Akm函数递归与非递归解法

如下是Akm函数的递归算法，根据Akm函数的递归定义就可以得出，请参考：

int AkmRecur(int m, int n)
{if (m == 0)return n + 1;else if (n == 0)return AkmRecur(m - 1, 1);elseAkmRecur(m - 1, AkmRecur(m, n - 1));
}

非递归算法没有递归算法简单，你先计算一下Akm(2,1)，多计算几遍（我建议2遍，并在计算的过程中，分析一下计算过程有什么规律）。

如果你计算完了，就可以看下面的分析了（请不要懒，应为计算的量是比较小的）

①计算的过程中，我们发现有这样的变化

akm(2,1)=akm[1,akm(2,0)]（你可能注意到这是第一步）

然后如果要继续算下去，那么我们要计算出

akm(2,0)

这个Akm函数的值。所以第一步思考，如何让计算机懂得计算akm[1,akm(2,0)]里面的akm(2,0)而不是看到akm[1,akm(2,0)]就傻掉了（死板的计算机如果只懂的计算akm(2,0)这种形式的话）。如果仔细观察一下，你会发现右边的Akm函数多了一个数字0，或者说数字多了一个（左边只有2和0两个数字，右边有1，2和0三个数字），所以可以通过这个特点设置一个tag标志，-1表示左边的形式，如果非-1的话，那么就是右边的形式，计算机可以通过观察tag来区别计算左边还是右边（如果你觉得不太懂，可以等下看算法，算法很清晰，比我这里啰嗦要好）

②如果计算得到了值（Akm中，当m=0的时候，函数的值确定了，为n+1），如何返回？如果你计算了，请观察一下过程，发现你要带回的地方，恰好是形式转变的地方（形如akm(2,0)=akm[1,akm(2,0)]的地方），所以通过这个特点，可以赋值在右边式子的第二个数（把带回的值赋值给右边式子的第二个数，你不也是这样带回的吗？），而要一直略过的地方（就是得到的值要带回，离恰好形式转变的式子中间应该有不少等式），可以发现都是akm(x,y)的形式，而且其tag值应为-1（如果你觉得听得很模糊，没关系，等下看下算法就全懂了）

③还有一点，就是如何带回结果的问题，我不善于表达，请直达下面的代码吧。

代码如下：

int AkmNRecur(int m, int n)
{SeqStack S;InitStack(&S);AkmElem e;e.m = m, e.n = n, e.k = -1;//一开始的m,n压入栈中Push(&S, e);while (1){AkmElem v, x;GetTop(&S, &v);if (v.k != -1){v.m = v.n;v.n = v.k;//-1表示是akm(x,y)形式，如果不是这个形式，则k应该等于一个正整数}if (v.m == 0)//复杂度最高的情况{int value;value = v.n + 1;//计算结果do{Pop(&S);if (IsEmpty(&S))//如果连续出栈导致栈空，那么表示返回值就是akm函数的结果return value;elseGetTop(&S, &x);} while (x.k == -1);Pop(&S);x.k = -1;x.n = value;Push(&S, x);//这里表示计算机完成对akm[1,akm(2,0)]形式中akm(2,0)的计算了，现在应该是akm(1,3)这种形式}else if (v.n == 0)//如果是这种情况，那么需要入栈，应为还不知道结果，要继续运算{x.k = -1;x.m = v.m - 1;x.n = 1;Push(&S, x);}else//这种情况同v.n==0分析{x.m = v.m - 1;x.n = v.m;x.k = v.n - 1;Push(&S, x);}}
}

紧凑版：

int AkmNRecur(int m, int n)
{SeqStack S;InitStack(&S);AkmElem e, v, x;e.m = m, e.n = n, e.k = -1;//一开始的m,n压入栈中Push(&S, e);while (true){GetTop(&S, &v);if (v.k != -1){v.m = v.n, v.n = v.k;}if (v.m == 0){int value = v.n + 1;//计算结果do{Pop(&S);if (IsEmpty(&S))//如果连续出栈导致栈空，那么表示返回值就是akm函数的结果return value;GetTop(&S, &x);} while (x.k == -1);Pop(&S);x.k = -1, x.n = value;}else if (v.n == 0)//如果是这种情况，那么需要入栈，应为还不知道结果，要继续运算{x.k = -1, x.m = v.m - 1, x.n = 1;}else//这种情况同v.n==0分析{x.m = v.m - 1,x.n = v.m, x.k = v.n - 1;}Push(&S, x);}
}

请相信这个代码，尽管他运行不了太大的Akm(这真不能怪算法，Akm函数的值增长速度太快了，只是微不足道地提升一下数值，计算机都会喘不过气来)，几乎是一遍AC的（为什么几乎呢？中间调试了时候x.k=-1写出x.k==-1...比较难发现哟）

如果你要运行，你得需要整个源代码，如下：

#include "stdafx.h"
#include<stdio.h>
#include<iostream>
#define STACK_INI_SIZE 10
#define STACK_INC_SIZE 2
#define Status int
#define OVERFLOW -1
#define ERROR 0
#define OK 1
typedef struct AkmStack
{int m;int n;int k;
}AkmElem;
typedef struct SeqStack
{AkmElem *base;int      top;int      size;
}SeqStack;Status InitStack(SeqStack *S);
Status Extern(SeqStack *S);
Status Push(SeqStack *S, AkmElem x);
Status Pop(SeqStack *S);
Status GetTop(SeqStack *S, AkmElem *e);
bool IsEmpty(SeqStack *S);int AkmRecur(int m, int n);
int AkmNRecur(int m, int n);int main()
{using namespace std;cout << AkmRecur(3, 2) << endl;cout << AkmNRecur(3, 2) << endl;return 0;
}int AkmRecur(int m, int n)
{if (m == 0)return n + 1;else if (n == 0)return AkmRecur(m - 1, 1);elseAkmRecur(m - 1, AkmRecur(m, n - 1));
}int AkmNRecur(int m, int n)
{SeqStack S;InitStack(&S);AkmElem e;e.m = m, e.n = n, e.k = -1;//一开始的m,n压入栈中Push(&S, e);while (1){AkmElem v, x;GetTop(&S, &v);if (v.k != -1){v.m = v.n;v.n = v.k;}if (v.m == 0){int value;value = v.n + 1;//计算结果do{Pop(&S);if (IsEmpty(&S))//如果连续出栈导致栈空，那么表示返回值就是akm函数的结果return value;elseGetTop(&S, &x);} while (x.k == -1);Pop(&S);x.k = -1;x.n = value;Push(&S, x);}else if (v.n == 0)//如果是这种情况，那么需要入栈，应为还不知道结果，要继续运算{x.k = -1;x.m = v.m - 1;x.n = 1;Push(&S, x);}else//这种情况同v.n==0分析{x.m = v.m - 1;x.n = v.m;x.k = v.n - 1;Push(&S, x);}}
}Status InitStack(SeqStack *S)
{S->base = (AkmElem*)malloc(sizeof(AkmElem)*STACK_INI_SIZE);if (!S->base)return OVERFLOW;S->size = STACK_INI_SIZE;S->top = 0;return OK;
};Status Extern(SeqStack *S)
{AkmElem *newbase;newbase = (AkmElem*)realloc(S->base, (S->size + STACK_INC_SIZE) * sizeof(AkmElem));if (!newbase)return OVERFLOW;S->base = newbase;S->size += STACK_INC_SIZE;return OK;
}Status Push(SeqStack *S, AkmElem x)
{if (S->top == S->size && !Extern(S))return OVERFLOW;S->base[S->top++] = x;return OK;
}Status Pop(SeqStack *S)
{if (IsEmpty(S))return ERROR;S->top--;return OK;
}Status GetTop(SeqStack *S, AkmElem *e)
{if (IsEmpty(S))return ERROR;(*e) = S->base[S->top - 1];return OK;
}bool IsEmpty(SeqStack *S)
{return S->top == 0;
}

我觉得呢，还是自己多计算几个Akm函数，计算的过程中，就会发现规律，总结规律，代码就出来了。

希望对你有帮助。

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