数据结构入门6-2（图 - 图的应用）
目录
注
最小生成树
1. 普利姆算法（加点法）
2. 克鲁斯卡尔算法（加边法）
最短路径
1. 单源点的最短路径（迪杰斯特拉算法）
2. 每一个顶点之间的最短路径（弗洛伊德算法）
拓扑排序
AOV-网
关键路径
AOE-网
注
本笔记参考：《数据结构（C语言版）（第2版）》
接下来将记录的是几个常用的算法。
最小生成树
【情景】
现在需要在n个城市之间建立通信网。已知：
- 连通n个城市仅需n - 1条线路；
- n个城市之间最多可能设置n(n - 1) / 2条线路；
- 连通一条线路需要付出相应的经济代价。
【需求】
需要在上述可能的n(n - 1) / 2条线路中选择n - 1条线路，使得总的耗费最少。
【分析】
可以用一个连通图来展示上述情景：
由上述这张网可以建立许多不同的生成树。其中，最合理的通信网是代价之和最小的生成树，这棵生成树就是该连通网的最小生成树。
在进行最小生成树的生成时，多数会用到MST性质：假设N = (V, E)是一张连通网，U是顶点集V的一个非空子集。若(u, v)是一条具有最小权值（代价）的边，其中u ∈ U，v ∈ V - U，则必定存在一棵包含边(u, v)的最小生成树。
接下来出现的普利姆算法和克鲁斯卡尔算法都利用了MST性质。
1. 普利姆算法（加点法）
假设N = (V, E)表示连通网G₅，TE是N上最小生成树中边的集合。则普利姆算法的构造过程如图所示（该算法从顶点V₁开始）：
该算法寻找对某一顶点而言权值最小的边，再在最小边对应的另一结点上重复该过程。在这一过程中，U中的顶点在不断增加，所以普利姆算法也可以被称为“加点法”。
注意：选择最小边时，若存在多条同样权值的边可选，则任选其一。
该算法需要一个数组承接信息，因此设计辅助数组closedge：
//---辅助数组，用以记录从顶点集U到V-U的权值的最小边---
struct
{VerTexType adjvex; //最小边在U中的那个顶点ArcType lowcost; //最小边上的权值
}closedge[MVNum];【参考代码：Min函数】
int Min(int vexnum)
{int k = 0;for (int i = 0; i < vexnum; i++)if (closedge[i].lowcost != 0)k = i;for (int i = 0; i < vexnum; i++)if (closedge[i].lowcost != 0 && closedge[k].lowcost > closedge[i].lowcost)k = i;return k;
}【参考代码：MiniSpanTree_Prim函数，以邻接矩阵存储（算法本体）】
void MiniSpanTree_Prim(AMGraph G, VerTexType u)
{//从u出发构造G的最小生成树T，并输出T的各条边int k = LocateAMGVex(G, u); //k为顶点u的下标for (int j = 0; j < G.vexnum; j++) //对V-U的每个顶点，初始化closeedge[j]if (j != k)closedge[j] = { u, G.arcs[k][j] }; //{顶点, 权值}closedge[k].lowcost = 0; //初始化，初始时U = {u}for (int i = 1; i < G.vexnum; i++) //选择剩余的n-1个顶点，生成n-1条边{k = Min(G.vexnum); //从closedge内存储的各条边中，选出最小边closedge[k]VerTexType u_0 = closedge[k].adjvex; //u_0是最小边的顶点VerTexType v_0 = G.vexs[k]; //v_0是最小比边的另一个顶点，v_0∈V - Ucout << u_0 << v_0 << endl;closedge[k].lowcost = 0; //将第k个顶点并入U集for (int j = 0; j < G.vexnum; j++) //将新顶点并入U，再选择新的最小边{if (G.arcs[k][j] < closedge[j].lowcost) //若k到j的边，其权值比原本的closedge[j].lowcost小closedge[j] = { G.vexs[k], G.arcs[k][j] };}}
}【算法分析】
设网中有n个顶点，则：
- 进行初始化的循环语句的频度是：n；
- 第二个循环语句的频度是：n - 1，其中还有两个内循环：
- Min函数求最小值的频度是：n - 1；
- 重新选择具有最小值的边，其频度是：n。
由此可知，普利姆算法的时间复杂度为O(n²)。该算法与网的边数无关，适合稠密图。
2. 克鲁斯卡尔算法（加边法）
依旧通过连通网G₅对算法进行说明：
克鲁斯卡尔算法同样需要辅助数组，不同的是，需要两个不同的数组完成不同的工作：
//------存储边，及其两个顶点的信息------
struct
{VerTexType Head; //边的起点VerTexType Tail; //边的终点ArcType lowcost; //边的权值
}Edge[MVNum];//------标识两个连通分量------
int Vexset[MVNum];【参考代码：MiniSpanTree_Kruskal函数，以邻接矩阵存储（算法本体）】
//------克鲁斯卡尔算法（无向网，用邻接矩阵存储）------
void MiniSpanTree_Kruskal(AMGraph G)
{SortEdge(G.arcnum); //将数组Edge中的各个元素按权值从小到大排序for (int i = 0; i < G.vexnum; i++) //初始化时，各个结点各为一个连通向量Vexset[i] = i;for (int i = 0; i < G.arcnum; i++) //依次查看数组Edge中的边{int v_head = LocateAMGVex(G, Edge[i].Head); //v_head是边的始点Head的下标int v_tail = LocateAMGVex(G, Edge[i].Tail); //v_tail是边的终点Tail的下标int cc_head = Vexset[v_head]; //获取始点所在的连通分量int cc_tail = Vexset[v_tail]; //获取终点所在的连通分量if (cc_head != cc_tail) //若边的两个顶点属于不同的连通分量{cout << Edge[i].Head; //输出此边cout << Edge[i].Tail << endl;for (int j = 0; j < G.arcnum; j++)if (Vexset[j] == cc_tail) //统一两个集合的编号Vexset[j] = cc_head;}}
}【算法分析】
若已学习过堆排序，通过“堆”来存放网中的边，对于包含e条边的网，上述算法排序时间是O(elog₂e)。（但是笔者还未学习到此，故没有将Sort函数的实现展示出来）
在上述算法中，最耗时的操作是合并两个不同的连通分量，若数据结构合理，该步骤的执行时间是O(log₂e)。则整个for循环的执行时间会是O(elog₂e)。
综上所述，克鲁斯卡尔算法的时间复杂度可以达到O(elog₂e)。其只与网的边有关，更适合对稀疏图求最小生成树。
最短路径
假设在计算机上建立一个交通咨询系统，可以用图的结构标识实际的交通网络。其中：
- 顶点：表示城市；
- 边：表示城市间的交通联系。
若有人要从A城到B城，不同的人对于路径的选择有不同的要求：譬如要节省交通费用，要速度最快、里程度最少等等。为了在图上能够表示相关信息，就需要对边赋予权，权值就是两城市之间的距离、交通费用等。
在上述情况下，对于路径的度量就被转变为了对权值之和的度量。一般而言，交通图都存在方向，因此，交通网往往通过带权有向网表示。习惯上，① 带权优先网的第一个顶点被称为源点，② 最后一个顶点被称为终点。
1. 单源点的最短路径（迪杰斯特拉算法）
接下来将会讨论：给定带权有向图G和源点v，求从v到G中其余各顶点的最短路径。迪杰斯特拉算法是一个按路径长度递增的次序产生最短路径的算法。
在求解过程中，将把网N = (V, E)的顶点分为两组：
- S：已求出的最短路径的终点集合（初始时只包含源点v₀）；
- V - S：尚未求出的最短路径的顶点集合（初始时为V - {v₀}）。
现在约定，在最短路径问题下所述的路径长度均指其权值。
该算法依照各个顶点与v₀之间的间最短路径长度递增的次序，将集合V - S中的顶点加入到集合S中去。在此过程中，总保持：
从v₀到集合S中各个顶点的路径长度 ≤ 从v₀到集合V - S中各个顶点的路径长度
【例1】
总结有向图G₆中从v₀到各个顶点的最短路径：
| 源点 | 终点 | 最短路径 | 路径长度 |
|---|---|---|---|
| v₀ | v₂ | (v₀, v₂) | 10 |
| v₄ | (v₀, v₄) | 30 | |
| v₃ | (v₀, v₄, v₃) | 50 | |
| v₅ | (v, v₄, v₃, v₅) | 60 | |
| v₁ | 无 | ∞ |
当路径不存在时，默认该条路径长度为无限大。
上述从v₀到各个顶点的路径长度就是按照递增的顺序进行排列的（其中，从v₀到v₁没有路径）。
为了实现该算法，需要引入辅助的数据结构：
由于每当一个新顶点被加入集合S中时，对于V - S中的各个顶点而言，都会多出一个“中转”顶点，一条“中转”路径，此时需要更新V - S中各个顶点的最短路径长度。
【参考代码】
bool S[MVNum]; //记录从源点v_0到终点v_i是否已被确定最短路径
int Path[MVNum]; //记录从源点v_0到终点v_i，其当前的最短路径上vi的直接前驱顶点的序号
int D[MVNum]; //记录从源点v_0到终点v_i的当前最短路径长度
void ShortestPath_DIJ(AMGraph G, int v_0)
{//---初始化---int n = G.vexnum; //用n存储G中顶点的个数for (int v = 0; v < n; v++){S[v] = false; //初始化SD[v] = G.arcs[v_0][v]; //初始化D（为v_0到各个终点的路径长度）if (D[v] < MaxInt) //若v_0与当前终点之间存在路径Path[v] = v_0;elsePath[v] = -1; //路径不存在，赋值为-1}S[v_0] = true; //将v_0加入集合SD[v_0] = 0; //源点到源点的距离是0//---求到各个终点的最短路径---for (int i = 1; i < n; i++) //对剩余n - 1个顶点求最短路径{int min = MaxInt;int v = 0; //保管终点for (int j = 0; j < n; j++){if (!S[j] && D[j] < min) //选择当前的最短路径{v = j;min = D[j];}}S[v] = true;for (int j = 0; j < n; j++) //更新从v_0出发到集合V - S上的所有顶点的最短路径长度{if (!S[j] && (D[v] + G.arcs[v][j] < D[j])){D[j] = D[v] + G.arcs[v][j]; //更新路径长度Path[j] = v; //更新j的前驱}}}
}在上述算法中，若IntMax定义过大，可能在最后的if处造成溢出。或者，可以将数组D的类型改为unsigned int类型，通过增大存储空间，来防止溢出。
通过上述算法处理有向图G₆，其结果用表格表示：
| v = 0 | v = 1 | v = 2 | v = 3 | v = 4 | v = 5 | |
|---|---|---|---|---|---|---|
| S | true | false | true | true | true | true |
| D | 0 | MaxInt | 10 | 50 | 30 | 60 |
| Path | -1 | -1 | 0 | 4 | 0 | 3 |
【算法分析】
该算法的主循环执行了n - 1次，而每次进行主循环，其执行时间都是O(n)，故该算法的时间复杂度为O(n²)（对邻接矩阵和邻接表都如此）。
若只需要寻找源点到某一顶点的最短路径，而仍用迪杰斯特拉算法，则时间复杂度不变（一样复杂）。
2. 每一个顶点之间的最短路径（弗洛伊德算法）
若要求每一个顶点之间的最短路径，可以使用两种方法：
- 调用n次的迪杰斯特拉算法；
- 使用弗洛伊德算法。
实际上，两种方式的时间复杂度都为O(n³)，但弗洛伊德算法的形式更简单。
同样的，该算法也需要辅助的数据结构：
弗洛伊德算法不需要标记最短路径是否已被确认，因此不存在数组S。
若将弗洛伊德算法和迪杰斯特拉算法进行比较，会发现弗洛伊德算法也是在不断地修正中得到最终的最短路径：
- 算法通过初始化确定顶点之间的路径状况；
- 通过遍历寻找每个源点；
- 类似于迪杰斯特拉算法，弗洛伊德算法通过将原本的路径长度与“中转”路径长度比较，确定较小值；
- 循环，直到所有源点遍历结束。
【参考代码】
int Path[MaxInt][MaxInt]; //记录最短路径上顶点v_j的前一个顶点的序号
int D[MaxInt][MaxInt]; //记录顶点v_i和v_j之间的最短路径长度
void ShortestPath_Floyd(AMGraph G)
{for (int i = 0; i < G.vexnum; i++){//---初始化---for (int j = 0; j < G.vexnum; j++){D[i][j] = G.arcs[i][j];if (D[i][j] < MaxInt)Path[i][j] = i;elsePath[i][j] = -1;}D[i][i] = 0;}//---遍历，寻找每个源点的最短路径---for (int v = 0; v < G.vexnum; v++){for (int i = 0; i < G.vexnum; i++){for (int j = 0; j < G.vexnum; j++){if (D[i][v] + D[v][j] < D[i][j]) //若从i经k到j的一条路径更短{D[i][j] = D[i][v] + D[v][j]; //更新DPath[i][j] = Path[v][j]; //更改j的前驱为v}}}}
}接下来通过G₇简单说明上述算法：
若把该算法的G₇的初始化结果即最终结果通过表格的形式显示，则如：
| D | Path | ||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 序号（下标） | 0 | 1 | 2 | 3 | 0 | 1 | 2 | 3 | |
| 0 | 0 | 1 | ∞ | 4 | -1 | 0 | -1 | 0 | |
| 1 | ∞ | 0 | 5 | 2 | -1 | -1 | 1 | 1 | |
| 2 | 3 | 9 | 0 | 8 | 2 | 2 | -1 | 2 | |
| 3 | ∞ | ∞ | 6 | 0 | -1 | -1 | 3 | -1 | |
而当算法结束，就可以得到其最终的最短路径结果：
若需要通过表格2获取关于某一最短路径的信息，例如获得顶点0到顶点3的最短路径信息，可以参考：
- 最短路径长度：D[0][3] = 3。表示顶点0和顶点3之间的最短路径长度是3。
- 最短路径：Path[0][3] = 1（在当前最短路径中，顶点3的前驱是顶点1），Path[0][1] = 0。表示从顶点0到顶点3的最短路径是<0, 1>，<1, 3>。
拓扑排序
AOV-网
一个无环的有向图被称为有向无环图（Directed Acycline Graph），简称DAG图。这种图通常被用于描述一项工程或者系统的进行过程。一般地，一项工程可以可以被分为若干个被称为活动的子工程，子工程之间往往有着某些约束，譬如子过程开始的先后顺序。
以课程的学习为例：必修课可以被分为基础课和专业课。基础课独立于其他课程，而专业课的学习却存在先后顺序，例如：
| 课程编号 | 课程名称 | 先修课程 |
|---|---|---|
| C₁ | 程序设计基础 | 无 |
| C₂ | 离散数学 | C₁ |
| C₃ | 数据结构 | C₁、C₂ |
| C₄ | 汇编语言 | C₁ |
| C₅ | 高级语言程序设计 | C₃、C₄ |
| C₆ | 计算机原理 | C₁₁ |
| C₇ | 编译原理 | C₃、C₅ |
| C₈ | 操作系统 | C₃、C₆ |
| C₉ | 高等数学 | 无 |
| C₁₀ | 线性代数 | C₉ |
| C₁₁ | 普通物理 | C₉ |
| C₁₂ | 数值分析 | C₁、C₉、C₁₀ |
如图所示：
类似于上图这种，通过顶点表示活动，使用弧表示活动间优先关系的有向图被称为：顶点表示活动的网（Activity On Vertex Network），简称AOV-网。
注意：在AOV-网中不应该出现有向环，因为若存在有向环，则代表着有活动是以自己为先决条件的。若这样设计，则工程将会无法进行，程序陷入死循环。
为了防止环的出现，就需要对有向图图中的顶点进行拓扑排序：若网中的顶点都在其的拓扑有序序列中，则该AOV-网中必定不存在环。
拓扑排序，就是将AOV-网中的所有顶点排列为一个线性序列，序列满足：
【例如】
当然，在上图中，拓扑有序序列并不止展示出来的两个。
若要输出拓扑排序序列，需要：
- 寻找图中无前驱的顶点，输出该顶点；
- 删除该顶点和以它为尾的弧；
- 重复上述步骤，直到不存在无前驱的顶点。
如此，一串拓扑排序序列的输出如图所示：
同样地，该算法也需要使用辅助的数据结构：
注：接下来的图将用邻接表进行存储。
【参考代码：FindInDegree函数（求顶点的入度）】
void FindInDegree(ALGraph G)
{ArcNode* p = NULL;for (int i = 0; i < G.vexnum; i++) //遍历邻接表{if(G.vertices[i].firstarc)p = G.vertices[i].firstarc;while (p){indegree[p->adjvex]++; //计算入度p = p->nextarc;}}
}【参考代码：TopologicalSort函数（算法本体）】
int indegree[MVNum]; //用于存放顶点的入度，若顶点没有前驱，则将入度置为0。
int topo[MVNum] = { 0 }; //记录拓扑序列的顶点序号。//------拓扑排序本体------
Status TopologicalSort(ALGraph G, int topo[])
{FindInDegree(G); //求出各顶点的入度，将其存放在数组indegree中LinkStack S; //此次所有的是链栈InitStack(S); //将栈初始化for (int i = 0; i < G.vexnum; i++){if (!indegree[i])Push(S, i); //将入度为0的顶点入栈}int top = 0; //对输出的顶点进行计数while (S){int i = 0;Pop(S, i);topo[top++] = i;ArcNode* p = G.vertices[i].firstarc;while (p){indegree[p->adjvex]--;if (!indegree[p->adjvex]) //将入度为0者入栈Push(S, p->adjvex);p = p->nextarc;}}if (top < G.vexnum)return false;elsereturn true;
}【算法分析】
上述算法所需时间主要集中在三个方面：
- 求各顶点入度（FindInDegree函数），时间复杂度为O(e)；
- 建立入度为0的顶点栈，时间复杂度为O(n)（若有向图无环，每个顶点入栈一次，出栈一次）；
- 入度减1的操作在循环中总共执行了e次，时间复杂度为O(e)。
综上所述，总的时间复杂度为O(n + e)。
关键路径
AOE-网
与AOV-网相对的，也存在以边表示活动的网，被称为AOE-网（Activity On Edge）。AOE-网是一个带权的有向无环图，例如：
通常，AOE-网被用来估算工程的完成时间，或者判断哪些活动会是影响工程进度的关键。
在上图中，存在着从V₀ ~ V₈共9个事件。其中，每个事件表示在其之前的活动已经结束，而在其之后的活动可以开始。例如：V₄表示a₄和a₅已经完成，a₇和a₈可以开始。
一个工程的开始和结束是唯一的，因此，（在正常情况下）AOE-网只有一个入度为0的点，即源点，也只有一个出度为0的点，即汇点。AOE-网中存在着一些概念：
| 概念 | 解释 |
|---|---|
| 路径的带权路径长度（简称路径长度） | 一条路径各弧上的权值之和 |
| 关键路径 | 即从源点到汇点，其中带权路径长度最长的路径 |
| 关键活动 | 是关键路径上的活动 |
在上图中，各个概念对应着：
- 源点：V₀；
- 汇点：V₈；
- 关键路径：(V₀, V₁, V₄, V₆, V₈) 或 (V₀, V₁, V₄, V₇, V₈)；
- 关键活动：(a₁, a₄, a₇, a₁₀) 或 (a₁, a₄, a₈, a₁₁)。（所谓关键活动，只要其中的某项活动能够缩短一天，则整个工程也能缩短一天）
为了找到关键路径，就需要4个能够进行描述的量：
由上可知：对于关键活动aₓ，必定存在 e(x) = l(x) 。把这个结论反过来，将每一个e(x) = l(x)的活动aₓ找出来，就可以形成关键路径。因此，现在的问题就转换为求出上述四个量的问题：
逆拓扑排序可以通过反向查找数组topo实现。
【参考代码】
int ve[MVNum] = { 0 }; //事件的最早发生时间
int vl[MVNum] = { 0 }; //事件的最迟发生时间
Status CriticalPath(ALGraph G)
{int topo[MVNum] = { 0 };if (!TopologicalSort(G, topo)) //存在有向环return false;int n = G.vexnum;for (int i = 0; i < n; i++)ve[i] = 0; //设定最早发生时间的初值//---求最早发生时间---for (int i = 0; i < n; i++){int k = topo[i]; //取得拓扑排序中的顶点序号ArcNode* p = G.vertices[k].firstarc; //p指向k的第一个邻接顶点while (p != NULL) //更新k的所有邻接顶点的最早发生时间{int j = p->adjvex; //取得邻接顶点的序号if (ve[j] < ve[k] + p->info) //更新顶点j的最早发生时间ve[j] = ve[k] + p->info;p = p->nextarc; //p指向k的下一个邻接顶点}}for (int i = 0; i < n; i++) //设定最迟发生时间的初值vl[i] = ve[n - 1];//---求最迟发生时间---for (int i = n - 1; i >= 0; i--){int k = topo[i]; //取得逆拓扑序列中的顶点序号ArcNode* p = G.vertices[k].firstarc;while (p != NULL){int j = p->adjvex;if (vl[k] > vl[j] - p->info) //更新顶点k的最迟发生时间vl[k] = vl[j] - p->info;p = p->nextarc;}}//---判断每一活动是否是关键活动---for (int i = 0; i < n; i++){ArcNode* p = G.vertices[i].firstarc; //p指向i的第一个邻接顶点while (p != NULL){int j = p->adjvex; //取得邻接顶点的序号int e = ve[i]; //取得活动<vi, vj>的最早开始时间int l = vl[j] - p->info; //计算活动<vi, vj>的最迟开始时间if (e == l) //若为关键活动，输出cout << G.vertices[i].data << G.vertices[j].data << endl;p = p->nextarc;}}
}【算法分析】
为了求出ve(i)、ve(i)、e 和 l这四个量，就需要遍历每个顶点和每个顶点边表中的所有边结点进行查找，因此，求关键路径的时间复杂度为O(n + e)。
若一个工程有不止一条关键路径，仅仅提高其中一条关键路径上关键活动的速度，是不足以缩短整个工程的工期的。
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