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第lO卷 199O葺第1期 3月物理学进展 PROGRESSINPHYSICS VO1.10,No.1 March. 1990 计算机代数在量子力学和量子电动力学中的应用陈之江(南开大学费理系中日科学院理论曲理所客座) 提要本文通过作者具体工作的几个例子说明计算机代数在量子力学和量子电动力学中柏应用。它们是;①一维多项式幂敬势的计算为例说明升降葬符的}}算机代数处理方法· ②以因式分解法解三维谐振子径向方程为例说明解析递推关系和公式匹配的计机处理} @以特殊函数为例说明递归的使用方法,④ Compt。n数射和电予一电子散射为倒说明Y 矩阵和Feynman图的计算机代数处理方法。并臣最后讨论了在量子力学和量子电动力学中应用计算机代数的一些情况。什么是计算机代数盐篁扭连墼垦堂堂垃虫王盐蔓垫重量量量堡篁竺二里壁量亘:和数值计算不同, 这类语言的最主要用途是宅成符号的运算,即从公式到公式的解析运算。例如解析地微分,积分、代数多项式的各种运算、文字代数方程的解、符号矩阵和行列式的计算,不对易算符的运算等等。它的运算对象是符号,而不必赋给每个符号以具体的数值。在计算机代数语言中变量的值通常是指一个解析表达式。因此在科学技术,尤其是在物理学中需要作大量解析推导的工作,例如量子力学, 量子电动力学、量子场论、量子统计、广义相对论、数学物理等学科中繁重的大量的以往只是人脑手工进行的解析计算都可以交给计算机去完成。这是对高层次脑力劳动者的解放、将使人们把更多的精力放到创造性的开拓性的工作中去,大辐度地提高教学和科研中脑力劳动的效率。极而言之,凡是基本原理清楚,解法步骤明确、解的存在性有保证,但需要花费大量人脑手工推导的解析计算都可以借助计算机代数语言来完成。目前在世界上公认的比较好而且使用较多的计算机代数语言有REDUCE、 MACSYMA,SMP、<3CHOONSCHIP等,其中尤以REDUCE最通用,比较容易推广, 在中小型机和微机上都可以实现。目前计算机代数的功能通常包括:①多项式和有理函数的加、减、乘、除、幂等运算;②单变量和多变量多项式的整数域上的强式分解,@ 表述式的自动化简和可控化筒(人为干预下的他简);④矩阵和行列式的加、减、乘、转维普资讯 1期陈之江计算机代数在量子力学和量子电动力学中的应用 101 置,求逆、求迹等运算}⑤初等函数的形式微商(多元的高阶的导数)I⑥可积函数的不定积分,⑦各种形式的代换和公式匹配,如三角公式,递推公式的使用等,⑧非对易量的代数运算,如算符代数,⑨极高精度的数值计算,@多元一次方程组和一元复杂代数方程的求解。计算机代数通常具有很方便的扩展功能,允许用户自行定义新的函数和运算规则。在这些基本功能的基础上已经建立了各种专用的程序包,如复变函数、罗朗展开、留数定理、拉普拉斯变换、特殊函数等等“。计算机代数语言已经在许多领域中大显身手、获得极大的成功。不仅在物理学,天文学,数学、化学、生物学、计算机、地震学等学科而且在电子、电工、激光、航空, 建筑等技术领域得到广泛的应用。本文仅以量子力学和量子电动力学中常见的几种运算为例说明计算机代数的使用,目的在于希望更多的物理系的师生都来使用这一现代化的教学和科研手段,缩小我们与国外同行之问的差距。最后对国外的情况作一简单介绍。二、量子力学中递升算符和递降算符的运算——举例:一维多项式幂次势非谐振子在量子力学,最子电动力学,量子统计中常常要处理复杂的产生(或递升)和湮灭(或递降)算符的运算,如将算符表达式化成正规乘积等。~REDUCE语言中设置了定义不对易算符和引入对易规则的方法可以用来解决这类问题。在不作任何声明时,REDUCE中的算符是对易的,即算符乘法服从交换律。系统整理算符表达式时按内部事先规定好的顺序调整算符乘积先后。如输人-Szs,6-bS,,q 一q。,系统会自动给出s .Sa.Sb,一。+pq的结果。即先按英文字母袭顺序后按数字由大到小来排序。在重排中任何算符的位置交换不引起符号的变化,如果事先声明某算符是不对易的如tlotlcortIs,,口,则上述输入表达式的顺序不再被改变。为了引入对易规则可以用LET语句引人对易子C0MM(,l,) FOR ALL x,Y SUCH THAT x NEQY AND 0RDP(X。Y LF U()帮u(1,)u(1,)*}u()+C0MM(,), 如对玻色子,以B表示产生算符, 表示湮灭算符,则可以引人对易规则如下, FOR ALL A,8 SUCH THAT A NEQ B AND 0RDP(A.B LE?’W()W(B)=W(B)*}W()+1, 则系统将自动地把含有玻色子算符的表达式化成正规乘积的形式: 删(d)鬻删(6), 删(Ⅱ)弗删(Ⅱ)崇(6), 删(d)鬻w(Ⅱ)辈讲(6)睾删(6) 跏(6) 叫

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