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[Usaco2011 Jan]道路和航线

Time Limit: 10 Sec Memory Limit: 259 MB
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Description

Farmer John正在一个新的销售区域对他的牛奶销售方案进行调查。他想把牛奶送到T个城镇 (\(1 <= T <= 25,000\))，编号为\(1\)~\(T\)。这些城镇之间通过\(R\)条道路 (\(1 <= R <= 50,000\)，编号为\(1\)到\(R\)) 和\(P\)条航线 (\(1 <= P <= 50,000\)，编号为\(1\)到\(P\)) 连接。每条道路i或者航线i连接城镇\(A_i\) (\(1 <= A_i <= T\))到\(B_i\) (\(1 <= B_i <= T\))，花费为\(C_i\)。对于道路，\(0 <= C_i <= 10,000\);然而航线的花费很神奇，花费\(C_i\)可能是负数(\(-10,000 <= C_i <= 10,000\))。道路是双向的，可以从\(A_i\)到\(B_i\)，也可以从\(B_i\)到\(A_i\)，花费都是\(C_i\)。然而航线与之不同，只可以从\(A_i\)到\(B_i\)。事实上，由于最近恐怖主义太嚣张，为了社会和谐，出台 了一些政策保证：如果有一条航线可以从\(A_i\)到\(B_i\)，那么保证不可能通过一些道路和航线从\(B_i\)回到\(A_i\)。由于FJ的奶牛世界公认十分给力，他需要运送奶牛到每一个城镇。他想找到从发送中心城镇\(S\)(\(1 <= S <= T\)) 把奶牛送到每个城镇的最便宜的方案，或者知道这是不可能的。

Input

第\(1\)行：四个空格隔开的整数: \(T\), \(R\), \(P\), and \(S\)
第\(2到R+1\)行：三个空格隔开的整数（表示一条道路）：\(A_i\), \(B_i\) 和 \(C_i\)
第\(R+2到R+P+1\)行：三个空格隔开的整数（表示一条航线）：\(A_i\), \(B_i\) 和 \(C_i\)

Output

第\(1到T\)行：从\(S\)到达城镇\(i\)的最小花费，如果不存在输出"NO PATH"。

Sample Input

6 3 3 4
1 2 5
3 4 5
5 6 10
3 5 -100
4 6 -100
1 3 -10

样例输入解释：

一共六个城镇。在\(1-2，3-4，5-6\)之间有道路，花费分别是\(5，5，10\)。同时有三条航线：\(3\)->\(5\)，
\(4\)->\(6\)和\(1\)->\(3\)，花费分别是-\(100\)，-\(100\)，-\(10\)。\(FJ\)的中心城镇在城镇\(4\)。

Sample Output

NO PATH
NO PATH
5
0
-95
-100

样例输出解释：

\(FJ\)的奶牛从\(4\)号城镇开始，可以通过道路到达\(3\)号城镇。然后他们会通过航线达到\(5\)和\(6\)号城镇。
但是不可能到达\(1\)和\(2\)号城镇。

分析

法\(1\)：Dijkstra+Topsort

本题是一道明显的单源最短路问题，但图中带有负权边，不能使用Dijkstra算法。若直接用SPFA算法求解，因为测试数据经过了特殊构造，所以程序无法在规定时限内输出答案。题目中有一个特殊条件——双向边都是非负的，只有单向边可能是负的，并且单向边不构成环。我们应该利用这个性质来解答本题。
如果只把双向边（道路）添加到图里，那么会形成若干个连通块。若把每个连通块整体看作一个“点”,再把单向边（航线）添加到图里，会得到一张有向无环图。在有向无环图中，无论边权正负，都可以按照拓扑排序进行扫描，在线性时间内求出单源最短路。这启发我们用拓扑排序的框架处理整个图，但在双向边构成的每个连通块内部使用堆优化的Dijkstra算法快速计算该块内的最短路信息
这样就可以在块内使用Dijkstra，块间利用拓扑排序更新答案。时间复杂度\(O(MlogN)\)。

法\(2\)：SPFA+SLF

顺便加上了一些卡常的奇技淫巧，最慢的点为732ms，如果不了解SLF优化的可以看我的另外一篇博客->戳我

代码

法\(1\)：

#include<cstdio>
#include<cctype>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<queue>
#include<bits/stdc++.h>
#define rg register
using namespace std;
inline int read(){rg int f=0,x=0;rg char ch=getchar();while(!isdigit(ch)) f|=(ch=='-'),ch=getchar();while(isdigit(ch))  x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48),ch=getchar();return f?-x:x;
}const int N =25010;
const int M =100010;
const int inf =0x7f7f7f7f;
#define ft first
#define sd second
int n,r,p,s,head[N],tot;
int cnt,belong[N];
int indeg[N],dis[N];
bool vis[N];
typedef pair<int ,int > pa;
vector <pa >road[N],plane[N];
vector <int >block[N];
inline void init(){for(rg int i=0;i<N;++i) dis[i]=inf;dis[s]=0;
}
inline void dfs(rg int u){belong[u]=cnt;block[cnt].push_back(u);for(int i=0;i<road[u].size();++i){int v=road[u][i].ft;if(!belong[v])  dfs(v);}
}
inline void topsort_dij(){init();queue<int > q;for(rg int i=1;i<=cnt;++i)  if(!indeg[i])   q.push(i);while(!q.empty()){int u=q.front();q.pop();priority_queue<pa,vector<pa>,greater<pa> > pq;for(int i=0;i<block[u].size();++i)if(dis[block[u][i]]!=inf)pq.push(make_pair(dis[block[u][i]],block[u][i]));while(!pq.empty()){int u=pq.top().sd;pq.pop();if(vis[u]) continue;vis[u]=true;for(int i=0;i<road[u].size();++i)if(dis[u]+road[u][i].sd<dis[road[u][i].ft])pq.push(make_pair(dis[road[u][i].ft]=dis[u]+road[u][i].sd,road[u][i].ft));for(int i=0;i<plane[u].size();++i)dis[plane[u][i].ft]=min(dis[plane[u][i].ft],dis[u]+plane[u][i].sd);}for(int i=0;i<block[u].size();++i)for(int j=0;j<plane[block[u][i]].size();++j)if(--indeg[belong[plane[block[u][i]][j].ft]]==0)q.push(belong[plane[block[u][i]][j].ft]);}
}
signed main(){n=read(),r=read(),p=read(),s=read();for(rg int i=1,u,v,w;i<=r;++i){u=read(),v=read(),w=read();road[u].push_back(make_pair(v,w));road[v].push_back(make_pair(u,w));}for(rg int i=1;i<=n;++i)if(!belong[i]){++cnt;dfs(i);}for(rg int i=1,u,v,w;i<=p;++i){u=read(),v=read(),w=read();plane[u].push_back(make_pair(v,w));++indeg[belong[v]];}topsort_dij(); for(rg int i=1;i<=n;++i)if(dis[i]==inf) printf("NO PATH\n");else    printf("%d\n",dis[i]);return 0;
}

法\(2\)：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cctype>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<queue>
#define rg register
using namespace std;
inline int read(){rg int f=0,x=0;rg char ch=getchar();while(!isdigit(ch)) f|=(ch=='-'),ch=getchar();while(isdigit(ch))  x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48),ch=getchar();return f?-x:x;
}const int N =25010;
const int M =150010;
const int inf =0x7f7f7f7f;
int n,r,p,s,head[N],tot,dis[N];
bool vis[N];
struct edge{int to,nxt,w;
}e[M];
inline void add(rg int u,rg int v,rg int w){e[++tot].to=v;e[tot].w=w;e[tot].nxt=head[u];head[u]=tot;
}
inline void spfa(rg int s){for(rg int i=1;i<=n;++i)    dis[i]=inf;dis[s]=0;deque<int > q;q.push_back(s);while(!q.empty()){int u=q.front();q.pop_front();vis[u]=false;for(rg int i=head[u];i;i=e[i].nxt){int v=e[i].to;if(dis[v]>dis[u]+e[i].w){dis[v]=dis[u]+e[i].w;if(!vis[v]){vis[v]=true;if(q.empty()||dis[v]>dis[q.front()])    q.push_back(v);else    q.push_front(v);}}}}}
signed main(){n=read(),r=read(),p=read(),s=read();for(rg int i=1;i<=r;++i){int u=read(),v=read(),w=read();add(u,v,w),add(v,u,w);}for(rg int i=1;i<=p;++i){int u=read(),v=read(),w=read();add(u,v,w);}spfa(s);for(rg int i=1;i<=n;++i)if(dis[i]==inf) printf("NO PATH\n");else    printf("%d\n",dis[i]);return 0;
}