【编译原理核心知识点总结】第三章、正则文法、NFA、DFA

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文中提到的课本是陈火旺的《编译原理第三版》。
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每章节后面会有综合题型，涵盖了本章节重点知识及算法，请完全掌握。

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正则文法：描述单词语法的文法

基本定义

正则文法，3型文法，分为右线性文法和左线性文法，重点掌握右线性文法。【快速跳转链接：3型文法¹、左线性文法¹】

右线性文法：产生式形式为 U→xV∣yU→xV|yU→xV∣y 且 U,V∈VN，x,y∈VT∗U,V ∈V_N，x,y∈V_T^*U,V∈VN，x,y∈VT∗
右线性文法G[S]的状态转换图（TG）表示
- G[S]中的非终结符VNV_NVN作为TG的节点（用⚪表示）
- G[S]的开始符号S对应状态转换图的开始状态S；（每个TG用→→→指向开始状态）
- 增加一个新状态ZZZ，作为状态转换图的终止状态（用双圈表示）；
- G[S]中形如U→xVU→xVU→xV的每条产生式，画一条从状态U到状态V的方向弧，弧上的标记为x；
- 对于G[S]中形如U→yU→yU→y的每条产生式，画一条从状态U到终态Z的方向弧，弧上的标记为y
【快速跳转链接：左线性文法的状态转换图表示²】
助解题目：给出与正则文法G(S)等价的状态转换图。【图】

正规式与正规集

正规式（正则表达式），对于字符集∑∑∑，仅在∑∑∑上包含()、|、*、·四种运算的正规式所表示的集合是∑∑∑上的正规集

【快速跳转链接：()、|、*、·四种运算运算规则 ³ 】
助解题目：∑=a,b∑={a, b}∑=a,b，其上的正规式与对应的正规集的例子：

正规式	正规集
a∣ba\|ba∣b	{a,b}\{a, b\}{a,b}
(a∣b)∗(a\|b)^*(a∣b)∗	{a,b}∗即a和b所能构成的所有串的集合，{ϵ,a,b,aa,ab,ba,bb,aaa,...}\{a,b\}^*即a和b所能构成的所有串的集合，\{\epsilon, a, b, aa, ab, ba, bb, aaa, ...\}{a,b}∗即a和b所能构成的所有串的集合，{ϵ,a,b,aa,ab,ba,bb,aaa,...}
a∗a^*a∗	{ϵ,a,aa,aaa,...}即0或多个a的串组成的集合\{\epsilon, a, aa, aaa, ...\}即0或多个a的串组成的集合{ϵ,a,aa,aaa,...}即0或多个a的串组成的集合
(a∣b)(a∣b)(a\|b)(a\|b)(a∣b)(a∣b)	{aa,ab,ba,bb}\{aa, ab, ba, bb\}{aa,ab,ba,bb}

【快速跳转链接：等价正规式 & 正规式等价变换 ⁴】

例子1：a∣b∗ca|b^*ca∣b∗c，它所表示的正规集为：串a或者是零个或多个b后跟随一个c，即{a,c,bc,bbc,bbbc,...}\{a, c, bc, bbc, bbbc, ...\}{a,c,bc,bbc,bbbc,...}
例子2：求“每个1都有0直接跟在右边”的正规式：(0∣10)∗(0|10)^*(0∣10)∗
- 思考方式：上述描述的基本结构是101010，(10)∗(10)^*(10)∗表示的是{ϵ,10,1010,...}\{\epsilon, 10, 1010,...\}{ϵ,10,1010,...}，在这个基本结构之上，0的位置是任意的，因此也就变成了“101010与000的所有组合”，即(0∣10)∗(0|10)^*(0∣10)∗。
习题：(选择/填空)，课本 p64 8(1-4)

根据描述给出正规式

（1）以01结尾的二进制数串 ⁵

（2）能被5整除的十进制整数 ⁶

（3）包含奇数个1或奇数个0的二进制数串 ⁷

（4）英文字母组成的所有符号串，要求符号串中的字母按照字典序排列 ⁸

有限自动机（DFA、NFA）

DFA（确定的有限自动机）

五元组表示法
- M=(S,Σ,f,S0,Z)M=(S, \Sigma, f, S_0, Z)M=(S,Σ,f,S0,Z)
1. SSS是一个非空有限集，它的每个元素称为一个状态
2. ΣΣΣ是一个有限的输入字母表，它的每个元素称为一个输入字符
3. f是转换函数集，形如f(ki,a)=kj(ki∈S,kj∈S，a∈Σ)f(k_i,a)=k_j(k_i∈S, k_j∈S，a∈Σ)f(ki,a)=kj(ki∈S,kj∈S，a∈Σ)：当前状态为kik_iki，输入字符为a时，将转换到下一个状态kjk_jkj, fff值唯一
4. S0∈SS_0 ∈SS0∈S是唯一的一个初始状态；
5. Z⊆SZ\subseteq SZ⊆S，是终止状态(终态)集合
- 注意：初始状态只有一个、终态可以多个、f值唯一
状态转换图表示法
状态矩阵表示法

矩阵的行表示当前状态，列表示输入字符，矩阵元素表示相应状态行和输入字符列下的新状态。

助解题目：五元组与状态转换图互换ppt 3.3 23页】

NFA（非确定的有限自动机）

五元组表示法
- M=(S，Σ，f，S0，Z)M=(S ，Σ，f，S_0，Z)M=(S，Σ，f，S0，Z)
1. S,Σ,ZS,\Sigma,ZS,Σ,Z的意义与DFA相同
2. fff与DFA中fff的区别在于，对某个当前状态，对于输入字符a，可能有多个次态
3. S0S_0S0表示的是初态集合，S⊂0S\subset 0S⊂0
- 注意：初始状态可以有多个、终态可以多个，f值不唯一
状态转换图表示法
状态矩阵表示法

NFA与DFA联系与区别

区别：

初态：DFA只有一个，NFA有多个

状态转换函数fff：DFA每个fff值唯一确定，NFA每个fff值可以有多个（次态集合）

有向弧：DFA中无ϵ\epsilonϵ弧，NFA中可能存在ϵ\epsilonϵ弧

联系：DFA是NFA的特例

NFA转DFA（NFA确定化）——子集构造法

NFA确定化：通过某些操作消除NFA中fff的多值性
必须掌握的三种运算，对于状态集III

ε−closure(I)ε-closure(I)ε−closure(I)——状态集的εεε闭包

move(I,a)move(I, a)move(I,a)——状态集的aaa弧转换

Ia=ε−closure(move(I,a))I_a = ε-closure( move(I, a) )Ia=ε−closure(move(I,a))——状态集的aaa弧转换的闭包IaI_aIa
- ε−closure(I)ε-closure(I)ε−closure(I)
  - 状态集III中的每个元素经过 0或n条ϵ弧0或n条\epsilon弧0或n条ϵ弧能到达的所有状态的集合
  - 注：经过0条ϵ\epsilonϵ弧所能到达的状态即自己本身
- move(I,a)move(I, a)move(I,a)
  - 状态集III中的每个元素经过 1条a弧1条a弧1条a弧能到达的所有状态的集合
  - 注意：仅经过1条a弧
- Ia=ε−closure(move(I,a))I_a = ε-closure( move(I, a) )Ia=ε−closure(move(I,a))
  - 先求 move(I,a)move(I, a)move(I,a) ，记所得集合为 MMM
  - 再求 ε−closure(M)ε-closure(M)ε−closure(M)
- 习题：NFA的状态转换图如下，状态集I={2,3}I=\{2, 3\}I={2,3}，求ε−closure(I)ε-closure(I)ε−closure(I)和I2I_2I2、I3I_3I3
  - 【图】
  - 答案⁹

方法论

核心：构造状态转换矩阵，形如

III	IaI_aIa	IbI_bIb	…
T0T_0T0	ε−closure(move(T0,a))ε-closure( move(T_0, a) )ε−closure(move(T0,a))	ε−closure(move(T0,a))ε-closure( move(T_0, a) )ε−closure(move(T0,a))	…
T1T_1T1	ε−closure(move(T1,a))ε-closure( move(T_1, a) )ε−closure(move(T1,a))	ε−closure(move(T1,a))ε-closure( move(T_1, a) )ε−closure(move(T1,a))	…
…	…	…	…

(1)(1)(1) T0=ε−closure(X)T_0 = ε-closure( X )T0=ε−closure(X)，XXX是NFA的唯一初态。NFA的初态可能有多个，因此分以下两种情况讨论：
- NFA初态唯一，且为S0S_0S0， X=S0X = S_0X=S0
- NFA初态不唯一，则构造一个新状态XXX作为NFA的唯一初态，并通过一条ϵ\epsilonϵ弧指向初态集合S0S_0S0中的任意初态
- 若NFA终态不唯一，则构造一个新状态YYY作为NFA唯一终态，并将NFA中任意终态节点通过ϵ\epsilonϵ弧指向YYY
(2)(2)(2)对NFA的状态转换图做如下等价变化：【图】【书p50】
(3)(3)(3)用CCC表示新状态集合，开始构造状态转换矩阵时，C={T0}C = \{T_0\}C={T0}
(4)(4)(4)根据上表构造状态转换矩阵，对每个Tj=ε−closure(move(Ti,a))T_j = ε-closure( move(T_i, a) )Tj=ε−closure(move(Ti,a))
- 若Tj∉CT_j\notin CTj∈/C，则C={T0,Tj}C = \{T_0, T_j\}C={T0,Tj}, 且TjT_jTj作为新状态加入到状态转换矩阵的新行中
- 若Tj∈CT_j\in CTj∈C，跳过
- 若Tj=ϕT_j = \phiTj=ϕ，TjT_jTj不添加新行（原因：TjT_jTj属于无关状态中的死状态，具体见DFA的化简）
(5)(5)(5)记最后一个状态为TnT_nTn，对T0∼TnT_0 \sim T_nT0∼Tn进行状态重命名，并根据新状态名称重写状态转换矩阵，重写规则如下
- 若原初态X∈Ti原初态X \in T_i原初态X∈Ti， TiT_iTi对应的新状态名就是新DFA的初态S0S_0S0
- 若原终态Y∈Ti原终态Y \in T_i原终态Y∈Ti， TiT_iTi对应的新状态名加入新DFA的终态集合ZZZ
- 对矩阵中的所有TiT_iTi都重命名后，所得的状态转换矩阵就是确定化后的DFA状态矩阵
- III表示当前状态s，IaI_aIa表示输入字母为aaa，矩阵M[s,i]M[s,i]M[s,i]的值就是状态s下输入a的次态o
(6)(6)(6)根据新状态转换矩阵画状态转换图，此时的状态转换图就是确定化之后的DFA图（未化简）

例题 ppt3.3-35（书p50 ex3.3 书图×，看ppt图）、 ppt3.3-37
【gif动图–NFA的确定化】

DFA的化简

综合题型 & 课后习题

给出文法求DFA（求NFA–>转DFA–>DFA化简）
NFA与正规式的互换

3型文法 ↩︎ ↩︎
左线性文法的状态转换图表示 ↩︎
()、|、*、·四种运算运算规则 ↩︎
正规式等价&正规式等价变换 ↩︎
以01结尾的二进制数串：(0∣1)∗01(0|1)^*01(0∣1)∗01 ↩︎
能被5整除的十进制整数：(1∣2∣3∣4∣5∣6∣7∣8∣9)(0∣1∣2∣3∣4∣5∣6∣7∣8∣9)∗(0∣5)(1|2|3|4|5|6|7|8|9)(0|1|2|3|4|5|6|7|8|9)^*(0|5)(1∣2∣3∣4∣5∣6∣7∣8∣9)(0∣1∣2∣3∣4∣5∣6∣7∣8∣9)∗(0∣5) ↩︎
包含奇数个1或奇数个0的二进制数串：(1∗0)(1∗∣01∗0)∣(0∗1)(0∗∣10∗1)(1^*0)(1^*|01^*0)|(0^*1)(0^*|10^*1)(1∗0)(1∗∣01∗0)∣(0∗1)(0∗∣10∗1)。解释：奇数个0与奇数个1的正规式类似，以求奇数个0为例，。。。。 ↩︎
英文字母组成的所有符号串，要求符号串中的字母按照字典序排列：以a~z为例：a∗b∗c∗...z∗a^*b^*c^*...z^*a∗b∗c∗...z∗ ↩︎
答案： ↩︎

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正则文法：描述单词语法的文法

基本定义

正规式与正规集

有限自动机（DFA、NFA）

DFA（确定的有限自动机）

NFA（非确定的有限自动机）

NFA与DFA联系与区别

NFA转DFA（NFA确定化）——子集构造法

DFA的化简

综合题型 & 课后习题

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