc;
x = Opt_TrustRegionBFGS([-100 100]', 1e-5, 1000)
%}
eta1 = 0.25;
eta2 = 0.75;
tau1 = 0.5;
tau2 = 2;
delta = 1;
x = x0;
n = length(x0);
Bk = eye(n);   % 初始 Hessian 矩阵
k = 0;
while k < MaxIter fk = fun(x);gk = gfun(x);if norm(gk) < err disp(k);break;end% 调用子程序 Trust_q[d, val] = Trust_q(fk, gk, Bk, delta);dq = fk - val;df = fun(x) - fun(x + d);rk = df/dq;if rk <= eta1 delta = tau1*delta;elseif rk >= eta2 && norm(d) == delta delta = tau2*delta;endif rk > eta1 x = x + d;dx = d;                % 迭代点差值dg = gfun(x) - gk;       % 梯度差值if dg'*dx > 0 Bk = Bk - (Bk*(dx*dx')*Bk)/(dx'*Bk*dx) + (dg*dg')/(dg'*dx);     % Hesse矩阵更新endendk = k+1;
endfunction [d, val] = Trust_q(fk, gk, Bk, deltak)
%{函数功能: 求解信赖域子问题:min qk(d)=fk+gk'*d+0.5*d'*Bk*d, s.t.||d|| <= delta
输入: fk：xk处的目标函数值；gk：xk处的梯度；Bk：近似Hesse阵；delta：当前信赖域半径
输出: d：最优值；val：最优值
%}
n = length(gk);
rho = 0.6;
sigma = 0.2;
mu0 = 0.05;
lam0 = 0.05;
gamma = 0.05;
epsilon = 1e-6;
d0 = ones(n, 1);
zbar = [mu0, zeros(1, n + 1)]';
i = 0;
mu = mu0;
lam = lam0;
d = d0;
while i <= 150H = dah(mu, lam, d, gk, Bk, deltak);if norm(H) <= epsilonbreak;endJ = JacobiH(mu, lam, d, Bk, deltak);b = psi(mu, lam, d, gk, Bk, deltak, gamma)*zbar - H;dz = J\b;dmu = dz(1); dlam = dz(2); dd = dz(3 : n + 2);m = 0; mi = 0;while m < 20t1 = rho^m;Hnew = dah(mu + t1*dmu, lam + t1*dlam, d + t1*dd, gk, Bk, deltak);if norm(Hnew) <= (1 - sigma*(1 - gamma*mu0)*rho^m)*norm(H) mi = m; break;endm = m+1;endalpha = rho^mi;mu = mu + alpha*dmu;lam = lam + alpha*dlam;d = d + alpha*dd;i = i + 1;
end
val = fk + gk'*d + 0.5*d'*Bk*d;function p = phi(mu, a, b)
p = a + b - sqrt((a - b)^2 + 4*mu^2);function H = dah(mu, lam, d, gk, Bk, deltak)
n = length(d);
H = zeros(n + 2, 1);
H(1) = mu;
H(2) = phi(mu, lam, deltak^2 - norm(d)^2);
H(3 : n + 2) = (Bk + lam*eye(n))*d + gk;function J = JacobiH(mu, lam, d, Bk, deltak)
n = length(d);
t2 = sqrt((lam + norm(d)^2 - deltak^2)^2 + 4*mu^2);
pmu = -4*mu/t2;
thetak = (lam + norm(d)^2 - deltak^2)/t2;
J=[1,                0,               zeros(1, n);pmu,            1 - thetak,  -2*(1 + thetak)*d';zeros(n, 1),  d,               Bk + lam*eye(n)];function si = psi(mu, lam, d, gk, Bk, deltak, gamma)
H = dah(mu, lam, d, gk, Bk, deltak);
si = gamma*norm(H)*min(1, norm(H));function f = fun(x)
f = 100*(x(1)^2 - x(2))^2 + (x(1) - 1)^2;function gf = gfun(x)
gf = [400*x(1)*(x(1)^2 - x(2)) + 2*(x(1) - 1);-200*(x(1)^2 - x(2))];

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