【编译原理】龙书第三章作业答案

练习3.1.1：根据3.1.2节中的讨论，将下面的C++程序划分成正确的词素序列。哪些词素应该有相关联的词法值？应该具有什么值？

答案： 左列为词素，右列为值，划分如下：


< float>	值为它本身
<id，limitedSquare>	值为*limitedSquare指针
<(>	标点符号无值
<id，x>	值为*x指针
<)>	标点符号无值
<{>	标点符号无值
< float>	值为它本身
<id，x>	值为*x指针
< return>	值为return
<(>	标点符号无值
<id，x>	值为*x指针
<comparison，<=>	标点符号无值
<number，10.0>	常量值为10.0
<op，" ll ">	标点符号无值
<id，x>	值为*x指针
<comparison，>=>	标点符号无值
<number，10.0> <)>	常量值为10.0
<op，”?”>	值为判断是否相等
<number，100>	常量值为100
<op，”:”>	无值
<id，x>	值为*x指针
<op，”*”>	无值
<id，x>	值为*x指针
<op，”;”>	无值
<}>	标点符号无值

练习3.1.2：像HTML或XML之类的标记语言不同于传统的程序设计语言，它们要么包含有很多标点符号（标记），如HTML，要么使用由用户自定义的标记集合，如XML。而且标记还可以带有参数。请指出如何把如下的HTML文档划分为适当的词素序列。哪些词素应该有相关联的词法值？应该具有什么值？

答案：


常量	”Here is a photo of”， ”My house”， ”See”， ”More Pictures”， ”if you liked that one”
变量	B，P，IMG，SRC，BR，A，HREF
标点符号	=，<，>，/

其中，常量的值为所存在内存单元中的值；符号没有对应的值；关键字的值为它们本身。

练习3.1.2：试描述下列正则表达式定义的语言

答案：

1）以a开头和结尾的零个或多个a或b组成的串的组合。

2）零个或多个a或b组成的串的组合。

3）结尾倒数第三个是a的零个或多个a或b组成的串的组合。

4）由三个b和零个或多个a组成的串的组合。

5）偶数个a或b组成的串的组合。

练习3.3.5：试描述下列正则表达式定义的语言

答案：
1）设σ=[b-df-hj-np-tv-z]，也就是除了所有元音以外的小写字母串。所以该题语言的正则定义是：σ* a(σ|a)*e(σ|e)*i(σ|i)*o(σ|o)*u(σ|u) *

2）a * b * … z *

3）由于串中字符串只可能是以下两种情况：
（i）除了 * / 以外的所有字符；
（ii）“ * /”。考虑用或符号 ” | ” 来描述上述情况。
为了使其描述更多合法字符，再将它描述为闭包 ” * ”。再结合首尾分别规定为：”/ * ”和 ” * /”，所以正则表达式如下（注：” / ” 前和 ” * ” 前必须加多一个 “ \ ”）：
\ / \ * ((^\ * \ / )|(“ * /”)) * \ * \ /

9）(b*a * )|(b * a * ba * )

练习3.3.11: UNIX的shell命令sh在文件名表达式中使用图3-9中的运算符来描述文件名的集合。例如，文件名表达式*.o和所有以.0结束的文件名匹配;sort1.?和所有形如sort1.c的文件名匹配，其中c可以是任何字符。试问如何使用只包含并、连接和闭包运算符的正则表达式来表示sh文件名表达式?

答案： 首先设name为所有可以做文件名的字符，前缀一定为可做文件名的字符，然后可以为?*\的字面字符，点号“.”之后也是一样的：
[name\ * \ ?? ’\’].[ name \ * \ ??’\’]

练习3.4.1: 给出识别练习3.3.2中各个正则表达式所描述的语言的状态转换图

答案：
1）

2）

3）该小题较复杂，为了确保思路清晰，首先作出如下所示的NFA图像：

其次将这个NFA进一步转换得到状态转移图（也是某种意义上的DFA）：

4）为了确保思路清晰，首先作出如下所示的NFA图像：

其次将这个NFA进一步转换得到状态转移图（也是某种意义上的DFA）：

5）这个字符串可以看作是(aa|bb) * 和（（ab|ba）(aa|bb) * （ab|ba）(aa|bb)* ）*两个闭包连接而成的而在画第二个大闭包的各个组成部分的时候，最后一部分(aa|bb) * 与第一部分的闭包完全相同，所以可以转换到第一部分从而形成闭包，具体状态转移图如下所示：

练习3.4.2：给出识别练习3.3.5中各个正则表达式所描述的语言的状态转换图。

答案：
1）σ * a(σ | a) * e(σ | e) * i(σ | i) * o(σ | o) * u(σ | u) *

2）a * b * … z *

3）\ / \ * ((^\ * \ / ) | (“ * / ”)) * \ * \ /
（注：在符号 ’ * ’ 和 ’ / ’ 之前加符号 ’ \ ’ 是为了使该符号正常被接收而不被当作换行符或其他处理，并没有实际意义）

9）( b * a * )( ε | b a * )

练习3.6.2：为练习3.3.5中的每一个语言设计一个DFA或NFA。

答案：
1）σ * a(σ | a) * e(σ | e) * i(σ | i) * o(σ | o) * u(σ | u) * 的NFA如下所示：

2）a * b * … z * 的NFA如下所示：

q₀={s₀,s₁,s₃,s₄,…,s₇₈}，q₁={s₁,s₂,s₃,s₄,…,s₇₈}，其他状态可以类推，故DFA如下：

3）\ / \ * ((^\ * \ / ) | (“ * / ”)) * \ * \ / （注：在符号’*’和’/’之前加符号’\’是为了使该符号正常被接收而不被当作换行符或其他处理，并没有实际意义）

9）( b * a * )( ε | b a * )的NFA如下图所示：

练习3.6.3：找出图3-29所示的NFA中所有标号为aabb的路径。这个NFA接受aabb吗？

答案： NFA中所有标号为aabb的路径为：

所以这个NFA接受aabb。

练习3.6.4：对于图3-30的NFA，重复练习3.6.3。

答案： NFA中所有标号为aabb的路径为：

所以这个NFA接受aabb。

练习3.7.1：将下列图中的NFA转换成DFA。

答案：
1）

q₀={s₀,s₁,s₃}，q₁={s₂}，q₂={s₄}，作出如下状态转移表：

	a	b
q₀	q₁	q₂
q₁	q₁	NULL
q₂	NULL	q₂

所以DFA如下所示：

2）

q₀={s₀}，q₁={s₀,s₁}，q₂={s₀,s₁,s₂}，q₃={s₀,s₁,s₂,s₃}，作出如下状态转换表：

	a	b
q₀	q₁	q₀
q₁	q₂	q₁
q₂	q₂	q₃
q₃	q₂	q₃

所以DFA如下所示：

3）

q₀={s₀,s₁,s₂,s₃}，作出如下状态转移表：

	a	b
q₀	q₀	q₀

所以DFA如下所示：

练习3.7.3：使用算法3.23和3.20将下列正则表达式转换成DFA。

答案： 使用算法3.23（即：Thompson算法）和算法3.20（即：子集构造算法）转换如下：
1）NFA如下所示：

列出状态转移表：

	a	b
q₀	q₁	q₂
q₁	q₁	q₂
q₂	q₁	q₂

所以DFA如下所示：

2）NFA如下所示：

q₀={s₀,s₁,s₂,s₃,s₅,s₆,s₇,s₉,s₁₀,s₁₁}，
q₁={s₁,s₂,s₃,s₄,s₅,s₆,s₇,s₉,s₁₀,s₁₁}，
q₂={s₁,s₂,s₃,s₅,s₆,s₇,s₈,s₉,s₁₀,s₁₁}，
列出状态转移表：

	a	b
q₀	q₁	q₂
q₁	q₁	q₂
q₂	q₁	q₂

所以DFA如下所示：

3）NFA如下所示：

q₀={s₀,s₁,s₂,s₃,s₄,s₆,s₇,s₈,s₁₀,s₁₁}，
q₁={s₁,s₂,s₃,s₄,s₅,s₆,s₇,s₈,s₁₀,s₁₁}，
q₂={s₁,s₂,s₃,s₅,s₆,s₇,s₈,s₉,s₁₀,s₁₁}，
列出状态转移表：

	a	b
q₀	q₁	q₂
q₁	q₁	q₂
q₂	q₁	q₂

所以DFA如下所示：

4）NFA如下所示：

q₀={s₀,s₁,s₂,s₄,s₇}，
q₁={s₁,s₂,s₃,s₆,s₇,s₈}，
q₂={s₁,s₂,s₄,s₅,s₆,s₇}，
q₃={s₁,s₂,s₄,s₅,s₆,s₇,s₉}，
q₄={s₁,s₂,s₄,s₅,s₆,s₇,s₁₀,s₁₁,s₁₂,s₁₃,s₁₅,s₁₈}，
q₅={s₁,s₂,s₃,s₄,s₆,s₇,s₈,s₁₁,s₁₂,s₁₃,s₁₄,s₁₅,s₁₇,s₁₈}，
q₆={s₁,s₂,s₄,s₅,s₆,s₇,s₈,s₁₁,s₁₂,s₁₄,s₁₆,s₁₇,s₁₈}，
q₇={s₁,s₂,s₄,s₅,s₆,s₇,s₉,s₁₁,s₁₂,s₁₅,s₁₆,s₁₇,s₁₈}，
q₈={s₁,s₂,s₄,s₅,s₆,s₇,s₁₀,s₁₁,s₁₂,s₁₅,s₁₆,s₁₇,s₁₈}，
列出状态转移表：

	a	b
q₀	q₁	q₂
q₁	q₁	q₃
q₂	q₁	q₂
q₃	q₁	q₄
q₄	q₅	q₆
q₅	q₅	q₆
q₆	q₅	q₆

所以DFA如下所示：

练习3.9.4：为下列的正则表达式构造最少状态DFA：

答案：
1）NFA如下所示：

q₀={s₀,s₁,s₂,s₄,s₇}，
q₁={s₁,s₂,s₃,s₄,s₆,s₇,s₈,s₉,s₁₁}，
q₂={s₁,s₂,s₄,s₅,s₆,s₇}，
q₃={s₁,s₂,s₃,s₄,s₆,s₇,s₈,s₉,s₁₀,s₁₁,s₁₃}，
q₄={s₁,s₂,s₄,s₅,s₆,s₇,s₁₂,s₁₃}，
列出状态转移表：

	a	b
q₀	q₁	q₂
q₁	q₃	q₄
q₂	q₁	q₂
q₃	q₃	q₄
q₄	q₁	q₂

所以DFA如下所示：

首先把所有状态分为非终结状态集 {q₀,q₁,q₂} 和终结状态集 {q₃,q₄} ，然后逐步对他们进行切分，切分的条件是如果接收某一字符后到达不同状态则切分为两个集合。首先，q₁ 接收字符 a 后会到达 q₃ ，也就是终结状态集中，和其他两个状态接收a后仍然在非终结状态集中不一样，所以切分为：A {q₀,q₂} 和 B {q₁} 。而 q₄ 接收字符 a 后会到达 q₂ ，也就是非终结状态集中，和其他 q₄ 接收b后仍然在非终结状态集中不一样，所以切分为：C {q₃} 和 D {q₄} 。得到最少DFA如下所示：

2）NFA如下所示：

q₀={s₀,s₁,s₂,s₄,s₇}，
q₁={s₁,s₂,s₃,s₄,s₆,s₇,s₈,s₉,s₁₁}，
q₂={s₁,s₂,s₄,s₅,s₆,s₇}，
q₃={s₁,s₂,s₃,s₄,s₆,s₇,s₈,s₉,s₁₀,s₁₁,s₁₃,s₁₄,s₁₆}，
q₄={s₁,s₂,s₄,s₅,s₆,s₇,s₁₂,s₁₃,s₁₄,s₁₆}，
q₅={s₁,s₂,s₃,s₄,s₆,s₇,s₈,s₉,s₁₀,s₁₁,s₁₃,s₁₄,s₁₅,s₁₆,s₁₈}，
q₆={s₁,s₂,s₄,s₅,s₆,s₇,s₁₂,s₁₃,s₁₄,s₁₆,s₁₇,s₁₈}，
q₇={s₁,s₂,s₃,s₄,s₆,s₇,s₈,s₉,s₁₁,s₁₅,s₁₈}，
q₈={s₁,s₂,s₃,s₄,s₆,s₇,s₁₇,s₁₈}，
作出如下状态转移表：

	a	b
q₀	q₁	q₂
q₁	q₃	q₄
q₂	q₁	q₂
q₃	q₅	q₆
q₄	q₇	q₈
q₅	q₅	q₆
q₆	q₇	q₈
q₇	q₅	q₄
q₈	q₁	q₂

所以DFA如下所示：

首先把所有状态分为非终结状态集 {q₀,q₁,q₂,q₃,q₄} 和终结状态集 {q₅,q₆,q₇,q₈} ，然后逐步对他们进行切分，切分的条件是如果接收某一字符后到达不同状态则切分为两个集合。其中，q₃ 和 q₄ 接收字符a、b后会到达终结状态集中，和其他两个状态接收a、b后仍然在非终结状态集中不一样，所以切分为：{q₀,q₁,q₂} 和 {q₃,q₄} 。接着对集合 {q₀,q₁,q₂} 作划分，q₀ 接收a、b后的转移状态和 q₂ 一样，q₁ 则不同，所以将 {q₀,q₁,q₂} 集合切分为：{q₀,q₁} 和 {q₂} 。一直按这个原则重复上述步骤，最后切分结果为：A{q₀,q₂} ，B{q₁} ，C{q₃}，D{q₄}， E{q₅}，F{q₆}，G{q₇}，H{q₈}，得到最少DFA如下所示：

3）NFA如下所示：

q₀={s₀,s₁,s₂,s₄,s₇}，
q₁={s₁,s₂,s₃,s₄,s₆,s₇,s₈,s₉,s₁₁}，
q₂={s₁,s₂,s₄,s₅,s₆,s₇}，
q₃={s₁,s₂,s₃,s₄,s₆,s₇,s₈,s₉,s₁₀,s₁₁,s₁₃,s₁₄,s₁₆}，
q₄={s₁,s₂,s₄,s₅,s₆,s₇,s₁₂,s₁₃,s₁₄,s₁₆}，
q₅={s₁,s₂,s₃,s₄,s₆,s₇,s₈,s₉,s₁₀,s₁₁,s₁₃,s₁₄,s₁₅,s₁₆,s₁₈,s₁₉,s₂₁}，
q₆={s₁,s₂,s₄,s₅,s₆,s₇,s₁₂,s₁₃,s₁₄,s₁₆,s₁₇,s₁₈,s₁₉,s₂₁}，
q₇={s₁,s₂,s₃,s₄,s₆,s₇,s₈,s₉,s₁₁,s₁₅,s₁₈,s₁₉,s₂₁}，
作出如下状态转移表：

	a	b
q₀	q₁	q₂
q₁	q₃	q₄
q₂	q₁	q₂
q₃	q₅	q₆
q₄	q₇	q₈
q₅	q₉	q₁₀
q₆	q₁₁	q₁₂
q₇	q₃	q₄
… …	… …	… …

（表格篇幅过大不一一列举，依照同一步骤完成整个状态转移表即可）
所以DFA如下所示：

首先把所有状态分为非终结状态集 {q₀,q₁,q₂,q₃,q₄,q₅,q₆,q₇,q₈} 和终结状态集 {q₉,q₁₀,q₁₁,q₁₂,q₁₃,q₁₄,q₁₅,q₁₆} ，然后逐步对他们进行切分，切分的条件是如果接收某一字符后到达不同状态则切分为两个集合。一直按这个原则重复上述步骤，最后切分结果为：A{q₀,q₂} ，B{q₁} ，C{q₃}，D{q₄}， E{q₅}，F{q₆}，G{q₇}，H{q₈}，I{q₉} ，J{q₁₀}，K{q₁₁}， L{q₁₂}，M{q₁₃}，N{q₁₄}，O{q₁₅}，P{q₁₆}，得到最少DFA如下所示：
根据画出三个小问的最少状态DFA图，我总结出如下规律：

每个DFA图的q₀和q₂都可以合并从而得到最少状态DFA；
序号最大的接受状态都是输入a指向B，输入b指向A。所以最小 DFA 都首尾相连；
DFA中节点的个数呈现指数倍增长。