matlab 中点法,中点法解常微分方程（组）

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预备知识　常微分方程(组)的数值解

我们先来尝试用欧拉法解一阶微分方程

\begin{equation}

y'(t) = y

\end{equation}

令初始条件为 $y(0) = 1$．令步长为 $h = 0.5$，步数为 $5$，结果如图 1 所示(代码见词条最后)．

图 1：欧拉法数值解(蓝)和解析解(红)

我们知道该方程的解析解为 $y = \mathrm{e} ^{t}$．对比数值解和解析解，不难分析出误差产生的原因：我们仅用每段步长区间左端的导数预测整个区间的曲线增量．如果我们能利用每个区间中点的导数计算整个区间的增量，这个预测将会比欧拉法更精确．

考虑微分方程 $y'(t) = f(y, t)$ 在区间 $[t_n, t_{n+1}]$ 的曲线，若我们已知区间左端的函数值为 $y_n$，我们可以先用微分近似估计曲线中点的函数值为

\begin{equation}

y \left(t_n + \frac h2 \right) = y_n + \frac h2 f(y_n, t_n)

\end{equation}

然后再求出这个近似中点的导数为

\begin{equation}

y' \left(t_n + \frac h2 \right) = f \left[y_n + \frac h2 f(t_n, y_n), t_n + \frac h2 \right]

\end{equation}

最后我们利用这个导数估算该区间的曲线增量

\begin{equation}

y_{n+1} = y_n + hy' \left(t_n + \frac h2 \right) = y_n + h f \left[y_n + \frac h2 f(t_n, y_n), t_n + \frac h2 \right]

\end{equation}

这就是解常微分方程的中点法．

我们再来用中点法取同样的步长计算式 1，结果如图 2 所示．

图 2：中点法数值解(蓝)和解析解(红)

可见虽然中点法每一步的计算过程比欧拉法稍微复杂一些，但精度却大大地提高了．

中点法同样适用于微分方程组，例如对于常微分方程组

\begin{equation}

\begin{cases}

x'(t) = f(x, y, t)\\

y'(t) = g(x, y, t)

\end{cases}

\end{equation}

首先计算近似中点为

\begin{equation}

\begin{cases}

x_{n+1/2} = x_n + \frac{h}{2} f(x_n, y_n, t_n)\\

y_{n+1/2} = y_n + \frac{h}{2} g(x_n, y_n, t_n)

\end{cases}

\end{equation}

然后有

\begin{equation}

\begin{cases}

x_{n+1} = x_n + h f \left(x_{n+1/2}, y_{n+1/2}, t_n + h/2 \right) \\

y_{n+1} = y_n + h g \left(x_{n+1/2}, y_{n+1/2}, t_n + h/2 \right)

\end{cases}

\end{equation}

代码 1：odeMid.m

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