Prufer序列生成树定理

Description

在图论中，树的定义是连通且无环的无向图。对于一棵有 nn 个节点且节点从 11 到 nn 编号的树，它的 Prufer 序列是一个唯一的长为 n−2n−2 的标号序列。 Prufer 序列的构造方法：每次删除树中标号最小的叶子节点（即度为 11 的节点），将该点的邻居加到当前 Prufer 序列的末尾，直到只剩两个节点为止。

例子：

给定一个 nn 个顶点（从 11 到 nn 标号）， mm 条边的无向图 GG（GG 中无重边或自环）。随机选择 GG 的一棵生成树，计算他的 Prufer 序列的和 SS，重复元素只算一次。请计算随机变量 SS 的期望。注意，GG 的生成树或某棵生成树的 Prufer 序列都可能不存在，这种情况下，我们认为随机变量 SS 的值为 00。

为了避免精度问题，算出实际的期望值乘以图 GG 的不同生成树的数目以后的值即可。这个值可能很大，请输出它对 109+7109+7 取模以后的值。

Input

每个输入文件包含多组测试数据。输入文件的第一行是测试数据组数 TT (T≤10T≤10)。对于每组测试数据，第一行是两个整数 n,mn,m (3≤n≤100,0≤m≤(n−1)n23≤n≤100,0≤m≤(n−1)n2 ），分别是图的点数和边数；接下来 mm 行，每行包含两个整数 u,vu,v（1≤u,v≤n1≤u,v≤n，u≠vu≠v），表示图中的一条边。

Output

输出 TT 行，每行是对应的答案。

Sample Input

Sample Output

题目大意：求所有生成树的prufer序列和（prufer中有重复序列的只算一次！！！）

题解：

这样的话，对于每一颗生成树，我们可以把所有的点全都加进去，然后再减去叶子结点的和。

我们不可能找到所有的生成树然后一个一个的计算，因此我们用矩阵树定理来做。

我们先计算图所有的点的和，并且乘以生成树的数量，把他们放在sum里。然后再把所有的叶子结点减去，就好了

如果一个叶子节点出现在一颗子树里，那么把这个点去掉，仍然可一得到图的该生成树，而如果这个点是内部节点就不行了。

注意：如果这个叶子节点的度不为1，那么要用这个叶子节点的度数乘以生成树的数量，才是这个叶子节点对应生成树的个数。

sum -= 去掉该节点生成树的数量*该节点的度*该节点的值。

最后得到的sum就是答案

代码：

#include<iostream>。
#include<cmath>
#include <cstring>
using namespace std;
#define zero(x)((x>0? x:-x)<1e-15)
#define int long long
int const MAXN = 105;
const int mod = 1e9 + 7;
int a[MAXN][MAXN];
int b[MAXN][MAXN];
int g[103][103];
int d[105];
int n, m;
int det(int a[MAXN][MAXN], int n){ int s=0;for(int i=0; i<n; i++){ int r=i; for(; r<n; r++)    // error-prone if(a[r][i]) break; if(r==n+1) return 0; if(r!=i){ s^=1; for(int j=i; j<n; j++) swap(a[i][j], a[r][j]); } for(int j=i+1; j<n; j++){ int x=i, y=j; for(; a[y][i]; ){ // print(a, n); int t=a[y][i]/a[x][i]; if(t){ for(int k=i; k<n; k++){ a[y][k] -= t*a[x][k]%mod; a[y][k] %= mod; } if(a[y][i]==0) break; } swap(x, y); } if(x!=i){ for(int k=i; k<n; ++k) swap(a[x][k], a[y][k]); s ^= 1; } } } int res=1; for(int i=0; i<n; i++) res*=a[i][i], res%=mod; if(s){ res=-res; }if(res < 0) res+=mod; return res;
} void prep(int n,int x)
{for(int i = 0;i < n;i++){for(int j = 0;j < n;j++){a[i][j] = (i == j)?d[i]-g[i][x]:-g[i][j];}}if(x + 1){for(int i = 0;i < n;i++) a[x][i] = a[i][x] = 0;a[x][x] = 1;}
}main()
{   int cas;scanf("%lld", &cas);while (cas--) {memset(g,0,sizeof(g));memset(d,0,sizeof(d));memset(a,0,sizeof(a));memset(b,0,sizeof(b));scanf("%lld%lld", &n,&m);for(int i = 0;i < m;i++){int u,v;scanf("%lld%lld",&u,&v);u--,v--;d[u]++;d[v]++;g[u][v] = g[v][u] = 1;}prep(n,-1);int sum = det(a,n-1)*((1+n)*n/2) % mod;for(int i = 0;i < n-1;i++){prep(n,i);sum = (sum - (i+1)*d[i] % mod * det(a,n-1) % mod + mod)%mod;//cout<<':'<<sum<<endl;}prep(n,n-1);sum = (sum - n*d[n-1] % mod * det(a,n-2) % mod + mod)%mod;cout<<sum<<endl;}return 0;
}