爬山算法求解函数极值（matlab实现）

爬山算法：

爬山算法是一种简单的贪心搜索算法，在算法迭代的过程中，会从当前解的临近空间中随机选取下一个点，如果比当前结果好则会选取这个点作为新的最优解，否则再次进行选取。因为不是遍历得到的最优解，而是通过启发选择部分节点，从而达到提高效率的目的，爬山算法的实现很简单，其主要缺点是在迭代过程中会陷入局部最优解，并无法跳出，不是全局搜索算法，因此搜索不到全局最优解。

算法基本原理如下：

S<--选取一个初始解S作为可行解

while

R = S+rand()

if f(R)> f(S)

S = R

end

end

本文将从一个简单的二元函数入手，用Matlab实现爬山算法（Hill climbing）求解函数极值。需要注意的是，爬山算法作为一种启发式算法，在实际情况中使用的时候求解的问题会是抽象函数，不会像是本文给出的这种已知的目标函数，本文只是从一个二元函数作为例子，方便大家了解算法的基本结构。

$min f(x,y) = (1-x)^2 + (y-x^2)^2$

在Matlab中绘制简单三维图像：

f =@(x,y) (x-1).^2+(y-x.^2).^2;
[a,b] = meshgrid(-2:0.1:2);
figure
mesh(a,b,f(a,b));hold on
xlabel('自变量x1')
ylabel('自变量x2')
zlabel('因变量f')

图像绘制如下所示：

这个函数的极值点在（1，1）处，从图像中可以选择一个在迭代过程中不会陷入局部最优解的一个点，在这里我选择了（0，0）作为初始解S，并将每一次迭代的点绘制在图中方便观察算法迭代的过程。

clc;clear;
f =@(x,y) (x-1).^2+100*(y-x.^2).^2;
[a,b] = meshgrid(-2:0.1:2);
figure
mesh(a,b,f(a,b));hold on
xlabel('自变量x1')
ylabel('自变量x2')
zlabel('因变量f')S=[0;0];step=0.001;
num=1;Y=f(S(1),S(2));for i = 1:10000num = num + 1;plot3(S(1),S(2),f(S(1),S(2)),'ko','MarkerFaceColor','k','Markersize',5);R = S + step*(2*rand(2,1)-1);if f(R(1),R(2))<f(S(1),S(2))S = R;endY = f(S(1),S(2));
end

最优解为（1.0000，1.0000）最优值为9.485708162265400e-11，这里是由于精确度的问题，最优解的小数部分没有完全显示，运行结果如下所示：

可以看出在迭代过程中，算法每次会随机选取可行方向，因此在在效率上会有所降低，可以对算法进行优化处理，在每一次随机选取的过程中让它多选取几个点，在许多个点中选取下降最好的点作为新解，优化后的代码如下：

clc;clear;
f =@(x,y) (x-1).^2+(y-x.^2).^2;
[a,b] = meshgrid(-2:0.1:2);
figure
mesh(a,b,f(a,b));hold on
xlabel('自变量x1')
ylabel('自变量x2')
zlabel('因变量f')S=[0;0];step=0.001;
num=1;Y=f(S(1),S(2));for i = 1:10000num = num + 1;plot3(S(1),S(2),f(S(1),S(2)),'ko','MarkerFaceColor','k','Markersize',5)R = S + step*(2*rand(2,1)-1);n = 100;for j = 1:n-1W = S + step*(2*rand(2,1)-1);if f(W(1),W(2)) < f(S(1),S(2))S = W;endendif f(R(1),R(2)) < f(S(1),S(2))S = R;endY = f(S(1),S(2));
end

在这里的函数较为简单，算法的迭代效率不是很明显，大家可以对比一下两个算法之间的差别，在实际应用的时候，随机点的选取可以根据环境有目的性的寻找，这样可以大大增强算法的运行效率。

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