本文属于「离散数学」系列文章之一。这一系列着重于离散数学的学习和应用。由于内容随时可能发生更新变动，欢迎关注和收藏离散数学系列文章汇总目录一文以作备忘。此外，在本系列学习文章中，为了透彻理解数学知识，本人参考了诸多博客、教程、文档、书籍等资料。以下是本文的不完全参考目录，在后续学习中还会逐渐补充：

（国外经典教材）离散数学及其应用第七版 Discrete Mathematics and Its Applications 7th ，作者是 Kenneth H.Rosen ，袁崇义译，机械工业出版社

离散数学第二版，武波等编著，西安电子科技大学出版社，2006年

离散数学第三版，方世昌等编著，西安电子科技大学出版社，2013年

（经典参考书及其题解）离散数学/离散数学——理论•分析•题解，左孝凌、李为鉴、刘永才编著，上海科学技术文献出版社

离散数学习题集：数理逻辑与集合论分册，耿素云；图论分册，耿素云；抽象代数分册，张立昂。北京大学出版社

文章目录

4.1 函数
- 4.1.1 函数的定义
- 4.1.2 递归定义的函数

4.1 函数

高等数学中从变量的角度提出了函数的概念，而且是在实数集合上讨论函数，这种函数一般是连续或间断连续的。现在，我们将连续函数的概念，推广到离散变量上，即将函数看作一种特殊的二元关系。这时，我们之前讨论的有关集合或关系的运算和性质，也完全适用于函数。

函数的概念，在日常生活和计算机科学中都非常重要，各种高级编程语言中大量使用函数，而计算机的任何输出，都可看做是某个函数作用于某些输入上的结果。

4.1.1 函数的定义

定义4.1.1 设 XXX 和 YYY 是集合，fff 是从 XXX 到 YYY 上的二元关系，如果对于每个 x∈Xx \in Xx∈X 都有唯一的 y∈Yy \in Yy∈Y ，使得 ⟨x,y⟩∈f\langle x, y\rangle \in f⟨x,y⟩∈f ，则称 fff 为从 XXX 到 YYY 的函数 a function from X to Y ，记为f:X→Yf: X \to Yf:X→Y 。函数的形式化定义为：
f:X→Y⇔∀x(x∈X→∃y(y∈Y∧⟨x,y⟩∈f∧∀z(z∈Y∧⟨x,z⟩∈f→y=z)))f: X \to Y \Lrarr \forall x(x \in X \to \exist y(y \in Y \land \langle x, y\rangle \in f \land \forall z (z \in Y \land \langle x, z \rangle \in f \to y = z)))f:X→Y⇔∀x(x∈X→∃y(y∈Y∧⟨x,y⟩∈f∧∀z(z∈Y∧⟨x,z⟩∈f→y=z)))

函数又称作映射 mapping 或变换 transformation 。

定义4.1.2 设 fff 为从集合 XXX 到 YYY 的函数，任取 x∈Xx \in Xx∈X ，若 ⟨x,y⟩∈f\langle x, y\rangle \in f⟨x,y⟩∈f ，则称 yyy 为在 fff 下 xxx 的函数值 value 或像 image ，记为 f(x)=yf(x) = yf(x)=y ，而 xxx 则称为 yyy 的原像 preimage 。若 X′⊆XX' \subseteq XX′⊆X ，称 f(X′)={f(x)∣x∈X′}f(X') = \{ f(x) \mid x \in X'\}f(X′)={f(x)∣x∈X′} 为函数 fff 下 X′X'X′ 的像。特别地，称整个前域 XXX 的像 f(X)f(X)f(X) 为函数的值域。

设 fff 为从集合 XXX 到 YYY 的函数，下图描述了函数 fff 的基本特征。其中函数 fff 的前域 XXX 为集合 XXX ，陪域为集合 YYY ，函数 fff 的定义域 domf=X\textrm{dom} f = Xdomf=X ，值域 ranf=f(X)={f(x)∣x∈X}\textrm{ran} f = f(X) = \{ f(x) \mid x \in X\}ranf=f(X)={f(x)∣x∈X} ，显然有 ranf⊆f\textrm{ran} f \subseteq franf⊆f 。

XXX 到 YYY 的函数实质上是一个从 XXX 到 YYY 的二元关系，反过来则不一定，从 XXX 到 YYY 的二元关系不一定是 XXX 到 YYY 的函数。区别于一般二元关系，函数有以下两个特征：

（点点有定义）函数 fff 的定义域 domf=X\textrm{dom}f = Xdomf=X （即函数的定义域是 XXX ，而不能是 XXX 的某个真子集）；
（值唯一性/单值性）对于每个 x∈Xx \in Xx∈X ，在 YYY 中有且仅有唯一的一个元素 yyy ，满足 ⟨x,y⟩∈f\langle x, y \rangle \in f⟨x,y⟩∈f ，即对 y1,y2∈Yy_1, y_2 \in Yy1,y2∈Y ，有
f(x)=y1∧f(x)=y2⇒y1=y2f(x) = y_1 \land f(x) = y_2 \Rarr y_1 = y_2f(x)=y1∧f(x)=y2⇒y1=y2

一个关于某个具体函数的描述，如果满足函数的定义，则称这个函数描述是良定义的 well defined 。

【例1】判断下图所示的四个关系中，哪些能构成函数。

解：(a)不是函数，因为 x2x_2x2 没有像；(b)也不是函数，因为 x2x_2x2 有两个像；其他两个都是函数。

【例2】判断下列关系中，哪些能构成函数。
（1）fff 是 N\NN 上的二元关系，且 f={⟨x1,x2⟩∣x1,x2∈N,x1+x2<10}f = \{ \langle x_1, x_2 \rangle \mid x_1, x_2 \in \N,\ x_1 + x_2 < 10\}f={⟨x1,x2⟩∣x1,x2∈N, x1+x2<10}
（2）fff 是 R\RR 上的二元关系，且 f={⟨y1,y2⟩∣y1,y2∈R,y22=y1}f = \{ \langle y_1, y_2 \rangle \mid y_1, y_2 \in \R,\ y_2^2 = y_1 \}f={⟨y1,y2⟩∣y1,y2∈R, y22=y1}
（3）fff 是 N\NN 上的二元关系，且 f={⟨x1,x2⟩∣x1,x2∈N,x2为小于x1的素数个数}f = \{ \langle x_1, x_2 \rangle \mid x_1, x_2 \in \N, \ x_2为小于x_1的素数个数\}f={⟨x1,x2⟩∣x1,x2∈N, x2为小于x1的素数个数}
解：
（1）不能，因为 domf≠N\textrm{dom}f \ne \Ndomf=N ，且存在 x1x_1x1 对应多个 x2x_2x2 。
（2）不能。若 y1>0y_1 > 0y1>0 ，则 y2y_2y2 可取 ±y1\pm \sqrt{y_1}±y1 两个元素；若 y1<0y_1 < 0y1<0 ，则 y2y_2y2 无解。
（3）能，因为 domf=N\textrm{dom}f = \Ndomf=N ，且对每个 x1∈Nx_1 \in \Nx1∈N 都有唯一的元素 x2∈Nx_2 \in \Nx2∈N 与之对应。

【例3】以下哪些关于函数的描述是良定义的？
（1）f:N→Q,f(x)=1xf: \N \to \mathbb{Q},\ f(x) = \dfrac{1}{x}f:N→Q, f(x)=x1
（2）g:{1,2,3}→{p,q,r},g={⟨1,q⟩,⟨2,r⟩,⟨3,p⟩}g:\{1, 2, 3\} \to \{ p, q, r\},\ g = \{ \langle 1, q\rangle, \langle 2, r\rangle, \langle 3, p\rangle \}g:{1,2,3}→{p,q,r}, g={⟨1,q⟩,⟨2,r⟩,⟨3,p⟩}
（3）f:N→Z,(f(x))2=x+1f: \N \to \Z,\ (f(x))^2 = x + 1f:N→Z, (f(x))2=x+1
（4）h:R×R→R×R,h(⟨x,y⟩)=⟨y+1,x+1⟩h: \R \times \R \to \R \times \R,\ h(\langle x, y\rangle) = \langle y + 1, x + 1\rangleh:R×R→R×R, h(⟨x,y⟩)=⟨y+1,x+1⟩
解：
（1）不是良定义的，它在 000 处无定义。
（2）是良定义的；
（3）不是良定义的，每个 x∈Nx \in \Nx∈N 存在 ±x+1\pm \sqrt{x+1}±x+1 两个元素与之对应；
（4）是良定义的。

设 X,YX, YX,Y 都是有限集合，且有 ∣X∣=m,∣Y∣=n|X| = m, |Y| = n∣X∣=m,∣Y∣=n 。根据函数的定义，对于集合 XXX 中的每个元素，在 YYY 中有且仅有一个元素与之对应。考虑这样一类 XXX 到 YYY 的二元关系 fff ：
f={⟨x1,□⟩,⟨x2,□⟩,…,⟨xm,□⟩}f = \{ \langle x_1, \Box\rangle, \langle x_2, \Box\rangle, \dots, \langle x_m, \Box\rangle \}f={⟨x1,□⟩,⟨x2,□⟩,…,⟨xm,□⟩}

对于每个 □\Box□ 所在的位置，可用集合 YYY 中的任何一个元素替代，即有 nnn 种不同的取法，这样的组合共有 nmn^mnm 种，因此 XXX 到 YYY 上有 2m×n2^{m\times n}2m×n 种不同的二元关系，却只有 nmn^mnm 个不同的函数。一般来说，我们用 YXY^XYX 表示 XXX 到 YYY 的所有函数构成的集合，即 YX={f∣f:X→Y}Y^X = \{ f\mid f: X\to Y\}YX={f∣f:X→Y} ，且 ∣YX∣=nm=∣Y∣∣X∣|Y^X| = n^m = |Y|^{|X|}∣YX∣=nm=∣Y∣∣X∣ 。

定义4.1.3 f:A→B,g:C→Df: A\to B,\ g: C\to Df:A→B, g:C→D ，如果 A=C,B=DA = C, B = DA=C,B=D ，且对于所有的 x∈Ax \in Ax∈A ，有 f(x)=g(x)f(x) = g(x)f(x)=g(x) ，则称函数 fff 和 ggg 相等 ，记为 f=gf = gf=g 。

由定义4.1.3可见，「函数相等的定义」与「关系相等的定义」是一致的，它们都要求相同的前域与陪域和相同的对应关系。如函数 f1:I→I,f1(x)=x2f_1 : I \to I,\ f_1(x)= x^2f1:I→I, f1(x)=x2 和函数 f2:{1,2,3}→I,f2(x)=x2f_2: \{1, 2, 3\} \to I,\ f_2(x)= x^2f2:{1,2,3}→I, f2(x)=x2 ，它们是两个不同的函数。

定义4.1.4 当函数 fff 的前域 XXX 是 nnn 个集合的笛卡尔积时，即 X=⨉i=1nXiX = \displaystyle ⨉^n_{i = 1} X_iX=⨉i=1nXi 时，称 fff 为 nnn 元函数，⟨x1,x2,…,xn⟩∈X\langle x_1, x_2, \dots, x_n \rangle \in X⟨x1,x2,…,xn⟩∈X ，在函数 fff 下的映像记为 f(x1,x2,…,xn)f(x_1, x_2, \dots, x_n)f(x1,x2,…,xn) 。

【例4】设函数 f:N×N→Nf: \N\times \N \to \Nf:N×N→N ，f(x,y)=x+2y+1f(x, y) = x+ 2y + 1f(x,y)=x+2y+1 。
（1）求 ⟨2,0⟩\langle 2, 0\rangle⟨2,0⟩ 在函数 fff 下的像；
（2）求 domf\textrm{dom}fdomf 和 ranf\textrm{ran}franf 。
解：
（1）f(2,0)=2+2×0+1=3f(2, 0) = 2 + 2 \times 0 + 1 = 3f(2,0)=2+2×0+1=3 .
（2）domf=N×N\textrm{dom}f = \N \times \Ndomf=N×N ，不存在 ⟨x,y⟩∈N×N\langle x, y\rangle \in \N \times \N⟨x,y⟩∈N×N 使得 f(x,y)=0f(x, y) = 0f(x,y)=0 ，则 ranf=Z+\textrm{ran}f = \Z^+ranf=Z+ .

4.1.2 递归定义的函数

当函数的前域是用归纳定义的集合时，可以采用递归定义 recursive definitions 的方法定义函数。递归定义的规则是：用「已知元素的函数值」和「给定的函数」，计算新元素的函数值。

特别地，递归定义的函数不一定是归纳的，因为归纳法要求从较小元素的函数值确定较大元素的函数值，而递归定义则不一定遵守这种顺序。

【例5】给出自然数集合 N\NN 上的阶乘函数 f(n)=n!f(n) = n!f(n)=n! 的递归定义。
解：设 f:N→Nf: \N \to \Nf:N→N 。
（a）（基础）f(0)=1f(0) = 1f(0)=1 .
（b）（归纳）n∈N,f(n+1)=(n+1)f(n)n \in \N,\ f(n + 1) = (n + 1)f(n)n∈N, f(n+1)=(n+1)f(n) .

【例6】给出自然数集合 N\NN 上的斐波那契函数的递归定义。
解：设 f:N→Nf: \N \to \Nf:N→N 是斐波那契函数。
（a）（基础）f(0)=0,f(1)=1f(0) = 0,\ f(1) = 1f(0)=0, f(1)=1 .
（b）（归纳）n∈N,f(n+2)=f(n+1)+f(n)n \in \N,\ f(n + 2) = f(n + 1) + f(n)n∈N, f(n+2)=f(n+1)+f(n) .

【例7】以下是麦卡锡91函数，它是递归定义的。设 f:N→Nf: \N \to \Nf:N→N ，已知
f(x)={x−10if x>100f(f(x+11))if 0≤x≤100f(x) = \begin{cases} x - 10 \quad& \textrm{if}\ x > 100 \\ f(f(x+11)) \quad& \textrm{if}\ 0 \le x \le 100 \end{cases} f(x)={x−10f(f(x+11))if x>100if 0≤x≤100

求 fff 的函数值。
解：由题意可知：f(90)=f(f(101))=f(91)=f(f(102))=f(92)=⋯=f(99)=f(f(110))=f(100)=f(f(111))=f(101)=91f(90) = f(f(101)) = f(91) = f(f(102)) = f(92) = \dots = f(99) \\ = f(f(110)) = f(100) = f(f(111)) = f(101) = 91f(90)=f(f(101))=f(91)=f(f(102))=f(92)=⋯=f(99)=f(f(110))=f(100)=f(f(111))=f(101)=91 因此：

当 90≤x≤10090 \le x \le 10090≤x≤100 时有 f(x)=91f(x) = 91f(x)=91 。
当 0≤x<900 \le x \lt 900≤x<90 时，存在 k∈Z+k \in \Z^+k∈Z+ ，使得 90≤x+11k≤10090 \le x + 11k \le 10090≤x+11k≤100 ，因此 f(x)=f(f(x+11))=⋯=fk+1(x+11k)=fk(f(x+11k))f(x) = f(f(x + 11)) = \dots = f^{k+1} (x+ 11k) = f^k(f(x + 11k))f(x)=f(f(x+11))=⋯=fk+1(x+11k)=fk(f(x+11k)) 因为 90≤x+11k≤10090 \le x + 11k \le 10090≤x+11k≤100 ，所以 f(x+11k)=91f(x + 11k) = 91f(x+11k)=91 ，故 f(x)=fk(f(x+11k))=fk(91)=fk−1(f(91))=fk−1(91)=⋯=f(91)=91f(x) = f^k (f(x + 11k)) = f^k(91) = f^{k - 1} (f(91)) = f^{k - 1}(91) = \dots = f(91) = 91f(x)=fk(f(x+11k))=fk(91)=fk−1(f(91))=fk−1(91)=⋯=f(91)=91

综上可得：
f(x)={x−10if x>10091if 0≤x≤100f(x) = \begin{cases} x - 10 \quad& \textrm{if}\ x > 100 \\ 91 \quad& \textrm{if}\ 0 \le x \le 100 \end{cases}f(x)={x−1091if x>100if 0≤x≤100

【例8】阿克曼函数 Ackerman f:N2→Nf: \N^2 \to \Nf:N2→N 的递归定义如下：
{f(0,n)=n+1if n≥0f(m,0)=f(m−1,1)if m>0f(m,n)=f(m−1,f(m,n−1))if m>0,n>0\begin{cases} f(0, n) = n + 1 \quad& \textrm{if}\ n \ge 0 \\ f(m, 0) = f(m - 1, 1) \quad& \textrm{if}\ m > 0\\ f(m, n) = f(m - 1, f(m, n - 1)) \quad& \textrm{if}\ m > 0, n > 0 \end{cases} ⎩⎪⎨⎪⎧f(0,n)=n+1f(m,0)=f(m−1,1)f(m,n)=f(m−1,f(m,n−1))if n≥0if m>0if m>0,n>0

（1）求 f(2,1)f(2, 1)f(2,1) .
（2）证明 f(2,n)=2n+3f(2, n) = 2n + 3f(2,n)=2n+3 .
解：（1）
① f(2,1)=f(1,f(2,0))f(2, 1)= f(1, f(2, 0))f(2,1)=f(1,f(2,0))
② f(2,0)=f(1,1)f(2, 0) = f(1, 1)f(2,0)=f(1,1)
③ f(1,1)=f(0,f(1,0))f(1, 1) = f(0, f(1, 0))f(1,1)=f(0,f(1,0))
④ f(1,0)=f(0,1)=2f(1, 0) = f(0, 1) = 2f(1,0)=f(0,1)=2
⑤ f(1,1)=f(0,2)=3f(1, 1) = f(0, 2) = 3f(1,1)=f(0,2)=3
⑥ f(2,0)=3f(2, 0) = 3f(2,0)=3
⑦ f(2,1)=f(1,3)f(2, 1) = f(1, 3)f(2,1)=f(1,3)
⑧ f(1,3)=f(0,f(1,2))f(1, 3) = f(0, f(1, 2))f(1,3)=f(0,f(1,2))
⑨ f(1,2)=f(0,f(1,1))=f(0,3)=4f(1, 2) = f(0, f(1, 1)) = f(0, 3) = 4f(1,2)=f(0,f(1,1))=f(0,3)=4
⑩ f(1,3)=f(0,4)=5f(1, 3) = f(0, 4) = 5f(1,3)=f(0,4)=5
⑪ f(2,1)=5f(2, 1) = 5f(2,1)=5
（2）证明如下：
① 当 m=0,n≥0m = 0, n\ge 0m=0,n≥0 时，f(0,n)=n+1f(0, n) = n + 1f(0,n)=n+1 。
② 当 m=1m = 1m=1 时，有

若 n=0n = 0n=0 ，则 f(1,0)=f(0,1)=2f(1, 0) = f(0, 1) = 2f(1,0)=f(0,1)=2 ；
若 n=1n = 1n=1 ，则 f(1,1)=f(0,f(1,0))=f(1,0)+1=3f(1, 1) = f(0, f(1, 0)) = f(1, 0) + 1 = 3f(1,1)=f(0,f(1,0))=f(1,0)+1=3 ；

假设 n=k(k≥1)n = k\ (k \ge 1)n=k (k≥1) 时，有 f(1,k)=k+2f(1, k) = k + 2f(1,k)=k+2 。若 n=k+1n = k + 1n=k+1 ，则 f(1,k+1)=f(0,f(1,k))=f(1,k)+1=(k+2)+1=(k+1)+2f(1, k+1) = f(0, f(1, k)) = f(1, k) + 1 = (k + 2) + 1= (k+1)+2f(1,k+1)=f(0,f(1,k))=f(1,k)+1=(k+2)+1=(k+1)+2 因此，当 m=1m = 1m=1 时有 f(1,n)=n+2f(1, n) = n + 2f(1,n)=n+2 。

③ 当 m=2m = 2m=2 时，有

若 n=0n = 0n=0 ，则 f(2,0)=f(1,1)=3=2×0+3f(2, 0) = f(1, 1) = 3 = 2 \times 0 + 3f(2,0)=f(1,1)=3=2×0+3
若 n=1n = 1n=1 ，则 f(2,1)=f(1,f(2,0))=f(1,3)=5=2×1+3f(2, 1) = f(1, f(2, 0)) = f(1, 3) = 5 = 2 \times 1 + 3f(2,1)=f(1,f(2,0))=f(1,3)=5=2×1+3

假设 n=k(k≥1)n = k\ (k \ge 1)n=k (k≥1) 时，有 f(2,k)=2k+3f(2, k) = 2k + 3f(2,k)=2k+3 。若 n=k+1n = k + 1n=k+1 ，则
f(2,k+1)=f(1,f(2,k))=f(2,k)+2=2k+3+2=2(k+1)+3f(2, k + 1) = f(1, f(2, k)) = f(2, k) + 2 = 2k + 3 + 2 = 2(k + 1) + 3f(2,k+1)=f(1,f(2,k))=f(2,k)+2=2k+3+2=2(k+1)+3

因此，当 m=2m = 2m=2 时有 f(2,n)=2n+3f(2, n) = 2n+3f(2,n)=2n+3 。

不过，当 m=3m = 3m=3 时，f(3,n)=2n+3−3f(3, n) = 2^{n + 3} - 3f(3,n)=2n+3−3 ——这一规律就不是那么好发现的。总的来说，假设 mmm 为层数（主序，即认为每一层 mmm 确定、nnn 变化），nnn 为列数：

f(0,n)=n+1f(0, n) = n +1f(0,n)=n+1 给出了 m=0m = 0m=0 时的归纳基础（最基础的归纳边界）；

f(m,0)=f(m−1,1)f(m, 0) = f(m - 1, 1)f(m,0)=f(m−1,1) 给出了 m>0,n=0m > 0, n = 0m>0,n=0 时 f(m,0)f(m, 0)f(m,0) 对上一层函数的依赖（归纳）；

f(m,n)=f(m−1,f(m,n−1))f(m, n) = f(m - 1, f(m, n - 1))f(m,n)=f(m−1,f(m,n−1)) 给出了 m>0,n>0m > 0, n > 0m>0,n>0 时 f(m,n)f(m, n)f(m,n) 对前式和上一层函数的依赖（归纳）

在归纳定义的集合上进行函数的递归定义时，所得未必是一个函数，特别是当前域的归纳定义使得某些元素可由多种方法构造时，更容易出现这种情况。因此，用递归定义函数时，常需要证明这个函数定义是良定义的。

【例9】设 Σ={a,b,c}\Sigma = \{a, b, c\}Σ={a,b,c} ，集合 Σ+\Sigma^+Σ+ 的定义如下：
（1）（基础）a∈Σ+,b∈Σ+,c∈Σ+a \in \Sigma^+,\ b \in \Sigma^+,\ c\in \Sigma^+a∈Σ+, b∈Σ+, c∈Σ+ 。
（2）（归纳）如果 x∈Σ+,y∈Σ+x \in \Sigma^+,\ y \in \Sigma^+x∈Σ+, y∈Σ+ ，那么 xy∈Σ+xy \in \Sigma^+xy∈Σ+ 。
（3）（极小性）∑+\sum^+∑+ 是满足条款(1)、(2)的最小集合。
设 fff 是从 Σ+\Sigma^+Σ+ 到自然数集合 N\NN 上的一个函数，fff 的递归定义如下：
（a）（基础）f(a)=2,f(b)=1,f(c)=3f(a) = 2, f(b) = 1, f(c) = 3f(a)=2,f(b)=1,f(c)=3 。
（b）（归纳）x,y∈Σ+x,y \in \Sigma^+x,y∈Σ+ ，f(xy)=f(x)f(y)f(xy) = f(x)^{f(y)}f(xy)=f(x)f(y) 。
试证明 fff 不是良定义的。

证明：对于串 abc∈Σ+abc \in \Sigma^+abc∈Σ+ ，它可以有以下两种不同的构造方法：
（a）令 x=a,y=bcx = a,\ y = bcx=a, y=bc ，则 xy=abcxy = abcxy=abc 。
（b）令 x=ab,y=cx = ab,\ y = cx=ab, y=c ，则 xy=abcxy = abcxy=abc 。
根据 fff 的递归定义，求 abcabcabc 在 fff 下的值：
f(abc)=f(a)f(bc)=213=2,f(abc)=f(ab)f(c)=(21)3=8f(abc)= f(a)^{f(bc)} = 2^{1^3} = 2,\ f(abc) = f(ab)^{f(c)} = (2^1)^3 = 8f(abc)=f(a)f(bc)=213=2, f(abc)=f(ab)f(c)=(21)3=8 所以 fff 不是良定义的。

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第四章 4.3 用代入法求解递归式
4.3-1 证明:T(n)=T(n-1)+n的解为O(n2n^2). c(n−1)2+n≤n2cn2−2cn+c+n≤n2cn2−(2c−1)n+1≤n2 c(n-1)^2+n\le n^2 \\cn ...
《Python语言程序设计》王恺王志机械工业出版社第五章序列、集合和字典课后习题答案
5.8 课后习题 (1)Python 中,通过列表中的 index 方法可以根据指定值查找第一个匹配的列表元素的位置. (2)Python 中,通过列表中的 insert 方法可以将一个元素插入到列 ...
C国演义 [第四章]
第四章全排列题目理解步骤树形图递归函数递归结束条件单层逻辑代码全排列II 题目理解步骤递归函数递归结束条件单层逻辑代码全排列力扣链接给定一个不含重复数字的数组 num ...
Python--三元表达式、列表推导式、生成器表达式、递归、匿名函数、内置函数...
三元表达式列表推导式生成器表达式递归与二分法匿名函数内置函数一.三元表达式 name=input('姓名>>: ') res='True' if name == 'lee' e ...
三元表达式、列表推导式、生成器表达式、递归、匿名函数、内置函数(day4)
一.三元表达式.列表推导式.生成器表达式 1.三元表达式name=input('姓名>>: ')res='SB' if name == 'alex' else 'NB'print(res) ...
【离散数学】集合论第三章集合与关系(3) 集合计数的加法原理、容斥原理
本文属于「离散数学」系列文章之一.这一系列着重于离散数学的学习和应用.由于内容随时可能发生更新变动,欢迎关注和收藏离散数学系列文章汇总目录一文以作备忘.此外,在本系列学习文章中,为了透彻理解数学知识, ...
《Reids 设计与实现》第四章整数集合和压缩列表
<Reids 设计与实现>第四章整数集合和压缩列表文章目录 <Reids 设计与实现>第四章整数集合和压缩列表一.整数集合 1.简介 2.整数集合的实现 3.升级 4. ...

【离散数学】集合论第四章函数与集合(1) 函数定义、递归定义的函数

文章目录

4.1 函数

4.1.1 函数的定义

4.1.2 递归定义的函数

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