文章目录

矩阵的初等变换
- 一、初等变换
- - 1. 初等变换的定义
  - 2. 行最简形矩阵的定义
- 二、矩阵等价
- - 1. 矩阵等价的定义
  - 2. 矩阵等价的性质
  - 3. 矩阵等价的定理
- 三、初等矩阵
- - 1. 初等矩阵的定义
  - 2. 三种初等矩阵
  - 3. 初等矩阵的性质
矩阵的秩
- 一、kkk阶子式的定义
- 二、矩阵的秩的定义
- 三、矩阵秩的性质
线性方程组的解
- 一、线性方程组的定义
- 二、步骤

矩阵的初等变换

一、初等变换

1. 初等变换的定义

下面三种变换称为矩阵的初等行变换

对调两行（对调i,ji,ji,j两行，记作ri↔rjr_{i}\leftrightarrow r_jri↔rj
以数(k≠0)(k\ne0)(k=0)乘某一行中的所有元素（第iii行乘kkk，记作ri×kr_{i}\times kri×k）
把某一行所有元素的kkk倍加到另一行对应的元素上去（第jjj行的kkk倍加到第iii行，记作ri+krjr_{i}+kr_{j}ri+krj）

把定义中的“行”换成“列”，即得矩阵的初等列变换的定义（所用记号是把“rrr“换成”ccc“）。矩阵的初等行变换与初等列变换，统称初等变换

2. 行最简形矩阵的定义

非零行的第一个非零元为111，且这些非零元所在的列的其他元素都为000

例如：(1002010300100000)\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}⎝⎛1000010000102300⎠⎞

非零行的第一个非零元为111：第一、二、三行的第一个非零元都是111
且这些非零元所在的列的其他元素都为000：如第二行的第一个非零元，即111，其所在的列其他元素都为000

二、矩阵等价

1. 矩阵等价的定义

如果矩阵AAA经过有限次初等行变换变成矩阵BBB，就称矩阵AAA与矩阵BBB行等价，记作A∼rBA\overset{r}{\sim} BA∼rB；如果矩阵A经过有限次初等列变换变成矩阵BBB，就称矩阵AAA与矩阵BBB列等价，记作A∼cBA\overset{c}{\sim} BA∼cB；如果A经过有限次初等变换变成矩阵BBB，就称矩阵AAA与矩阵BBB等价，记作A∼BA \sim BA∼B。（A,BA,BA,B是同型矩阵）

2. 矩阵等价的性质

矩阵之间的等价关系具有以下性质

反身性：A∼AA\sim AA∼A
对称性：若A∼BA\sim BA∼B，则B∼AB\sim AB∼A
传递性：若A∼B,B∼CA\sim B,B\sim CA∼B,B∼C，则A∼CA\sim CA∼C

3. 矩阵等价的定理

设AAA与BBB为m×nm\times nm×n矩阵，那么：

A∼rBA\overset{r}{\sim} BA∼rB的充分必要条件是存在mmm阶可逆矩阵PPP，使PA=BPA=BPA=B
A∼cBA\overset{c}{\sim} BA∼cB的充分必要条件是存在nnn阶可逆矩阵QQQ，使AQ=BAQ=BAQ=B
A∼BA\sim BA∼B的充分必要条件是存在mmm阶可逆矩阵及nnn阶可逆矩阵QQQ，使PAQ=BPAQ=BPAQ=B

三、初等矩阵

1. 初等矩阵的定义

由单位阵EEE经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵

2. 三种初等矩阵

把单位阵中的第i,ji,ji,j两行（或第i,ji,ji,j两列）对调，得初等矩阵
以数k≠0k\ne0k=0乘单位阵的第iii行（或第iii列），得初等矩阵
以kkk乘EEE的第jjj行加到第iii行上或以kkk乘EEE的第iii列加到第jjj列上，得初等矩阵

3. 初等矩阵的性质

设AAA是一个m×nm\times nm×n矩阵，对AAA施行一次初等行变换，相当于在AAA的左边乘以相应的mmm阶初等矩阵；对AAA施行一次初等列变换，相当于在AAA的右边乘以相应的nnn阶初等矩阵
方阵AAA可逆的充分必要条件是，存在有限个初等矩阵P1,P2,⋯,PlP_{1},P_{2},\cdots,P_{l}P1,P2,⋯,Pl，使A=P1P2⋯PlA=P_{1}P_{2}\cdots P_{l}A=P1P2⋯Pl

例1：设A=(0−2130−2−230)A=\begin{pmatrix}0 & -2 & 1 \\ 3 & 0 & -2 \\ -2 & 3 & 0\end{pmatrix}A=⎝⎛03−2−2031−20⎠⎞，证明AAA可逆，并求A−1A^{-1}A−1
思路：构建矩阵(A∣E)(A|E)(A∣E)，将AAA的部分通过初等行变换变成EEE，同时EEE变成A−1A^{-1}A−1
(A∣E)=(0−2110030−2010−230001)E的部分变成上三角矩阵→(30−20100−21100001946)将非主对角线上的数变成0(300189120−20−8−4−6001946)主对角线上的值变为1(100634010423001946)=(E∣A−1)\begin{aligned}(A|E)&=\begin{pmatrix}0 & -2 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 0 & -2 & 0 & 1 & 0 \\ -2 & 3 & 0 & 0 & 0 & 1\end{pmatrix}\\&E \text{的部分变成上三角矩阵}\\&\rightarrow \begin{pmatrix}3 & 0 & -2 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -2 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 9 & 4 & 6\end{pmatrix}\\&\text{将非主对角线上的数变成}0\\ &\begin{pmatrix}3 & 0 & 0 & 18 & 9 & 12 \\ 0 & -2 & 0 & -8 & -4 & -6 \\ 0 & 0 & 1 & 9 & 4 & 6\end{pmatrix}\\&\text{主对角线上的值变为}1\\&\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 6 & 3 & 4 \\ 0 & 1 & 0 & 4 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 9 & 4 & 6\end{pmatrix}\\&=(E|A^{-1})\end{aligned}(A∣E)=⎝⎛03−2−2031−20100010001⎠⎞E的部分变成上三角矩阵→⎝⎛3000−20−211019104006⎠⎞将非主对角线上的数变成0⎝⎛3000−2000118−899−4412−66⎠⎞主对角线上的值变为1⎝⎛100010001649324436⎠⎞=(E∣A−1)
故A−1=(634423946)A^{-1}=\begin{pmatrix}6 & 3 & 4 \\ 4 & 2 & 3 \\ 9 & 4 & 6\end{pmatrix}A−1=⎝⎛649324436⎠⎞

矩阵的秩

一、kkk阶子式的定义

在m×nm\times nm×n矩阵AAA中，任取kkk行与kkk列（k≤m,k≤nk\leq m,k\leq nk≤m,k≤n），位于这些行列交叉处的k2k^2k2个元素，不改变它们在AAA中所处的位置次序而得的kkk阶行列式，称为矩阵AAA的kkk阶子式

二、矩阵的秩的定义

设在矩阵AAA中有一个不等于000的rrr阶子式DDD，且所有r+1r+1r+1阶子式（如果存在的话）全等于000，那么DDD称为矩阵AAA的最高阶非零子式，数rrr称为矩阵AAA的秩，记作R(A)R(A)R(A)（也可写作r(A)r(A)r(A)）。并规定零矩阵的秩等于000

三、矩阵秩的性质

0≤R(Am×n)≤min⁡{m,n}0\leq R(A_{m\times n})\leq\min\{m,n\}0≤R(Am×n)≤min{m,n}
R(AT)=R(A)R(A^{T})=R(A)R(AT)=R(A)
R(AB)≤min⁡{R(A),R(B)}R(AB)\leq\min\{R(A),R(B)\}R(AB)≤min{R(A),R(B)}
若P,QP,QP,Q可逆，则R(PAQ)=R(A)R(PAQ)=R(A)R(PAQ)=R(A)
证明：
r(PAQ)≤r(AQ)r(PAQ)\leq r(AQ)r(PAQ)≤r(AQ)
r(AQ)=r(EAQ)=r(P−1PAQ)≤r(PAQ)r(AQ)=r(EAQ)=r(P^{-1}PAQ)\leq r(PAQ)r(AQ)=r(EAQ)=r(P−1PAQ)≤r(PAQ)
∴r(PAQ)=r(AQ)\therefore r(PAQ)=r(AQ)∴r(PAQ)=r(AQ)
r(AQ)≤r(A)r(AQ)\leq r(A)r(AQ)≤r(A)
r(A)=r(AE)=r(AQQ−1)≤r(AQ)r(A)=r(AE)=r(AQQ^{-1})\leq r(AQ)r(A)=r(AE)=r(AQQ−1)≤r(AQ)
∴r(A)=r(AQ)=r(PAQ)\therefore r(A)=r(AQ)=r(PAQ)∴r(A)=r(AQ)=r(PAQ)
max⁡{R(A),R(B)}≤R(A,B)≤R(A)+R(B)\max\{R(A),R(B)\}\leq R(A,B)\leq R(A)+R(B)max{R(A),R(B)}≤R(A,B)≤R(A)+R(B)，特别的，当B=bB=bB=b为非零向量时，有R(A)≤R(A,b)≤R(A)+1R(A)\leq R(A,b)\leq R(A)+1R(A)≤R(A,b)≤R(A)+1
R(A+B)≤R(A)+R(B)R(A+B)\leq R(A)+R(B)R(A+B)≤R(A)+R(B)
若A∼BA\sim BA∼B，则R(A)=R(B)R(A)=R(B)R(A)=R(B)
若Am×nBn×l=OA_{m\times n}B_{n\times l}=OAm×nBn×l=O，则R(A)+R(B)≤nR(A)+R(B)\leq nR(A)+R(B)≤n

求矩阵的秩，可以用定义求，建议将矩阵化为阶梯形矩阵，阶梯形矩阵的秩为行列式的行值

例1：设A=(1−22−12−480−24−23−1−60−6),b=(1234)A=\begin{pmatrix}1 & -2 & 2 & -1 \\ 2 & -4 & 8 & 0 \\ -2 & 4 & -2 & 3 \\ -1 & -6 & 0 & -6\end{pmatrix},b=\begin{pmatrix}1 \\ 2 \\ 3 \\ 4\end{pmatrix}A=⎝⎛12−2−1−2−44−628−20−103−6⎠⎞,b=⎝⎛1234⎠⎞，求矩阵AAA及矩阵B=(A,b)B=(A,b)B=(A,b)的秩
B=[A∣b]=(1−22−112−4802−24−233−1−60−64)→(1−22−1100420002150−82−75)→(1−22−110−82−750021500420)→(1−22−110−82−750021500001)\begin{aligned}B=[A|b]&=\begin{pmatrix}1 & -2 & 2 & -1 & 1 \\ 2 & -4 & 8 & 0 & 2 \\ -2 & 4 & -2 & 3 & 3 \\ -1 & -6 & 0 & -6 & 4\end{pmatrix}\\&\rightarrow \begin{pmatrix}1 & -2 & 2 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 4 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 1 & 5 \\ 0 & -8 & 2 & -7 & 5\end{pmatrix}\\&\rightarrow \begin{pmatrix}1 & -2 & 2 & -1 & 1 \\ 0 & -8 & 2 & -7 & 5 \\ 0 & 0 & 2 & 1 & 5 \\ 0 & 0 & 4 & 2 & 0\end{pmatrix}\\&\rightarrow \begin{pmatrix}1 & -2 & 2 & -1 & 1 \\ 0 & -8 & 2 & -7 & 5 \\ 0 & 0 & 2 & 1 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1\end{pmatrix}\end{aligned}B=[A∣b]=⎝⎛12−2−1−2−44−628−20−103−61234⎠⎞→⎝⎛1000−200−82422−121−71055⎠⎞→⎝⎛1000−2−8002224−1−7121550⎠⎞→⎝⎛1000−2−8002220−1−7101551⎠⎞
∴r(A)=3,r(B)=4\therefore r(A)=3,r(B)=4∴r(A)=3,r(B)=4

线性方程组的解

一、线性方程组的定义

设有nnn个未知数mmm个方程的线性方程组{a11x1+a12x2+⋯+a1nxn=b1a21x1+a22x2+⋯+a2nxn=b2⋯am1x1+am2x2+⋯+amnxn=bm\begin{cases}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots+a_{1n}x_{n}=b_{1}\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots+a_{2n}x_{n}=b_{2}\\\cdots\\a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots+a_{mn}x_{n}=b_{m}\end{cases}⎩⎨⎧a11x1+a12x2+⋯+a1nxn=b1a21x1+a22x2+⋯+a2nxn=b2⋯am1x1+am2x2+⋯+amnxn=bm，可以写成以向量xxx为未知元的向量方程Ax=bAx=bAx=b，则nnn元线性方程Ax=bAx=bAx=b

无解的充分必要条件是R(A)<R(A,b)R(A)<R(A,b)R(A)<R(A,b)
有唯一解得充分必要条件是R(A)=R(A,b)=nR(A)=R(A,b)=nR(A)=R(A,b)=n
有无限多解得充分必要条件是R(A)=R(A,b)<nR(A)=R(A,b)<nR(A)=R(A,b)<n

nnn是未知数的个数，也是系数矩阵AAA的列数

二、步骤

对[A∣b][A|b][A∣b]进行初等行变换，化为行最简形
令自由未知量分别取111，其余取000，得到非自由未知量的值。得到基础解系(n−r(A))(n-r(A))(n−r(A))，即齐次方程通解k1ξ1+⋯+kn−rξn−rk_{1}\xi_{1}+\cdots+k_{n-r}\xi_{n-r}k1ξ1+⋯+kn−rξn−r
令自由未知量取000，得到非自由未知量，即特解η\etaη，故非齐次方程通解y+k1η1+⋯+kn−rηn−ry+k_{1}\eta_1+\cdots+k_{n-r}\eta_{n-r}y+k1η1+⋯+kn−rηn−r

首先要先判断有没有解！
齐次方程组没有第三步。做了也是OOO矩阵

例1：求其次线性方程组{x1+2x2+2x3+x4=02x1+x2−2x3−2x4x1−x2−4x3−3x4\begin{cases}x_{1}+2x_{2}+2x_{3}+x_{4}=0\\2x_{1}+x_{2}-2x_{3}-2x_{4}\\x_{1}-x_{2}-4x_{3}-3x_{4}\end{cases}⎩⎨⎧x1+2x2+2x3+x4=02x1+x2−2x3−2x4x1−x2−4x3−3x4
A=(122121−2−21−1−4−3)→(10−2−53012430000)\begin{aligned}A&=\begin{pmatrix}1 & 2 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & -2 & -2 \\ 1 & -1 & -4 & -3\end{pmatrix}\\&\rightarrow \begin{pmatrix}1 & 0 & -2 & -\frac{5}{3} \\ 0 & 1 & 2 & \frac{4}{3} \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}\end{aligned}A=⎝⎛12121−12−2−41−2−3⎠⎞→⎝⎛100010−220−35340⎠⎞
n−r=4−2=2n-r=4-2=2n−r=4−2=2
（此处根据令自由未知量分别取111，其余取000，得到非自由未知量的值。得到基础解系(n−r(A))(n-r(A))(n−r(A))，即齐次方程通解k1ξ1+⋯+kn−rξn−rk_{1}\xi_{1}+\cdots+k_{n-r}\xi_{n-r}k1ξ1+⋯+kn−rξn−r一步一步演示）
先设ξ1=(10),ξ2=(01)\xi_{1}=\begin{pmatrix}\\\\1 \\ 0\end{pmatrix},\xi_{2}=\begin{pmatrix} \\ \\ 0 \\ 1\end{pmatrix}ξ1=⎝⎛10⎠⎞,ξ2=⎝⎛01⎠⎞
（注意，无论是非齐次还是齐次线性方程组，此处都不需要使用增广矩阵，只使用系数矩阵AAA）
将ξ1=(10)\xi_{1}=\begin{pmatrix}\\\\1 \\ 0\end{pmatrix}ξ1=⎝⎛10⎠⎞分别代入矩阵
第一行得x1x_{1}x1的系数为222
第二行得x2x_{2}x2的系数为−2-2−2
则ξ1=(2−210)\xi_{1}=\begin{pmatrix}2 \\ -2 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix}ξ1=⎝⎛2−210⎠⎞
同理ξ2=(−53−4301)\xi_{2}=\begin{pmatrix}- \frac{5}{3} \\ - \frac{4}{3} \\ 0 \\ 1\end{pmatrix}ξ2=⎝⎛−35−3401⎠⎞
（齐次线性方程组没有最后一步）
故通解为x=(x1x2x3x4)=k1ξ1+k2ξ2=k1(2−210)+k2(53−4301)(k1,k2x=\begin{pmatrix}x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4\end{pmatrix}=k_{1} \xi_{1}+k_{2}\xi_{2}=k_{1}\begin{pmatrix}2 \\ -2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}+k_{2}\begin{pmatrix} \frac{5}{3} \\ - \frac{4}{3} \\ 0 \\ 1\end{pmatrix}\quad(k_1,k_2x=⎝⎛x1x2x3x4⎠⎞=k1ξ1+k2ξ2=k1⎝⎛2−210⎠⎞+k2⎝⎛35−3401⎠⎞(k1,k2为任意常数)))

例2：设有线性方程组{(1+λ)x1+x2+x3=0x1+(1+λ)x2+x3=3x1+x2+(1+λ)x3=λ\begin{cases}(1+\lambda)x_{1}+x_{2}+x_{3}=0\\x_{1}+(1+\lambda)x_{2}+x_{3}=3\\x_{1}+x_{2}+(1+\lambda)x_{3}=\lambda\end{cases}⎩⎨⎧(1+λ)x1+x2+x3=0x1+(1+λ)x2+x3=3x1+x2+(1+λ)x3=λ，讨论方程组解的情况，并求无限解时的通解
法1：
(A∣b)=(111+xλ0λ−λ3−λ00−λ(3+λ)(1−λ)(3+λ))\begin{aligned}(A|b)&=\begin{pmatrix}1 & 1 & 1+x & \lambda \\ 0 & \lambda & -\lambda & 3-\lambda \\ 0 & 0 & -\lambda(3+\lambda) & (1-\lambda)(3+\lambda)\end{pmatrix}\end{aligned}(A∣b)=⎝⎛1001λ01+x−λ−λ(3+λ)λ3−λ(1−λ)(3+λ)⎠⎞

当λ≠0\lambda\ne0λ=0且λ≠−3\lambda\ne-3λ=−3时，r(A)=3=r(A∣b)=3r(A)=3=r(A|b)=3r(A)=3=r(A∣b)=3，有唯一解
当λ=0\lambda=0λ=0时，r(A)=1≠r(A∣b)=2r(A)=1\ne r(A|b)=2r(A)=1=r(A∣b)=2，无解
当λ=−3\lambda=-3λ=−3时，r(A)=r(A∣b)=2<3r(A)=r(A|b)=2<3r(A)=r(A∣b)=2<3，无限多解

当λ=−3\lambda=-3λ=−3时
(A∣b)=(10−1−101−1−20000)(A|b)=\begin{pmatrix}1 & 0 & -1 & -1 \\ 0 & 1 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}(A∣b)=⎝⎛100010−1−10−1−20⎠⎞
n−r=3−2=1n-r=3-2=1n−r=3−2=1
∴ξ=(111),y=(−1−20)\therefore \xi=\begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix},y=\begin{pmatrix}-1 \\ -2 \\ 0\end{pmatrix}∴ξ=⎝⎛111⎠⎞,y=⎝⎛−1−20⎠⎞
∴\therefore∴通解为y+kξ(ky+k\xi\quad(ky+kξ(k为任意常数)))

法2：
观察到系数矩阵AAA为方阵
有唯一解即r(A)=r(A∣b)=3⇔∣A∣≠0r(A)=r(A|b)=3 \Leftrightarrow|A|\ne0r(A)=r(A∣b)=3⇔∣A∣=0
有无限多解r(A)=r(A∣b)<3⇔∣A∣=0r(A)=r(A|b)<3\Leftrightarrow|A|=0r(A)=r(A∣b)<3⇔∣A∣=0
∣A∣=∣1+λ1111+λ1111+λ∣=(3+λ)λ2=0|A|=\begin{vmatrix}1+\lambda&1&1\\1&1+\lambda&1\\1&1&1+\lambda\end{vmatrix}=(3+\lambda)\lambda^2=0∣A∣=∣∣1+λ1111+λ1111+λ∣∣=(3+λ)λ2=0
解得λ=−3\lambda=-3λ=−3或λ=0\lambda=0λ=0
（此处只能得到唯一解得解集，其余的需要代入讨论）

当λ≠0\lambda\ne0λ=0且λ≠−3\lambda\ne-3λ=−3时，r(A)=3=r(A∣b)=3r(A)=3=r(A|b)=3r(A)=3=r(A∣b)=3，有唯一解
当λ=0\lambda=0λ=0时
(A∣b)=(111011131110)=(111000020000)(A|b)=\begin{pmatrix}1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 3 \\ 1 & 1 & 1 & 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}(A∣b)=⎝⎛111111111030⎠⎞=⎝⎛100100100020⎠⎞
r(A)≠r(A∣b)r(A)\ne r(A|b)r(A)=r(A∣b)无解
当λ=−3\lambda=-3λ=−3时
(A∣b)=(−21101−21−311−2−3)→(10−1−101−1−20000)(A|b)=\begin{pmatrix}-2 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & -3 \\ 1 & 1 & -2 & -3\end{pmatrix}\rightarrow \begin{pmatrix}1 & 0 & -1 & -1 \\ 0 & 1 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}(A∣b)=⎝⎛−2111−2111−20−3−3⎠⎞→⎝⎛100010−1−10−1−20⎠⎞
n−r=3−2=1n-r=3-2=1n−r=3−2=1
ξ=(111),y=(−1−20)\xi=\begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix},y=\begin{pmatrix}-1 \\ -2 \\ 0\end{pmatrix}ξ=⎝⎛111⎠⎞,y=⎝⎛−1−20⎠⎞
∴\therefore∴通解为y+kξ(ky+k\xi\quad(ky+kξ(k为任意常数)))

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第三节线性方程组的解一. 数学概念根据矩阵的乘法,可以将线性方程组写成矩阵形式. 1. n元齐次线性方程组 : 2. n元非齐次线性方程组 : 3. 称A为方程组的系数矩阵,B=(A,b)为 ...

【线性代数】矩阵的初等变换与线性方程组