一、穷举法

即是最暴力无脑的方法：直接暴力枚举，直到出现一个能同时整除两数的值。但是不推荐，即浪费CPU.又浪费时间。

//穷举法
int divi_0(int x, int y)
{if (x < y){int tmp = y;y = x;x = tmp;}for (int i = y; i >= 1; i-- ){if (x%i == 0 && y%i == 0){return i;}}
}

二、辗转相除法

欧几里德算法又称辗转相除法，用于计算两个整数a,b的最大公约数。其计算原理依赖于下面的定理：

定理：divi(a, b) = divi(a, a%b)

证明：对于 divi(a, b)

` 假设 d 是 a、b 的公约数，r = a%b, a = kb + r, r = a - kb, 即d 也是 r 的公约数；

对于divi(a, a%b)

假设另一 d 是 a, a%b 的公约数，r = a%b, a = kb + r, b = (a - r)k 即d也是 b 的公约数；

由此可证得最大公约数也是相同的。

//辗转相除法
int divi_1(int a, int b)
{int divi = 0;while (a%b){divi = a % b;a = b;b = divi;}divi = b;return divi;
}

三、更相减损术

更相减损法：更相减损术，出自于中国古代的《九章算术》，也是一种求最大公约数的算法。
①先判断两个数的大小，如果两数相等，则这个数本身就是就是它的最大公约数。
②如果不相等，则用大数减去小数，然后用这个较小数与它们相减的结果相比较，如果相等，则这个差就是它们的最大公约数，而如果不相等，则继续执行②操作。

原理：divi(a, b) = divi(b, a - b);

证明：假设 d 是a、b的公约数，r = a - b, 则d 是 r 的公约数，同理可证最后两个数相等时一定是原来两个数的最大公约数。

//更相减损术
int divi_2(int a, int b)
{if (a == b){return a;}else if (a > b){return divi_2(a - b, b);}else{return divi_2(b - a, a);}
}

四、Stein算法（结合辗转相除法和更相减损法的优势以及移位运算）

众所周知，移位运算的性能非常快。对于给定的正整数a和b，不难得到如下的结论。其中gcb(a,b)的意思是求a,b的最大公约数的函数

当a和b均为偶数，gcb(a,b) = 2gcb(a/2, b/2) = 2 * gcb(a>>1, b>>1)

当a为偶数，b为奇数，gcb(a,b) = gcb(a/2, b) = gcb(a>>1, b)

当a为奇数，b为偶数，gcb(a,b) = gcb(a, b/2) = gcb(a, b>>1)

当a和b均为奇数，利用更相减损术运算一次，gcb(a,b) = gcb(b, a-b)，此时a-b的结果必然是偶数，又可以继续进行移位运算。

证明：通过辗转相除法和更相减损术的证明易证。

//两者结合后的Stein算法
int Stein(int x, int y)
{if (x < y){int tmp = x;x = y;y = tmp;}if ( x%y == 0){return y;}if (x % 2 == 0 && y % 2 == 0){return 2*Stein(x >> 1, y >> 1);}else if (x%2 == 0 && y%2 != 0){return Stein(x >> 1, y);}else if (x % 2 != 0 && y % 2 == 0){return Stein(x, y >> 1);}else if (x % 2 != 0 && y % 2 != 0){return Stein(x, (x - y) >> 1);}
}

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