将圆内整点问题视为格点对于圆的最大密度填充，用开普勒猜想证明，二维平面的

圆内整点问题误差项的估值

延拓至椭圆内整点问题结合皮克定理可应用于椭圆周长计算，当短长轴之比趋于0，计算精度远好于按照短长比修正的

在格点纸上画个半径为r的圆，里面大致就有

注销：n维空间微积分微元——n维最大填充密度x=sin(nx)计算公式​zhuanlan.zhihu.com

如何看待开普勒猜想首次被匹兹堡大学数学家形式化证明？ - 知乎

如何看待开普勒猜想首次被匹兹堡大学数学家形式化证明？​www.zhihu.com

令

注销：开普勒猜想证明，斯坦纳比sin(np)/sin(p),图论点填充［π］～4色定理​zhuanlan.zhihu.com

量子半径r，量子最大填充密度的归一区间，量子数n的函数r(n)=n/x - 知乎

注销：量子半径r，量子最大填充密度的归一区间，量子数n的函数r(n)=n/x​zhuanlan.zhihu.com

这个问题,不少数学家曾对之迭加改进,精益求精，其历史推进概况华罗庚先生曾在裘译著的数论基础序言中作过介绍,此前最佳结果则为华罗庚教授于1942年获得，算术动力系统轨道的本原素因子整数数列中是否有无穷多素数的问题是数论研究中的一个重要问题.开普勒猜想不完备证明计算公式x=sin(nx), —— 开普勒猜想的路径填充与有限元填充 - 知乎

注销：开普勒猜想不完备证明计算公式x=sin(nx), —— 开普勒猜想的路径填充与有限元填充​zhuanlan.zhihu.com

它起源于算术级数的Dirichlet素数定理,直到现在许多人仍从事于特殊数列中素数有无穷多个的猜想的研究.因此,考虑算术动力系统轨道中素数出现的问题是一件自然的事情.可以从三个不同角度来研究轨道中的素数:素数的密度,本原素因子,Iwasawa序列,主要研究算术动力系统轨道中本原素因子的存在性问题,椭圆曲线的整点和Lehmer问题，

算术动力系统轨道的本原素因子--《南京大学》2019年博士论文​cdmd.cnki.com.cn

论文分为四部分:第一章,给出了所要研究问题的背景以及一些主要结果.第二章,设h:Q→[0,∞)为绝对高度函数，Lehmer猜想断言:存在绝对正常k使得如果φ(z)∈ Z[z]均是次数d≥ 1的首一多项式,且其根不是单位根,则∑φ(α)=0 h(α)≥k.尽管在限制α值的情况下,猜想是成立的,但这个问题至今没有完全解决.在本章,对一类与加权齐次多项式相关的多项式,我们得到了类似的结论.第三章,基于Siegel定理一条椭圆曲线仅有有限多个整点),确定椭圆曲线的整点个数成为一个有趣味的问题.人们为解决这一问题发展了许多新的的方法.V.Mahe将关于扩大的椭圆曲线可除列的素数猜想与两个经典问题(Thue方程求解问题和寻找椭圆曲线的整点问题)建立了联系，

数理史上的绝妙证明：六角密堆积证明及其它 - 知乎

注销：数理史上的绝妙证明：六角密堆积证明及其它​zhuanlan.zhihu.com

在格点纸上画个半径为r的圆，里面大致就有

,用矢量半径r的旋转所扫过的面积计算，格点数n维空间微积分微元——n维最大填充密度x=sin(nx)计算公式 - 知乎注销：n维空间微积分微元——n维最大填充密度x=sin(nx)计算公式​zhuanlan.zhihu.com

开普勒猜想不完备证明p(i)公式，斯坦纳比近似计算p(i-1)/p(i),图论点填充[π]＝4色定理 - 知乎

注销：开普勒猜想不完备证明p(i)公式，斯坦纳比近似计算p(i-1)/p(i),图论点填充[π]＝4色定理​zhuanlan.zhihu.com

令 N(r) 为实际的格点数，那么所谓误差项 E(r) 是这样定义的：

在量子时空，光速不变，普朗克常数h“整点”不可再分，高斯圆问题定义“箱子平面的（计算一面）开普勒猜想（最大填充密度）”，

“最短网络”下的“最大密度”，斯坦纳比计算公式st(i)=sin(iV):量子“填充”力学 - 知乎

注销：“最短网络”下的“最大密度”，斯坦纳比计算公式st(i)=sin(iV):量子“填充”力学​zhuanlan.zhihu.com

方圆填充，方圆振动，圆内整点个数极限，方圆闭合差，曲线内整点个数问题归结为它与曲线的闭合差计算，

盒子装球，球填充盒子，正方形上填画圆，圆上填画正方形，一个概念，振动建模异维度空间填充过程，振动中心量子波动，振动斯坦纳比3/π≈0.9549296... 证明，格点距

注销：振动建模异维度空间填充过程，振动中心量子波动，振动斯坦纳比3/π≈0.9549296....​zhuanlan.zhihu.com

高斯证明了：

大家猜是：

用模形式的方法（Voronoi summation），可以证明

注销：误差，测量的精确波动X⊙Y=sin(X,Y)​zhuanlan.zhihu.com

堵丁柱斯坦纳比数值改进从√3/2到π/√12的速算法：光滑平面n个点的斯坦纳比计算公式 - 知乎

注销：堵丁柱斯坦纳比数值改进从√3/2到π/√12的速算法：光滑平面n个点的斯坦纳比计算公式​zhuanlan.zhihu.com

量子半径r，量子最大填充密度的归一区间，量子数n的函数r(n)=n/x - 知乎

注销：量子半径r，量子最大填充密度的归一区间，量子数n的函数r(n)=n/x​zhuanlan.zhihu.com

如何求解这个小球碰撞次数与圆周率关系的趣味问题？ - 知乎

如何求解这个小球碰撞次数与圆周率关系的趣味问题？​www.zhihu.com

引力的空间填充定义、密度循环与引力量子化：动力学虫洞，力学非奇点形态，量子的空间填充概率幅 - 知乎

注销：引力的空间填充定义、密度循环与引力量子化：动力学虫洞，力学非奇点形态，量子的空间填充概率幅​zhuanlan.zhihu.com

板条覆盖猜想与离散几何中的一些其他问题密切相关，这些问题在二十世纪就已被解决。首先就是是所谓的条形板覆盖圆盘的问题。著名的数学家阿尔弗雷德·塔斯基(Alfred Tarski)和亨利克·莫伊斯(Henryk Moese)提供了一个简单的证明，指出这些条带或木板的组合宽度不能小于圆盘的直径。也就是说，和我们直观的看法是一致的。然后，ThøgerBang解决了用条带覆盖任意凸多边形的问题。也就是说，他证明了覆盖多边形的条带的总宽度至少是多边形本身最小的宽度，高斯圆问题扩展到椭圆整点数，一般封闭曲线整点计算，数学建模为问题—— n元集中最多能挑出多少个子集,它们中没有一个是其它一些的并? - 知乎

n元集中最多能挑出多少个子集,它们中没有一个是其它一些的并?​www.zhihu.com

——N维空间（格网）随机游走能原路返回到起点的概率？

在波利亚1921年的论文中，证明了：在一维与二维格网中，只要次数足够大，任意沿格网游动(单位长度)的点必定返回到它的起始点；但在更高维的格网中，这并不是必然发生的．问题来了：在二维空间的格网中，只要次数足够大，是否一定会原路返回？

它几乎可以表示任何一个图论点图结构——

于是问题可等价为"假设图上有n个点，每两个点之间以概率p随机连线，那么n个点之间拥有至少一条连通线路（此时概率路径从 起始点

N个小球最后在分割原点粘合在一起，开普勒猜想不完备证明计算公式x=sin(nx), —— 开普勒猜想的路径填充与有限元填充 - 知乎

注销：开普勒猜想不完备证明计算公式x=sin(nx), —— 开普勒猜想的路径填充与有限元填充​zhuanlan.zhihu.com

三维填充的三角波正交与N维开普勒猜想 - 知乎

注销：三维填充的三角波正交与N维开普勒猜想​zhuanlan.zhihu.com

dwd：N维空间开普勒猜想的数理证明和它的全空间积分​zhuanlan.zhihu.com

简单计算就可得到结论，1维空间