• 线性代数与解析几何——Part4 欧式空间 & 酉空间

    • 1. 欧氏空间

      • 1. 定义 & 性质
      • 2. 内积表示与标准正交基
      • 3. 欧氏空间的同构
      • 4. 欧氏空间的线性变换
      • 5. 欧氏空间的子空间
    • 2. 酉空间
      • 1. 定义 & 性质
      • 2. 酉变换
      • 3. Hermite变换
      • 4. 规范变换

1. 欧氏空间

1. 定义 & 性质

定义7.1.1
设VVV是实数域R\bold{R}R上的线性空间，如果VVV中的任意两个向量a,b\bold{a,b}a,b均按照某一法则对应一个实数，记作(a,b)(\bold{a,b})(a,b)，且满足：

  1. 对称性：对任意两个向量a,b∈V\bold{a,b} \in Va,b∈V，有：
    (a,b)=(b,a)(\bold{a,b}) = (\bold{b,a})(a,b)=(b,a)
  2. 线性性：对任意实数λ\lambdaλ和任意三个向量a,b,c∈V\bold{a,b,c} \in Va,b,c∈V，有：
    (λa,b)=λ(a,b)(\lambda \bold{a,b}) = \lambda (\bold{a,b})(λa,b)=λ(a,b)
    (a+b,c)=(a,c)+(b,c)(\bold{a+b, c}) = (\bold{a,c}) + (\bold{b,c})(a+b,c)=(a,c)+(b,c)
  3. 正定性：对任意一个向量a∈V\bold{a} \in Va∈V，有(a,a)≥0(\bold{a,a}) \geq 0(a,a)≥0，等号成立当且仅当a=0\bold{a} = \bold{0}a=0。

则称(a,b)(\bold{a,b})(a,b)为向量a,b\bold{a,b}a,b的内积，定义了内记的实数域R\bold{R}R上的线性空间VVV称为欧几里得（Euclid）空间，简称欧氏空间。

对于欧氏空间，有Cauchy-Schwarz不等式：

定理7.1.1（Cauchy-Schwarz不等式）
设VVV是欧式空间，(⋅,⋅)(\cdot,\cdot)(⋅,⋅)是VVV的内积，则对VVV当中的任意两个向量a,b\bold{a,b}a,b，有：
∣(a,b)∣≤(a,a)(b,b)|(\bold{a,b})| \leq \sqrt{(\bold{a,a})(\bold{b,b})}∣(a,b)∣≤(a,a)(b,b)​

定义 7.1.2
设VVV是欧式空间，(⋅,⋅)(\cdot, \cdot)(⋅,⋅)是VVV的内积，对于任意的a∈V\bold{a} \in Va∈V，称
∣a∣=(a,a)|\bold{a}| = \sqrt{(\bold{a,a})}∣a∣=(a,a)​
为a\bold{a}a的长度或者模。

模长具有如下性质：

  1. 对称性：d(a,b)=d(b,a)d(\bold{a,b}) = d(\bold{b,a})d(a,b)=d(b,a)
  2. 正定性：d(a,b)≥0d(\bold{a,b}) \geq 0d(a,b)≥0，等号成立当且仅当a=b\bold{a} = \bold{b}a=b
  3. 三角不等式：d(a,b)≤d(a,c)+d(b,c)d(\bold{a,b}) \leq d(\bold{a,c}) + d(\bold{b,c})d(a,b)≤d(a,c)+d(b,c)

2. 内积表示与标准正交基

定义7.2.1
在nnn为欧氏空间VVV当中，一组两两正交的非零向量称为正交向量组。由正交向量组构成的基称为正交基。由单位向量组构成的正交基成为标准正交基。

定理7.2.1（Schmidt正交化）
从nnn为欧氏空间VVV的任意一组基出发，可以构造一组标准正交基。

3. 欧氏空间的同构

定义7.3.1
实数域上两个欧氏空间VVV和V′V'V′称为同构的，如果存在一个从VVV到V′V'V′的一一映射σ:V→V′\sigma: V \rightarrow V'σ:V→V′，满足：

  1. σ(λα+μβ)=λσ(α)+μσ(β)\sigma(\lambda \bold{\alpha} + \mu \bold{\beta}) = \lambda \sigma(\bold{\alpha}) + \mu \sigma(\bold{\beta})σ(λα+μβ)=λσ(α)+μσ(β)
  2. (σ(α),σ(β))=(α,β)(\sigma(\bold{\alpha}), \sigma(\bold{\beta})) = (\bold{\alpha}, \bold{\beta})(σ(α),σ(β))=(α,β)

其中，α,β\bold{\alpha, \beta}α,β为VVV中的两个任意向量，λ,μ\lambda, \muλ,μ是两个任意实数。

定理7.3.1
两个有限维欧氏空间同构的充要条件是他们的维度相同。

4. 欧氏空间的线性变换

定义7.4.1
设VVV是一个nnn维的欧氏空间，A\mathcal{A}A是VVV上的一个线性变换，如果A\mathcal{A}A保持VVV的内积不变，即对于任意两个向量a,b∈V\bold{a,b} \in Va,b∈V，都有：
(A(a),(b))=((a,b))(\mathcal{A}(\bold{a}), \mathcal(\bold{b})) = (\bold(a,b))(A(a),(b))=((a,b))
则称A\mathcal{A}A是VVV上的正交变换。

定理7.4.1
设VVV是一个nnn维的欧式空间，A\mathcal{A}A是VVV上的一个线性变换，则A\mathcal{A}A为正交变换当且仅当下列两个条件之一成立：

  1. A\mathcal{A}A保持任意向量的模不变；
  2. A\mathcal{A}A将标准正交基变换为标准正交基。

定义7.4.2
如果实方阵A\bold{A}A满足ATA=I\bold{A^{T}A} = \bold{I}ATA=I或者A−1=A\bold{A}^{-1} = \bold{A}A−1=A，则称方阵A\bold{A}A为正交矩阵。

定理7.4.2
欧式空间中的线性变换A\mathcal{A}A是正交变换的充要条件是A\mathcal{A}A在标准正交基下的矩阵A\bold{A}A是正交矩阵。

定理7.4.3
设VVV是nnn维欧氏空间，则：

  1. 单位变换是正交变换；
  2. 两个正交变换的复合仍然是正交变换；
  3. 正交变换一定可逆，其逆变换也是正交变换。

由正交矩阵的定义可知，正交矩阵的行列式detA=±1det\bold{A} = \pm 1detA=±1。如果A\mathcal{A}A在一组基下的矩阵行列式为111，则称A\mathcal{A}A为第一类变换。如果正交变换A\mathcal{A}A在一组基下的矩阵行列式为−1-1−1，则称A\mathcal{A}A为第二类变换。

定理7.4.3
设A\mathcal{A}A是欧氏空间VVV上的正交变换，则A\mathcal{A}A的特征值的模都为111。
特别的，A\mathcal{A}A的实特征值（如果存在的话）只能是111或者−1-1−1。
如果VVV的维数是奇数且A\mathcal{A}A是第一类正交变换，则A\mathcal{A}A一定存在职位111的特征值。

定义7.4.3
设VVV是nnn维欧氏空间上的线性变换，A\mathcal{A}A是VVV上的线性变换。
如果A\mathcal{A}A满足(a,A(b))=(A(a),b)(\bold{a}, \mathcal{A}(\bold{b})) = (\mathcal{A}(\bold{a}), \bold{b})(a,A(b))=(A(a),b)对VVV中的任意两个向量a,b\bold{a,b}a,b成立，则称A\mathcal{A}A是VVV上的对称变换。

定理7.4.5
设A\mathcal{A}A是欧氏空间上的线性变换，则A\mathcal{A}A是对称变换的充要条件是A\mathcal{A}A在任何一组标准正交基下的矩阵A\bold{A}A是实对称矩阵。

定理7.4.6
设A\mathcal{A}A是欧式空间VVV上的对称变换，则A\mathcal{A}A的不同特征值对应的特征向量相互正交。

定理7.4.7
实对称矩阵的特征值都是实数。

定理7.4.8
实对阵矩阵A\bold{A}A的属于不同特征值的特征向量必正交。

定理7.4.9
对于任意nnn阶实对称矩阵A\bold{A}A，存在一个nnn阶正交矩阵T\bold{T}T，使得T−1AT\bold{T^{-1}AT}T−1AT为对角矩阵。

5. 欧氏空间的子空间

定义7.5.1
设V1,V2V_1, V_2V1​,V2​是欧式空间VVV的两个子空间，如果对于任意的a1∈V1,a2∈V2\bold{a}_1 \in V_1, \bold{a}_2 \in V_2a1​∈V1​,a2​∈V2​，恒有(a1,a2)=0(\bold{a}_1, \bold{a}_2) = 0(a1​,a2​)=0，则称子空间V1,V2V_1, V_2V1​,V2​相互正交，记为V1⊥V2V_1 \perp V_2V1​⊥V2​。
如果一个向量a\bold{a}a与子空间V1V_1V1​中的任意一个向量均正交，则称向量a\bold{a}a与子空间V1V_1V1​正交，记为a⊥V1\bold{a} \perp V_1a⊥V1​。

定理7.5.1
如果子空间V1,V2V_1, V_2V1​,V2​相互正交，那么他们的和V1+V2V_1 + V_2V1​+V2​是直和。推而广之，如果V1,V2,...,VrV_1, V_2, ..., V_rV1​,V2​,...,Vr​两两相互正交，则它们的和V1+V2+...+VrV_1 + V_2 + ... + V_rV1​+V2​+...+Vr​是直和。

定义7.5.2
如果V1⊥V2V_1 \perp V_2V1​⊥V2​且V=V1+V2V=V_1 + V_2V=V1​+V2​，那么子空间V2V_2V2​称为子空间V1V_1V1​的正交补空间或简称为正交补。
显然，如果V2V_2V2​是V1V_1V1​的正交补，那么V1V_1V1​也是V2V_2V2​的正交补。

定理7.5.2
欧式空间VVV中任意一个子空间V1V_1V1​都有唯一的正交补空间。

2. 酉空间

1. 定义 & 性质

定义7.6.1
设VVV是复数域上的线性空间，如果对于VVV内的任意两个向量a,b\bold{a,b}a,b都按某一法则对应于某一个复数，记作(a,b)(\bold{a,b})(a,b)，且满足：

  1. 共轭对称性：对任意两个向量a,b∈V\bold{a, b}\in Va,b∈V，有(a,b)=(b,a)‾(\bold{a,b}) = \overline{(\bold{b,a})}(a,b)=(b,a)​
  2. 线性性：对任意一个复数λ\lambdaλ和三个向量a,b,c∈V\bold{a,b,c} \in Va,b,c∈V，有(a,λb)=λ(a,b),(a,b+c)=(a,b)+(a,c)(\bold{a}, \lambda \bold{b}) = \lambda (\bold{a,b}), (\bold{a}, \bold{b+c}) = (\bold{a,b}) + (\bold{a,c})(a,λb)=λ(a,b),(a,b+c)=(a,b)+(a,c)
  3. 正定性：对于任意一个向量a∈V\bold{a} \in Va∈V，有(a,a)≥0(\bold{a, a}) \geq 0(a,a)≥0，等号成立当且仅当a=0\bold{a} = \bold{0}a=0。

则称(a,b)(\bold{a, b})(a,b)为a\bold{a}a和b\bold{b}b的内积。
定义了内积的复数域C\bold{C}C上的线性空间VVV称为酉空间。

定义7.6.2
有空间中的两个向量a,b\bold{a,b}a,b满足(a,b)=0(\bold{a,b})=0(a,b)=0，则称a\bold{a}a和b\bold{b}b相互正交或垂直，记为a⊥b\bold{a} \perp \bold{b}a⊥b。

定理7.6.1
设VVV是nnn维酉空间，则：

  1. VVV中两两正交的一组非零向量一定是线性无关的；
  2. VVV中也存在标准正交基，即存在一组基e1,..,en\bold{e}_1, .., \bold{e}_ne1​,..,en​，满足(ei,ej)=δi,j(\bold{e}_i, \bold{e}_j) = \delta_{i,j}(ei​,ej​)=δi,j​，i,j=1,2,...,ni,j=1,2,...,ni,j=1,2,...,n；
  3. 欧式空间的Schmidt正交化过程在酉空间一样有效，即从酉空间中任意一组基出发，可以通过完全一样的Schmidt正交化过程，得到一组标准正交基。

我们摘录书中给出的欧氏空间与酉空间的对比如下：

欧氏空间 酉空间
内积(a,b)(\bold{a,b})(a,b)为实数，满足：
1. (a,b)=(b,a)(\bold{a,b}) = (\bold{b,a})(a,b)=(b,a)
2. (λa,b)=(a,λb)=λ(a,b)(\lambda \bold{a}, \bold{b}) = (\bold{a}, \lambda\bold{b}) = \lambda(\bold{a,b})(λa,b)=(a,λb)=λ(a,b) 		内积(a,b)(\bold{a,b})(a,b)为复数，满足：
1. (a,b)=(b,a)‾(\bold{a,b}) = \overline{(\bold{b,a})}(a,b)=(b,a)​
2. (λa,b)=(a,λb)=λ(a,b)(\lambda \bold{a}, \bold{b}) = (\bold{a}, \lambda\bold{b}) = \lambda(\bold{a,b})(λa,b)=(a,λb)=λ(a,b)
模∣a∣=(a,a)≥0| \bold{a} | = \sqrt{(\bold{a,a})} \geq 0∣a∣=(a,a)​≥0
向量a\bold{a}a的单位向量化a∣a∣\frac{\bold{a}}{| \bold{a} |}∣a∣a​ 		模∣a∣=(a,a)≥0| \bold{a} | = \sqrt{(\bold{a,a})} \geq 0∣a∣=(a,a)​≥0
向量a\bold{a}a的单位向量化a∣a∣\frac{\bold{a}}{| \bold{a} |}∣a∣a​
Cauchy-Schwarz不等式
(a,b)2≤(a,a)(b,b)(\bold{a,b})^2 \leq (\bold{a,a})(\bold{b,b})(a,b)2≤(a,a)(b,b)
即∣(a,b)∣≤∣a∣∣b∣| (\bold{a,b}) | \leq | \bold{a} | | \bold{b} |∣(a,b)∣≤∣a∣∣b∣
当且仅当a,b\bold{a,b}a,b线性相关时等号成立 		Cauchy-Schwarz不等式
(a,b)(a,b)‾≤(a,a)(b,b)(\bold{a,b}) \overline{(\bold{a,b})} \leq (\bold{a,a})(\bold{b,b})(a,b)(a,b)​≤(a,a)(b,b)
即∣(a,b)∣≤∣a∣∣b∣| (\bold{a,b}) | \leq | \bold{a} | | \bold{b} |∣(a,b)∣≤∣a∣∣b∣
当且仅当a,b\bold{a,b}a,b线性相关时等号成立
非零向量a,b\bold{a,b}a,b的夹角φ=arccos(a,b)∣a∣∣b∣\varphi = arccos \frac{(\bold{a,b})}{| \bold{a} | | \bold{b} |}φ=arccos∣a∣∣b∣(a,b)​ 无定义
向量a,b\bold{a,b}a,b正交，即(a,b)=0(\bold{a,b}) = 0(a,b)=0 向量a,b\bold{a,b}a,b正交，即(a,b)=0(\bold{a,b}) = 0(a,b)=0
三角不等式成立
∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣| \bold{a} + \bold{b} | \leq | \bold{a} | + | \bold{b} |∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣ 		三角不等式成立
∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣| \bold{a} + \bold{b} | \leq | \bold{a} | + | \bold{b} |∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣
度量矩阵G\bold{G}G为是对称矩阵
设e1,...,en\bold{e}_1, ..., \bold{e}_ne1​,...,en​为基，
σij=(ei,ej)=σji\sigma_{ij} = (\bold{e}_i, \bold{e}_j) = \sigma_{ji}σij​=(ei​,ej​)=σji​
度量矩阵G=(σij)=GT\bold{G} = (\sigma_{ij}) = \bold{G}^TG=(σij​)=GT 		度量矩阵G\bold{G}G为是对称矩阵
设e1,...,en\bold{e}_1, ..., \bold{e}_ne1​,...,en​为基，
σij=(ei,ej)=(ej,ei)‾=σji‾\sigma_{ij} = (\bold{e}_i, \bold{e}_j) = \overline{(\bold{e}_j, \bold{e}_i)} = \overline{\sigma_{ji}}σij​=(ei​,ej​)=(ej​,ei​)​=σji​​
度量矩阵G=(σij)=(G‾)T\bold{G} = (\sigma_{ij}) = (\overline{\bold{G}})^TG=(σij​)=(G)T
用Schmidt方法可以将任意一组基改造为标准正交基e1,...,en\bold{e}_1, ..., \bold{e}_ne1​,...,en​
(ei,ej)=δij,i,j=1,2,...,n(\bold{e}_i, \bold{e}_j) = \delta_{ij}, i,j = 1,2,...,n(ei​,ej​)=δij​,i,j=1,2,...,n 		用Schmidt方法可以将任意一组基改造为标准正交基e1,...,en\bold{e}_1, ..., \bold{e}_ne1​,...,en​
(ei,ej)=δij,i,j=1,2,...,n(\bold{e}_i, \bold{e}_j) = \delta_{ij}, i,j = 1,2,...,n(ei​,ej​)=δij​,i,j=1,2,...,n
在标准正交基下，a,b=∑i=1naibi\bold{a,b} = \sum_{i=1}^{n}a_i b_ia,b=∑i=1n​ai​bi​ 在标准正交基下，a,b=∑i=1na‾ibi\bold{a,b} = \sum_{i=1}^{n}\overline{a}_i b_ia,b=∑i=1n​ai​bi​

2. 酉变换

定义7.6.3
设U\mathcal{U}U是酉空间VVV上的线性变换，如果U\mathcal{U}U保持内积不变，即对一切向量a,b∈V\bold{a,b} \in Va,b∈V有
(Ua,Ub)=(a,b)(\mathcal{U}\bold{a}, \mathcal{U}\bold{b}) = (\bold{a,b})(Ua,Ub)=(a,b)
则称U\mathcal{U}U是酉空间VVV上的一个酉变换。

定义7.6.4
设U\bold{U}U是一个nnn阶复矩阵，如果它满足UHU=I\bold{U^HU} = \bold{I}UHU=I或者U−1=UH\bold{U}^{-1} = \bold{U^H}U−1=UH，则称U\bold{U}U为酉矩阵。

定理7.6.2
设U\mathcal{U}U是酉空间VVV上的一个线性变换，则下列各命题互相等价：

  1. U\mathcal{U}U是一个酉变换
  2. U\mathcal{U}U保持向量的模不变，即对任意的a∈V\bold{a} \in Va∈V，有∣Ua∣=∣a∣|\mathcal{U}\bold{a}| = |\bold{a}|∣Ua∣=∣a∣
  3. U\mathcal{U}U把酉空间的标准正交基变为标准正交基；
  4. U\mathcal{U}U在标准正交基下的矩阵是酉矩阵。

定理7.6.3
设U(V)U(V)U(V)是nnn为酉空间VVV中所有酉变换的全体所形成的集合，则：

  1. 单位变换E∈U(V)\mathcal{E} \in U(V)E∈U(V)
  2. 如果U1,U2∈U(V)\mathcal{U}_1, \mathcal{U}_2 \in U(V)U1​,U2​∈U(V)，则U1∘U2∈U(V)\mathcal{U}_1 \circ \mathcal{U}_2 \in U(V)U1​∘U2​∈U(V);
  3. 如果U∈U(V)\mathcal{U} \in U(V)U∈U(V)，则U−1∈U(V)\mathcal{U}^{-1} \in U(V)U−1∈U(V)

3. Hermite变换

定义7.6.5
设A\mathcal{A}A是nnn维酉空间VVV上的线性变换，如果对VVV中任意两个向量a,b\bold{a,b}a,b有(a,Ab)=(Aa,b)(\bold{a}, \mathcal{A}\bold{b}) = (\mathcal{A}\bold{a}, \bold{b})(a,Ab)=(Aa,b)，则称A\mathcal{A}A是酉空间VVV上的Hermite变换。

定义7.6.6
称满足A=AH\bold{A} = \bold{A^H}A=AH的复矩阵为Hermite矩阵。

4. 规范变换

定义7.6.7
设A\mathcal{A}A是nnn维酉空间VVV上的一个线性变换，如果存在VVV上的线性变换A∗\mathcal{A}^{*}A∗，使得对于任意两个向量a,b\bold{a,b}a,b，有(Aa,b)=(a,A∗b)(\mathcal{A}\bold{a}, \bold{b}) = (\bold{a}, \mathcal{A}^{*} \bold{b})(Aa,b)=(a,A∗b)，则称A∗\mathcal{A}^{*}A∗为A\mathcal{A}A的共轭变换。

线性变换的共轭关系满足如下性质：

  1. E∗=E\mathcal{E}^{*} = \mathcal{E}E∗=E，即单位变换的共轭等于其本身；
  2. (A∗)∗=A(\mathcal{A}^{*})^{*} = \mathcal{A}(A∗)∗=A，即线性变换共轭的共轭等于其本身；
  3. (λA)∗=(‾λ)A∗(\lambda \mathcal{A})^{*} = \overline(\lambda) \mathcal{A}^{*}(λA)∗=(​λ)A∗
  4. (A±B)∗=A∗±B∗(\mathcal{A} \pm \mathcal{B})^{*} = \mathcal{A}^{*} \pm \mathcal{B}^{*}(A±B)∗=A∗±B∗
  5. (A∘B)∗=B∗∘A∗(\mathcal{A} \circ \mathcal{B})^{*} = \mathcal{B}^{*} \circ \mathcal{A}^{*}(A∘B)∗=B∗∘A∗

定义7.6.8
设A\mathcal{A}A是nnn维酉空间上的一个线性变换，如果A\mathcal{A}A和它的共轭变换A∗\mathcal{A}^{*}A∗可交换，即AA∗=A∗A\mathcal{AA^{*}} = \mathcal{A^{*}A}AA∗=A∗A，则称变换A\mathcal{A}A是一个规范变换。
规范变换在标准正交基下的矩阵满足AAH=AHA\bold{AA^H} = \bold{A^HA}AAH=AHA，我们称满足上式的矩阵为规范矩阵。

定理7.6.4
设A\mathcal{A}A是nnn维酉空间VVV中的一个线性变换，如果WWW是A\mathcal{A}A的不变子空间（即WWW是VVV的子空间，且对任意的a∈W\bold{a} \in Wa∈W，有Aa∈W\mathcal{A}\bold{a} \in WAa∈W），则WWW在VVV中的正交补空间W⊥W^{\perp}W⊥是A\mathcal{A}A的共轭变换A∗\mathcal{A}^{*}A∗的不变子空间。

定理7.6.5
设λ\lambdaλ是nnn维酉空间上的规范变换A\mathcal{A}A的特征值，x\bold{x}x是对应的特征向量，则λ‾\overline{\lambda}λ是A\mathcal{A}A的共轭变换A∗\mathcal{A}^{*}A∗的特征值，x\bold{x}x是对应的特征向量。

定理7.6.6
设A\mathcal{A}A是nnn维酉空间VVV上的规范变换，则A\mathcal{A}A的属于不同特征值的特征向量相互正交。

定理7.6.7
设A\mathcal{A}A是nnn维酉空间VVV中任意规范变换，则存在VVV的一组标准正交基，使得A\mathcal{A}A在这组基下的矩阵A\bold{A}A为对角矩阵。

定义7.6.9
对于复数域上的nnn阶方阵A,B\bold{A, B}A,B，如果存在nnn阶酉矩阵U\bold{U}U，使得A=U−1BU\bold{A} = \bold{U^{-1}BU}A=U−1BU，U−1=UH\bold{U}^{-1} = \bold{U}^{H}U−1=UH，则称A\bold{A}A酉相似于B\bold{B}B。

定理7.6.8
任一规范矩阵A\bold{A}A都可有相似于对角矩阵。
反之，复数域上任意酉相似于对角矩阵的矩阵一定是规范矩阵。

定理7.6.9
设A\mathcal{A}A是酉空间VVV中任一酉变换，则：

  1. A\mathcal{A}A的特征值的模为1；
  2. 存在一组标准正交基，使得A\mathcal{A}A在这组基下对应的矩阵为对角矩阵。

定理7.6.10
设A\mathcal{A}A是酉空间VVV中的任意一个Hermite变换，则：

  1. A\mathcal{A}A的特征值一定是实数；
  2. 存在一组标准正交基，使得A\mathcal{A}A在这组基下对应的矩阵为实对角矩阵。

线性代数与解析几何——Part4 欧式空间 酉空间相关推荐

  1. 欧式空间与酉空间——概念区分

    欧式空间: 设V是实数域R上的线性空间,在V上任意两向量x.y按某一确定法则对应于唯一确定是的实数,称为内积,记为(x,y),满足以下性质:  1)对称性(x,y)=(y,x):  2)可加性(x+y ...

  2. 【转】欧式空间与酉空间——概念区分

    原文地址:https://blog.csdn.net/zhongkejingwang/article/details/43053513,转载主要方便随时查阅,如有版权要求,请及时联系. 欧式空间: 设 ...

  3. 欧氏空间内积定义_线性代数 (8) -- 欧式空间 (让生活大不同)

    以欧式空间中的概念描述概率论中的基本知识. 期望是垂直投影, 条件期望也是垂直投影. 相关系数是二面角的余弦值. 设样本集合 , 且发生 的概率为 , , 且 . 设随机变量 , 换句话讲, 我们可以 ...

  4. 欧氏空间距离和内积_欧式空间、内积空间和赋范空间之间的关系

    满意答案 stalbn 2014.05.18 采纳率:44%    等级:12 已帮助:6557人 (1)赋范向量空间是具有"长度"概念的向量空间.是通常的欧几里德空间 Rn 的推 ...

  5. 线性代数与解析几何——Part1 解析几何

    线性代数与解析几何--Part1 解析几何 0. 前言 1. 向量与复数 1. 向量 2. 向量运算 1. 数量积(内积) 2. 向量积 3. 混合积 2. 空间解析几何 1. 直线和平面 1. 直线 ...

  6. 线性代数与解析几何——Part3 线性空间 线性变换

    线性代数与解析几何--Part3 线性空间 & 线性变换 1. 线性空间 1. 数组空间 & 线性关系 2. 秩 3. 子空间.基与维数 4. 一般线性空间 5. 同构 2. 线性变换 ...

  7. 有没有人被向量空间、内积空间、欧式空间、希尔伯特空间、巴拿赫空间概念折磨的？

    第一篇,记录一下.看到CSDN年度描述说这个号有15年代码龄,惭愧,都是业余兴趣看看而已,啥都不会 问个问题,有没有人被向量空间.内积空间.欧式空间.希尔伯特空间.巴拿赫空间这些概念折磨的够呛 ,被吓 ...

  8. 实内积空间和欧式空间的定义

    实内积空间和欧式空间的定义 类比线性变换的矩阵表示,内积运算也可以用一个度量矩阵表示

  9. 图卷积（1）——从欧式空间到非欧式空间

    图卷积(1)--从欧式空间到非欧式空间 普通卷积神经网络 多维欧式空间 局部空间响应 卷积参数共享 活性卷积 一般卷积神经网络处理的数据都是规则排序,输入维度固定的,比如语音序列.图像像素或者视频帧, ...

最新文章

  1. mysql数据库目标库_修改mysql数据库的库名
  2. 初次面试Java岗位，这些技巧你要知道！
  3. php mysql jquery ajax 查询数据库三级联动
  4. eclipse 开发环境配置
  5. Structure from Motion综述
  6. Mac编译OpenJDK8:configure: error: Xcode 4 is required to build JDK 8, the version found was 10.1config
  7. mysql +cobar_MySQL 中间件 cobar 初体验
  8. ceph osd学习小结
  9. linux u盘启动制作教程,cdlinux u盘启动制作教程
  10. 计算机控制原理中雷达天线,相控阵雷达工作原理
  11. python调用若快打码接口
  12. tensor如何实现转置_pytorch tensor 变换
  13. 【消息中间件MQ分享】
  14. 朋友合作怎么迈过利益这道坎
  15. 如何推算图纸上点坐标
  16. 2021Unity学习教程：本地下载的Unity项目怎么打开？
  17. 【文档】字体 / Font
  18. Http Header里的Content-Type
  19. 用电力猫实现无线IPTV
  20. 双色球双色球杀号公式,双色球杀号公式汇总

热门文章

  1. 找回XShell保存过的密码
  2. 绿坝，监控了哪些应用程序？装了绿坝的朋友，使用要小心啊！
  3. （附3D大屏模板）详解FineVis如何打造智慧医院BIM方案！
  4. 【双评价学习笔记2019】农业生产适宜性评价01·土地资源评价
  5. 竞猜活动区块链方案探索
  6. serialize()和serializeArray()方法
  7. 共振峰检测matlab百度文库,毕业设计论文-基于MATLAB的语音共振峰的估计.doc
  8. Altium Vault 2.5.9.45043 1CD统一元器件库及复用模块管理
  9. IPv4和IPv6报文格式介绍和对比
  10. ROS学习笔记（十三）：Using Stamped datatypes with tf::MessageFilter