正题

题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/CF961G

题目大意

nnn个物品分成kkk个组，每个物品权值为wiw_iwi。一个子集SSS的权值为∣S∣∑x∈Swx|S|\sum_{x\in S}w_x∣S∣∑x∈Swx。

求所有划分方法的权值和。

解题思路

考虑对于每个数wiw_iwi的贡献，可以看为同一集合内每一个数都对其进行过贡献。wiw_iwi对自身的贡献为{nk}\begin{Bmatrix}n\\k\end{Bmatrix}{nk}（也就是每一种划分方案都是）。对于j≠ij\neq ij=i的贡献，我们将wiw_iwi和wjw_jwj绑定在一个组中，方案数就是{n−1k}\begin{Bmatrix}n-1\\k\end{Bmatrix}{n−1k}。也就是对于每一个会被计算{nk}+(n−1){n−1k}\begin{Bmatrix}n\\k\end{Bmatrix}+(n-1)\begin{Bmatrix}n-1\\k\end{Bmatrix}{nk}+(n−1){n−1k}

考虑用斯特林数的通项计算（先是通项的推导）。
定义f(x)=xn,g(x)={nx}x!f(x)=x^n,g(x)=\begin{Bmatrix}n\\x\end{Bmatrix}x!f(x)=xn,g(x)={nx}x!
那么有f(x)=xn=∑k=0x(xk){nk}k!=∑k=0x(xk)g(k)f(x)=x^n=\sum_{k=0}^x\binom{x}{k}\begin{Bmatrix}n\\k\\\end{Bmatrix}k!=\sum_{k=0}^x\binom{x}{k}g(k)f(x)=xn=k=0∑x(kx){nk}k!=k=0∑x(kx)g(k)
根据二项式反演有g(k)=∑i=1k(−1)k−i(ni)f(i)g(k)=\sum_{i=1}^k(-1)^{k-i}\binom{n}{i}f(i)g(k)=i=1∑k(−1)k−i(in)f(i)
也就是{nk}k!=∑i=1k(−1)k−i(ni)ik\begin{Bmatrix}n\\k\end{Bmatrix}k!=\sum_{i=1}^k(-1)^{k-i}\binom{n}{i}i^k{nk}k!=i=1∑k(−1)k−i(in)ik
化简得{nm}=1m!∑k=0m(−1)k(mk)(m−k)n\begin{Bmatrix}n\\m\end{Bmatrix}=\frac{1}{m!}\sum_{k=0}^m(-1)^{k}\binom{m}{k}(m-k)^n{nm}=m!1k=0∑m(−1)k(km)(m−k)n

然后计算即可。

codecodecode

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const ll XJQ=1e9+7,N=2e5+10;
ll n,m,ans,inv[N],fac[N];
ll power(ll x,ll b){ll ans=1;while(b){if(b&1)ans=ans*x%XJQ;x=x*x%XJQ;b>>=1;}return ans;
}
void init(){fac[0]=inv[0]=1;for(ll i=1;i<=m;i++){inv[i]=inv[i-1]*power(i,XJQ-2)%XJQ;fac[i]=fac[i-1]*i%XJQ;}
}
ll C(ll n,ll m)
{return fac[n]*inv[n-m]%XJQ*inv[m]%XJQ;}
ll S(ll n,ll m){ll ans=0,z=-1;for(ll i=0;i<=m;i++)z*=-1,(ans+=z*C(m,i)*power(m-i,n)%XJQ)%=XJQ;ans=ans*inv[m]%XJQ;return (ans+XJQ)%XJQ;
}
int main()
{scanf("%lld%lld",&n,&m);init();ll k1=S(n,m),k2=S(n-1,m)*(n-1)%XJQ;for(ll i=1;i<=n;i++){ll x;scanf("%lld",&x);(ans+=x*(k1+k2)%XJQ)%=XJQ;}printf("%lld",ans);
}

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