方向导数

在等位面上，我们发现虽然可以直观的看出很多东西，但是很多东西我们还是需要定量化

所以我们引入了方向导数，我们可以直观地写出表达式 $\frac{\partial u}{\partial l}|_{M}=\lim_{P->M}\frac{u(P)-u(M)}{ PM}=\frac{\partial u}{\partial x}cos(\alpha )+\frac{\partial u}{\partial x}cos(\beta)+\frac{\partial u}{\partial x}cos(\gamma )$

我们不难发现可以拆成两个向量的点积

一个由自身决定，同时也是方向导数最大的方向对应的大小 $\vec G=\frac{\partial }{\partial x}\vec e_{x}+\frac{\partial }{\partial x}\vec e_{y}+\frac{\partial }{\partial x}\vec e_{z}$ ，称之为梯度

另一个对应单位的方向向量 $\vec l^{\circ}=cos(\alpha)\vec e_{x}+cos(\beta)\vec e_{y}+cos(\gamma)\vec e_{z}$

两个对应相乘，就为方向导数

一点思考：因为等值面切线方向对增量没有影响，所以我们可以发现投影到切线方向没有作用，所以就可以简单的推出沿着等值面法向的方向导数最大

下面我们引入哈密尔顿算子

算子表现出矢量性和微分性，先表现矢量性，再表现微分性

$\nabla=\frac{\partial }{\partial x}\vec e_{x}+\frac{\partial }{\partial x}\vec e_{y}+\frac{\partial }{\partial x}\vec e_{z}$

$grad(u)=\nabla u=\frac{\partial u}{\partial x}\vec e_{x}+\frac{\partial u}{\partial x}\vec e_{y}+\frac{\partial u}{\partial x}\vec e_{z}$

矢量的散度

$\Phi = \int_{s}\vec A \cdot d\vec S$ 从物理意义上来看，假设曲面是一个闭合曲面，就等于向外的向量条数减去向内的向量条数

向外发散可以看作有正源，向内发射看作曲面内有负源

我们对这样的公式取极限，可以得到散度

$div \vec A=\lim_{\Delta V \to 0} \frac{\oint \vec A \cdot d\vec S}{\Delta V}$

当结果大于0的时候，可以看作从这个点向外发射电磁场

结果等于0的时候，可以看作这个点被场线光滑穿过

当结果小于0的时候，可以看作有场线在这一点结束

$div \vec A=\nabla \cdot \vec A$

矢量的旋度

旋度的定义方式，可以看一下方向导数

首先定义环量

$Q=\oint_s \vec A \cdot d\vec l$

我们再定义单位面积的环量

$q=\lim_{\Delta S \to 0} \frac{\oint_s \vec A\cdot d\vec l}{\Delta S}=\vec v \cdot n^{\circ}$

因为同一点的单位面积环量因为你在不同平面，所以会有不同的值，所以需要再乘以一个单位向量

可以看作是旋度在不同平面上的投影，我们取法线重合的平面

得到

$rot \vec A=(\frac{\partial A_z}{\partial y}-\frac{\partial A_y}{\partial z})\vec e_x +(\frac{\partial A_x}{\partial z}-\frac{\partial A_z}{\partial x})\vec e_y +(\frac{\partial A_y}{\partial x}-\frac{\partial A_x}{\partial y})\vec e_z$

$rot \vec A=\nabla \times \vec A$

这个也就是旋度的定义

关于旋度的理解也可以参考这两个博客

https://baijiahao.baidu.com/s?id=1659021385604307347

https://zhuanlan.zhihu.com/p/477261640

几个很重要的公式

微分算子的公式换成哈密尔顿算子仍然是近似成立的

有用的公式：

$\nabla \cdot (\vec A \times \vec B)=\vec B \cdot \nabla \times \vec A+\vec A \cdot \nabla \times \vec B$

$\nabla \times (u\vec A)=u \nabla \times \vec A+\nabla u \times \vec A$

$\nabla \times (\nabla u)=0$

$\nabla \cdot (\nabla \times u)=0$ 梯度场无旋，旋度场无源

拉普拉斯算子 $\nabla \cdot (\nabla u)=\nabla^2 u$ 这个算子称为拉普拉斯算子

一些简单结论,简单却有用

$\vec R=\vec r-\vec r^{\prime}$ 带点的是源点，不带点的是旋点

$\nabla (\frac{1}{R})=\frac{-1}{R^2}\vec e_{R}$ （源点指向场点的单位矢量）

$\nabla (\frac{1}{R^\prime})=\frac{1}{R} \vec e_{R}$

$\nabla^2 (\frac{1}{R})=0$ ,前提条件两者不重合

亥姆霍兹定理

要唯一的确定一个区域内的矢量 $\vec A$ ,我们必须知道这个区域内的

1.散度

2.旋度

3.边界条件

反之依然成立

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