matlab中使用ode方法解范德波尔微分方程的数值解

微分方程的解析解要求比较严苛，只有在特定的条件下才能写出解析解表达式，而在现实的科研问题当中，绝大多数情况我们会采用数值解（numeric solution）的方法来求解微分方程。这个时候就要用到ode方法了，ode是常微分方程英文名ordinary differential equation的缩写。我们将通过范德波尔方程为例演示求解的过程。大致可以分为2步：列方程和解方程。
一、列方程。
范德波尔方程用数学表达式可以写成一下形式：

由常微分理论可知，列方程需要给出两个条件
1.方程式：即带有未知数的等式
2.初始值：初始值不一样，解也不一样，这是解方程必须给出的数据。理论研究的时候，我们可以用C来表示常量，但是在做数值解的时候，必须给出具体的数值，比如上式中的2,0

如何把上面的数学表达式呢，需要在matlab中编写函数，本例中的范德波尔如下，特别要注意的是y和dy代表的意义，在代码的注释中有详细的解释：

function dy = vdp1000(t,y) %这个似乎是规定的范式，要记住，其中y是代表函数的解，y(1)就是需要求的解y,y(2)是y的微分y'，相当于y(n)'=y(n+1)
dy = zeros(2,1); %作为函数返回值的列向量，我猜测里面存储的是解函数的微分,dy和y的区别在于相同索引的dy和y差一个微分d，相当于dy(1)=y(1)'=y(2)
dy(1)=y(2); %dy(1)存储的的是y',可以简单记忆dy(1)=y',dy(2)=y'',y(n)=dy(n-1)=y的n-1个'
dy(2)=1000*(1-y(1)^2)*y(2)-y(1); %注意到方恒的左边都是关于dy(n)的表达式，右边都是关于y(n)的表达式
end

二、解方程
在matlab中，我们使用ode系列方法来解方程，ode方法有很多，对于非刚性问题，我们可以使用ode45/ode23/ode113等方法，对于刚性问题，我们使用ode15s/ode23s/ode23t/ode23t等，对于范德波尔方程，我们使用ode15s来进行求解，代码如下。
注意方法的参数包括：方程@开头的句柄，求解时间范围tspan，以及解的初始值，具体的解释在代码的注释中有详细的说明

[T,Y] = ode15s(@vdp1000,[0 3000],[2,0]); %T和Y表示解，也就是Y关于T的函数，@vdp1000表示微分方程句柄，可以认为是方程的名字，比如这里就是范德波尔方程，[0,3000]代表的是时间范围，也就是限定了区间，显然区间越大，计算量越大，所以要想清楚自己要哪一段的数据，给多了也没用。[2,0]表示的是解的初始值，因为初始值不一样，解也不一样，这是解方程必须给出的数据。这里给出了两个初始值，2表示y的初始值，0表示dy的初始值。
plot(T,Y(:,1),'o')

我们在运行之后可以得到这个方程解的图像如下：

这样我们就完成了matlab中使用ode方法解范德波尔微分方程的数值解的任务。

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