数学分析笔记——总目录

文章目录

Taylor 公式
- 多项式函数的 Taylor 公式
- 任意函数的Taylor公式
- - 带 Peano 余项的 Taylor 公式
  - 带Lagrange 余项的 Taylor 公式
  - Maclaurin 公式
- 参考文献

Taylor 公式

多项式函数的 Taylor 公式

\quad设 p(x)p(x)p(x) 是 nnn 次整多项式：
p(x)=a0+a1x+a2x2+⋯+anxn.p(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_nx^n. p(x)=a0+a1x+a2x2+⋯+anxn.
对其逐次求导 nnn 次，则有：
p′(x)=a1+2⋅a2⋅x+3⋅a3⋅x2+⋯+n⋅an⋅xn−1,p′′(x)=2⋅1⋅a2+3⋅2a3⋅x+⋯+n(n−1)an⋅xn−2,p′′′(x)=3⋅2⋅1⋅a3+⋯+n(n−1)(n−2)⋅xn−3,…………p(n)(x)=n(n−1)(n−2)⋯2⋅1⋅an.\begin{aligned} p'(x)&=a_1+2\cdot a_2\cdot x+3\cdot a_3 \cdot x^2+\cdots+n\cdot a_n \cdot x^{n-1}, \\ p''(x)&=2 \cdot 1 \cdot a_2+3\cdot 2 a_3 \cdot x+\cdots+n(n-1)a_n \cdot x^{n-2}, \\ p'''(x)&=3 \cdot 2\cdot 1 \cdot a_3+\cdots +n(n-1)(n-2)\cdot x^{n-3}, \\ &……\quad…… \\ p^{(n)}(x)&=n(n-1)(n-2)\cdots 2\cdot 1 \cdot a_n. \end{aligned} p′(x)p′′(x)p′′′(x)p(n)(x)=a1+2⋅a2⋅x+3⋅a3⋅x2+⋯+n⋅an⋅xn−1,=2⋅1⋅a2+3⋅2a3⋅x+⋯+n(n−1)an⋅xn−2,=3⋅2⋅1⋅a3+⋯+n(n−1)(n−2)⋅xn−3,…………=n(n−1)(n−2)⋯2⋅1⋅an.
显然，p(0)=a0p(0)=a_0p(0)=a0，令 x=0x=0x=0，即有 p(x)p(x)p(x) 在点 x=0x=0x=0 处的各阶导数值：
p′(0)=a1,p′′(0)=2⋅1⋅a2,⋯,p(n)(0)=n!⋅an.p'(0)=a_1,\quad p''(0)=2 \cdot 1\cdot a_2,\cdots,p^{(n)}(0)=n!\cdot a_n. p′(0)=a1,p′′(0)=2⋅1⋅a2,⋯,p(n)(0)=n!⋅an.
变换形式即有：
a1=p′(0),a2=p′′(0)2!,⋯,an=p(n)(0)n!.a_1=p'(0),\quad a_2=\frac{p''(0)}{2!},\quad\cdots,\quad a_n=\frac{p^{(n)}(0)}{n!}. a1=p′(0),a2=2!p′′(0),⋯,an=n!p(n)(0).

也就是说，nnn 次多项式的各项系数可用其在 x=0x=0x=0 处的各阶导数来表示。将系数 a1,a2,⋯,ana_1,a_2,\cdots,a_na1,a2,⋯,an 代数 p(x)p(x)p(x) 即有：
p(x)=p(0)+p′(0)1!x+p′′(0)2!x2+⋯+p(n)(0)n!xn.p(x)=p(0)+\frac{p'(0)}{1!}x+\frac{p''(0)}{2!}x^2+\cdots+\frac{p^{(n)}(0)}{n!}x^n. p(x)=p(0)+1!p′(0)x+2!p′′(0)x2+⋯+n!p(n)(0)xn.
\quad换个角度，考虑 p(x)p(x)p(x) 依(x−x0)(x-x_0)(x−x0) 的幂展开，其中 x0x_0x0 是 xxx 的某一特殊常数值。令
x−x0=ξ,p(x)=p(x0+ξ)=P(ξ),x-x_0=\xi,\quad p(x)=p(x_0+\xi)=P(\xi), x−x0=ξ,p(x)=p(x0+ξ)=P(ξ),
并设多项式 P(ξ)P(\xi)P(ξ) 为
P(ξ)=A0+A1ξ+A2ξ2+⋯+Anξn.P(\xi)=A_0+A_1\xi+A_2\xi^2+\cdots+A_n\xi^n. P(ξ)=A0+A1ξ+A2ξ2+⋯+Anξn.
由前面的讨论可得：
A0=P(0),A1=P′(0)1!,,A2=P′′(0)2!,⋯,An=P(n)(0)n!.A_0=P(0),\quad A_1=\frac{P'(0)}{1!},\quad,A_2=\frac{P''(0)}{2!},\cdots,A_n=\frac{P^{(n)}(0)}{n!}. A0=P(0),A1=1!P′(0),,A2=2!P′′(0),⋯,An=n!P(n)(0).
又由于 P(ξ)=p(x0+ξ)P(\xi)=p(x_0+\xi)P(ξ)=p(x0+ξ)，各阶导数
P′(ξ)=p′(x0+ξ),P′′(ξ)=p′′(x0+ξ),⋯,P(n)(ξ)=p(n)(x0+ξ).P'(\xi)=p'(x_0+\xi),\quad P''(\xi)=p''(x_0+\xi),\cdots,P^{(n)}(\xi)=p^{(n)}(x_0+\xi). P′(ξ)=p′(x0+ξ),P′′(ξ)=p′′(x0+ξ),⋯,P(n)(ξ)=p(n)(x0+ξ).
于是有
P(0)=p(x0),P′(0)=p′(x0),P′′(0)=p′′(x0),⋯,P(n)(0)=p(n)(x0).P(0)=p(x_0),P'(0)=p'(x_0),P''(0)=p''(x_0),\cdots,P^{(n)}(0)=p^{(n)}(x_0). P(0)=p(x0),P′(0)=p′(x0),P′′(0)=p′′(x0),⋯,P(n)(0)=p(n)(x0).
也就是说，
A0=p(x0),A1=p′(x0)1!,A2=p′′(x0)2!,⋯,An=p(n)(x0)n!.A_0=p(x_0),A_1=\frac{p'(x_0)}{1!},A_2=\frac{p''(x_0)}{2!},\cdots,A_n=\frac{p^{(n)}(x_0)}{n!}. A0=p(x0),A1=1!p′(x0),A2=2!p′′(x0),⋯,An=n!p(n)(x0).
将系数 A0,A1,A2,⋯,AnA_0,A_1,A_2,\cdots,A_nA0,A1,A2,⋯,An 代回多项式 P(ξ)P(\xi)P(ξ)，则有：
p(x)=p(x0)+p′(x0)1!(x−x0)+p′′(x0)2!(x−x0)2+⋯+p(n)(x0)n!(x−x0)n.p(x)=p(x_0)+\frac{p'(x_0)}{1!}(x-x_0)+\frac{p''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\cdots+\frac{p^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n. p(x)=p(x0)+1!p′(x0)(x−x0)+2!p′′(x0)(x−x0)2+⋯+n!p(n)(x0)(x−x0)n.

定义 1（Taylor公式）：设 p(x)p(x)p(x) 为 nnn 次可导多项式函数，则
p(x)=p(0)+p′(0)1!x+p′′(0)2!x2+⋯+p(n)(0)n!xn.p(x)=p(0)+\frac{p'(0)}{1!}x+\frac{p''(0)}{2!}x^2+\cdots+\frac{p^{(n)}(0)}{n!}x^n. p(x)=p(0)+1!p′(0)x+2!p′′(0)x2+⋯+n!p(n)(0)xn.
与
p(x)=p(x0)+p′(x0)1!(x−x0)+p′′(x0)2!(x−x0)2+⋯+p(n)(x0)n!(x−x0)n.p(x)=p(x_0)+\frac{p'(x_0)}{1!}(x-x_0)+\frac{p''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\cdots+\frac{p^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n. p(x)=p(x0)+1!p′(x0)(x−x0)+2!p′′(x0)(x−x0)2+⋯+n!p(n)(x0)(x−x0)n.
均称为 Taylor公式。特别地，
p(x)=p(0)+p′(0)1!x+p′′(0)2!x2+⋯+p(n)(0)n!xn.p(x)=p(0)+\frac{p'(0)}{1!}x+\frac{p''(0)}{2!}x^2+\cdots+\frac{p^{(n)}(0)}{n!}x^n. p(x)=p(0)+1!p′(0)x+2!p′′(0)x2+⋯+n!p(n)(0)xn.
又称为 Maclaurin公式。

任意函数的Taylor公式

\quad多项式函数是一类比较简单的函数。在理论上，如果能够用多项式近似地代替某些复杂的函数去研究它们的某些形态，将会带来很大的方便。

\quad而且在实际计算中，多项式只涉及加、减、乘三种运算，还有人们设计的大量的针对多项式的高效快速的算法，因此用多项式作为复杂函数的近似去参加运算将有效地节省运算量。

带 Peano 余项的 Taylor 公式

\quad设 f(x)f(x)f(x) 是一个任意函数，假定其在点 x0x_0x0 处一阶可导，则在 x0x_0x0 附近有
f(x)=f(x0)+f′(x0)+o(x−x0).f(x)=f(x_0)+f'(x_0)+o(x-x_0). f(x)=f(x0)+f′(x0)+o(x−x0).
也就是说，在点 x0x_0x0 附近，如果用一次多项式 f(x0)+f′(x0)f(x_0)+f'(x_0)f(x0)+f′(x0) 来近似 f(x)f(x)f(x)，那么误差将是 (x−x0)(x-x_0)(x−x0) 的高阶无穷小量。

\quad进一步地，假定 f(x)f(x)f(x) 在点 x0x_0x0 处存在着直至 nnn 阶为止的各阶导数，或者更准确地说，函数 f(x)f(x)f(x) 在点 x0x_0x0 的某个邻域内有定义，直至 (n−1)(n-1)(n−1) 阶的导函数
f′(x),f′′(x),⋯,f(n−1)(x)f'(x),\quad f''(x),\quad \cdots,\quad f^{(n-1)}(x) f′(x),f′′(x),⋯,f(n−1)(x)
有定义，并且在 x0x_0x0 处存在 nnn 阶导数f(n)(x0)f^{(n)}(x_0)f(n)(x0)。

\quad那么，按照前面的讨论，根据 f(x)f(x)f(x) 可做出有如下形式的多项式
p(x)=f(x0)+f′(x0)1!(x−x0)+f′′(x0)2!(x−x0)2+⋯+f(n)(x0)n!(x−x0)n.p(x)=f(x_0)+\frac{f'(x_0)}{1!}(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n. p(x)=f(x0)+1!f′(x0)(x−x0)+2!f′′(x0)(x−x0)2+⋯+n!f(n)(x0)(x−x0)n.
显然，多项式 p(x)p(x)p(x) 与 f(x)f(x)f(x) 之间有如下关系：
p(x0)=f(x0),p′(x0)=f′(x0),p′′(x0)=f′′(x0),⋯,p(n)(x0)=f(n)(x0).p(x_0)=f(x_0),p'(x_0)=f'(x_0),p''(x_0)=f''(x_0),\cdots,p^{(n)}(x_0)=f^{(n)}(x_0). p(x0)=f(x0),p′(x0)=f′(x0),p′′(x0)=f′′(x0),⋯,p(n)(x0)=f(n)(x0).
当然要注意，这并不代表 p(x)=f(x)p(x)=f(x)p(x)=f(x)（除非f(x)f(x)f(x)也是 nnn 次多项式），只能说明 p(x)p(x)p(x) 与 f(x)f(x)f(x) 在点 x0x_0x0 处的值十分接近。

\quad为方便后续讨论，引入两个引理（引理 1、引理 2）。

引理 1：设 r(x)r(x)r(x) 在点 x0x_0x0 处 nnn 阶可导，并且有
r(x0)=r′(x0)=r′′(x0)=⋯=r(n)(x0)=0,r(x_0)=r'(x_0)=r''(x_0)=\cdots=r^{(n)}(x_0)=0, r(x0)=r′(x0)=r′′(x0)=⋯=r(n)(x0)=0,
则
r(x)=o((x−x0)n).r(x)=o((x-x_0)^n). r(x)=o((x−x0)n).

证明：数学归纳法。

\quad当 n=1n=1n=1 时，需要证明：若 r(x)r(x)r(x) 在点 x0x_0x0 处一阶可导，且满足 r(x0)=r′(x0)=0r(x_0)=r'(x_0)=0r(x0)=r′(x0)=0，则r(x)=o(x−x0)r(x)=o(x-x_0)r(x)=o(x−x0)。

\quad由于
lim⁡x→x0r(x)x−x0=lim⁡x→x0r(x)−0x−x0=lim⁡x→x0r(x)−r(x0)x−x0=r′(x0)=0.\underset{x \rightarrow x_0}{\lim}\frac{r(x)}{x-x_0}=\underset{x \rightarrow x_0}{\lim}\frac{r(x)-0}{x-x_0}=\underset{x \rightarrow x_0}{\lim}\frac{r(x)-r(x_0)}{x-x_0}=r'(x_0)=0. x→x0limx−x0r(x)=x→x0limx−x0r(x)−0=x→x0limx−x0r(x)−r(x0)=r′(x0)=0.
因此，当 n=1n=1n=1 时，引理 1 成立。

\quad假设 n=kn=kn=k 时，引理 1 成立，即：若 r(x)r(x)r(x) 在点 x0x_0x0 处 kkk 阶可导，且满足
r(x0)=r′(x0)=r′′(x0)=⋯=r(k)(x0)=0,r(x_0)=r'(x_0)=r''(x_0)=\cdots=r^{(k)}(x_0)=0, r(x0)=r′(x0)=r′′(x0)=⋯=r(k)(x0)=0,
则 r(x)=o((x−x0)n)r(x)=o((x-x_0)^n)r(x)=o((x−x0)n)。

\quad下面来证明 n=k+1n=k+1n=k+1 时，引理 1 也成立，即证：若 r(x)r(x)r(x) 在点 x0x_0x0 处 k+1k+1k+1 阶可导，且满足
r(x0)=r′(x0)=r′′(x0)=⋯=r(k)(x0)=r(k+1)(x0)=0,r(x_0)=r'(x_0)=r''(x_0)=\cdots=r^{(k)}(x_0)=r^{(k+1)}(x_0)=0, r(x0)=r′(x0)=r′′(x0)=⋯=r(k)(x0)=r(k+1)(x0)=0,
则 r(x)=o((x−x0)k+1)r(x)=o((x-x_0)^{k+1})r(x)=o((x−x0)k+1)。

\quad显然，对于 r(x)r(x)r(x) 的一阶导函数 r′(x)r'(x)r′(x) 而言，满足 n=kn=kn=k 时的 引理 1，因此有
r′(x)=o((x−x0)k).r'(x)=o((x-x_0)^{k}). r′(x)=o((x−x0)k).
由 Lagrange 中值定理可知，在 x0x_0x0 与 xxx 之间存在一点 ξ\xiξ，使得
r(x)=r(x)−r(x0)=r′(ξ)(x−x0),r(x)=r(x)-r(x_0)=r'(\xi)(x-x_0), r(x)=r(x)−r(x0)=r′(ξ)(x−x0),
而 ∣ξ−x0∣<∣x−x0∣|\xi-x_0|<|x-x_0|∣ξ−x0∣<∣x−x0∣，于是
r′(ξ)=o((ξ−x0)n)=o((x−x0)k+1),r'(\xi)=o((\xi-x_0)^{n})=o((x-x_0)^{k+1}), r′(ξ)=o((ξ−x0)n)=o((x−x0)k+1),
从而
r(x)=r′(ξ)(x−x0)=o((x−x0)k+1).r(x)=r'(\xi)(x-x_0)=o((x-x_0)^{k+1}). r(x)=r′(ξ)(x−x0)=o((x−x0)k+1).
即在 n=k+1n=k+1n=k+1 时， 引理 1 成立。

\quad由数学归纳法原理，对于一切正整数 nnn，引理 1 都成立。

证毕

引理 2（唯一性）：设 f(x)f(x)f(x) 在点 x0x_0x0 的某个邻域内存在定义，并且
f(x)=c0+c1(x−x0)+c2(x−x0)2+⋯+cn(x−x0)n+o((x−x0)n)(x→x0),f(x)=c_0+c_1(x-x_0)+c_2(x-x_0)^2+\cdots+c_n(x-x_0)^n+o((x-x_0)^n)\quad(x \rightarrow x_0), f(x)=c0+c1(x−x0)+c2(x−x0)2+⋯+cn(x−x0)n+o((x−x0)n)(x→x0),
则其中的系数 c0,c1,⋯,cnc_0,c_1,\cdots,c_nc0,c1,⋯,cn 是唯一确定的。

证明：

\quad分析可知，当 x→x0x \rightarrow x_0x→x0 时，以下极限都是存在的。
c0=lim⁡x→x0f(x),c1=lim⁡x→x0f(x)−f(x0)x−x0=lim⁡x→x0f(x)−c0x−x0,⋯cn=lim⁡x→x0f(x)−[c0+c1(x−x0)+⋯+cn−1(x−x0)n−1]x−x0.\begin{aligned} c_0&=\underset{x \rightarrow x_0}{\lim}f(x), \\ c_1&=\underset{x \rightarrow x_0}{\lim}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\underset{x \rightarrow x_0}{\lim}\frac{f(x)-c_0}{x-x_0}, \\ \cdots \\ c_n&=\underset{x \rightarrow x_0}{\lim}\frac{f(x)-[c_0+c_1(x-x_0)+\cdots+c_{n-1}(x-x_0)^{n-1}]}{x-x_0}. \end{aligned} c0c1⋯cn=x→x0limf(x),=x→x0limx−x0f(x)−f(x0)=x→x0limx−x0f(x)−c0,=x→x0limx−x0f(x)−[c0+c1(x−x0)+⋯+cn−1(x−x0)n−1].
\quad由极限的唯一性知，所有的系数 c1,c2,⋯,cnc_1,c_2,\cdots,c_nc1,c2,⋯,cn 都是唯一确定的。

证毕

定理 1（带Peano余项的Taylor公式）：设函数 f(x)f(x)f(x) 在 x0x_0x0 处有 nnn 阶导数，则存在 x0x_0x0 的一个邻域，对于该邻域中的任意一点 xxx，成立
f(x)=f(x0)+f′(x0)1!(x−x0)+f′′(x0)2!(x−x0)2+⋯+f(n)(x0)n!(x−x0)n+rn(x).f(x)=f(x_0)+\frac{f'(x_0)}{1!}(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+r_n(x). f(x)=f(x0)+1!f′(x0)(x−x0)+2!f′′(x0)(x−x0)2+⋯+n!f(n)(x0)(x−x0)n+rn(x).
其中，余项 rn(x)r_n(x)rn(x) 满足
rn(x)=o((x−x0)n).r_n(x)=o((x-x_0)^n). rn(x)=o((x−x0)n).
\quad以上公式称为 f(x)f(x)f(x) 在 x0x_0x0 处的带Peano余项的Taylor公式。其中，由前 n+1n+1n+1 项组成的多项式
pn(x)=f(x0)+f′(x0)1!(x−x0)+f′′(x0)2!(x−x0)2+⋯+f(n)(x0)n!(x−x0)np_n(x)=f(x_0)+\frac{f'(x_0)}{1!}(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n pn(x)=f(x0)+1!f′(x0)(x−x0)+2!f′′(x0)(x−x0)2+⋯+n!f(n)(x0)(x−x0)n
称为 f(x)f(x)f(x) 的 n次Taylor公式。而 rn(x)r_n(x)rn(x) 称为 Peano余项。

证明 1：引理 1。

\quad设 rn(x)=f(x)−pn(x)r_n(x)=f(x)-p_n(x)rn(x)=f(x)−pn(x)，显然，rn(x)r_n(x)rn(x) 在点 (x0)(x_0)(x0) 处 nnn 阶可导。由前面的讨论可知，f(x)f(x)f(x) 与 pn(x)p_n(x)pn(x) 在 x0x_0x0 处的函数值以及直至 nnn 阶的导数值都是相等的，因此
rn(x0)=r′(x0)=r′′(x0)=⋯=r(n)(x0)=0.r_n(x_0)=r'(x_0)=r''(x_0)=\cdots=r^{(n)}(x_0)=0. rn(x0)=r′(x0)=r′′(x0)=⋯=r(n)(x0)=0.
也就是说，r(x)r(x)r(x) 满足 引理 1 的条件，因此由 引理 1，
rn(x)=o((x−x0)n).r_n(x)=o((x-x_0)^n). rn(x)=o((x−x0)n).

证毕

证明 2：L’Hospital 法则。

\quad设
rn(x)=f(x)−pn(x)=f(x)−∑k=0n1k!f(k)(x0)(x−x0)k\begin{aligned} r_n(x)&=f(x)-p_n(x) \\ &=f(x)-\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!}f^{(k)}(x_0)(x-x_0)^{k} \end{aligned} rn(x)=f(x)−pn(x)=f(x)−k=0∑nk!1f(k)(x0)(x−x0)k
下面证明 rn(x)=o((x−x0)n)r_n(x)=o((x-x_0)^n)rn(x)=o((x−x0)n)，即lim⁡x→x0rn(x)(x−x0)n=0\underset{x \rightarrow x_0}{\lim}\frac{r_n(x)}{(x-x_0)^n}=0x→x0lim(x−x0)nrn(x)=0.

\quad通过前面的讨论可知，f(x)f(x)f(x) 与 pn(x)p_n(x)pn(x) 在 x0x_0x0 处的函数值以及直至 nnn 阶的导数值都是相等的，因此
rn(x0)=r′(x0)=r′′(x0)=⋯=r(n)(x0)=0.r_n(x_0)=r'(x_0)=r''(x_0)=\cdots=r^{(n)}(x_0)=0. rn(x0)=r′(x0)=r′′(x0)=⋯=r(n)(x0)=0.
反复使用 L’Hospital 法则，可得
lim⁡x→x0rn(x)(x−x0)n=lim⁡x→x0rn′(x)n(x−x0)n−1=lim⁡x→x0rn′′(x)n(n−1)(x−x0)n−2=⋯=lim⁡x→x0rn(n−1)(x)n(n−1)⋯2⋅(x−x0)=1n!lim⁡x→x0rn(n−1)(x)x−x0=1n!lim⁡x→x0rn(n−1)(x)−0x−x0=1n!lim⁡x→x0rn(n−1)(x)−r(n−1)(x0)x−x0=1n!r(n)(x0)=0.\begin{aligned} \underset{x \rightarrow x_0}{\lim}\frac{r_n(x)}{(x-x_0)^n}&=\underset{x \rightarrow x_0}{\lim}\frac{r_n'(x)}{n(x-x_0)^{n-1}}=\underset{x \rightarrow x_0}{\lim}\frac{r_n''(x)}{n(n-1)(x-x_0)^{n-2}}=\cdots=\underset{x \rightarrow x_0}{\lim}\frac{r_n^{(n-1)}(x)}{n(n-1)\cdots2\cdot (x-x_0)} \\ &=\frac{1}{n!}\underset{x \rightarrow x_0}{\lim}\frac{r_n^{(n-1)}(x)}{x-x_0}=\frac{1}{n!}\underset{x \rightarrow x_0}{\lim}\frac{r_n^{(n-1)}(x)-0}{x-x_0} \\ &=\frac{1}{n!}\underset{x \rightarrow x_0}{\lim}\frac{r_n^{(n-1)}(x)-r^{(n-1)}(x_0)}{x-x_0} \\ &=\frac{1}{n!}r^{(n)}(x_0)=0. \end{aligned} x→x0lim(x−x0)nrn(x)=x→x0limn(x−x0)n−1rn′(x)=x→x0limn(n−1)(x−x0)n−2rn′′(x)=⋯=x→x0limn(n−1)⋯2⋅(x−x0)rn(n−1)(x)=n!1x→x0limx−x0rn(n−1)(x)=n!1x→x0limx−x0rn(n−1)(x)−0=n!1x→x0limx−x0rn(n−1)(x)−r(n−1)(x0)=n!1r(n)(x0)=0.
或者
lim⁡x→x0rn(x)(x−x0)n=lim⁡x→x0rn′(x)n(x−x0)n−1=lim⁡x→x0rn′′(x)n(n−1)(x−x0)n−2=⋯=lim⁡x→x0rn(n−1)(x)n(n−1)⋯2⋅(x−x0)=1n!lim⁡x→x0rn(n−1)(x)x−x0=1n!lim⁡x→x0f(n−1)(x)−f(n−1)(x0)−f(n)(x0)(x−x0)x−x0=1n!lim⁡x→x0[f(n−1)(x)−f(n−1)(x0)x−x0−f(n)(x0)]=1n![f(n)(x0)−f(n)(x0)]=0.\begin{aligned} \underset{x \rightarrow x_0}{\lim}\frac{r_n(x)}{(x-x_0)^n}&=\underset{x \rightarrow x_0}{\lim}\frac{r_n'(x)}{n(x-x_0)^{n-1}}=\underset{x \rightarrow x_0}{\lim}\frac{r_n''(x)}{n(n-1)(x-x_0)^{n-2}}=\cdots=\underset{x \rightarrow x_0}{\lim}\frac{r_n^{(n-1)}(x)}{n(n-1)\cdots2\cdot (x-x_0)} \\ &=\frac{1}{n!}\underset{x \rightarrow x_0}{\lim}\frac{r_n^{(n-1)}(x)}{x-x_0}=\frac{1}{n!}\underset{x \rightarrow x_0}{\lim}\frac{f^{(n-1)}(x)-f^{(n-1)}(x_0)-f^{(n)}(x_0)(x-x_0)}{x-x_0} \\ &=\frac{1}{n!}\underset{x \rightarrow x_0}{\lim}\left[\frac{f^{(n-1)}(x)-f^{(n-1)}(x_0)}{x-x_0}-f^{(n)}(x_0)\right] \\ &=\frac{1}{n!}[f^{(n)}(x_0)-f^{(n)}(x_0)]=0. \end{aligned} x→x0lim(x−x0)nrn(x)=x→x0limn(x−x0)n−1rn′(x)=x→x0limn(n−1)(x−x0)n−2rn′′(x)=⋯=x→x0limn(n−1)⋯2⋅(x−x0)rn(n−1)(x)=n!1x→x0limx−x0rn(n−1)(x)=n!1x→x0limx−x0f(n−1)(x)−f(n−1)(x0)−f(n)(x0)(x−x0)=n!1x→x0lim[x−x0f(n−1)(x)−f(n−1)(x0)−f(n)(x0)]=n!1[f(n)(x0)−f(n)(x0)]=0.

因此
rn(x)=o((x−x0)n).r_n(x)=o((x-x_0)^n). rn(x)=o((x−x0)n).

证毕

证明 3：Cauchy中值定理。

证毕

\quad对于 定理 2 的以上证明，作以下说明：

一定要注意 f(x)f(x)f(x) 在点 x0x_0x0 处 nnn 阶可导，则在 x0x_0x0 的某个邻域内，有 f(x)f(x)f(x) 直至 (n−1)(n-1)(n−1) 阶的导函数，并且存在 f(x)f(x)f(x) 在点 x0x_0x0 处的 nnn 阶导数值 f(n)(x0)f^{(n)}(x_0)f(n)(x0)。
显然，当 n=1n=1n=1 时，带Peano余项的Taylor公式就是有限增量公式。

\quad至此，我们证明了一个函数 f(x)f(x)f(x) 若在某一点处 nnn 阶可导，则在该点的某个邻域内，f(x)f(x)f(x)可展开成x0x_0x0 处的带Peano余项的Taylor公式，而且这种展开方式是唯一的，定理 1 肯定了展开项系数唯一的同时，还给出了各项系数的计算公式。

带Lagrange 余项的 Taylor 公式

\quad下满介绍另一种常见的 Taylor 公式。

定理 2（带Lagrange余项的Taylor公式）：设函数 f(x)f(x)f(x) 在 [a,b][a,b][a,b] 上具有 nnn 阶连续导函数，在 (a,b)(a,b)(a,b) 上具有 n+1n+1n+1 阶导函数，设 x0∈(a,b)x_0 \in(a,b)x0∈(a,b)，则对于任意的 x∈[a,b]x \in [a,b]x∈[a,b]，成立
f(x)=f(x0)+f′(x0)1!(x−x0)+f′′(x0)2!(x−x0)2+⋯+f(n)(x0)n!(x−x0)n+rn(x).f(x)=f(x_0)+\frac{f'(x_0)}{1!}(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+r_n(x). f(x)=f(x0)+1!f′(x0)(x−x0)+2!f′′(x0)(x−x0)2+⋯+n!f(n)(x0)(x−x0)n+rn(x).
其中，rn(x)r_n(x)rn(x) 为余项，并且满足
rn(x)=f(n+1)(ξ)(n+1)!(x−x0)n+1.(ξ在x与x0之间)r_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}.\quad(\xi \text{在} x \text{与} x_0 \text{之间}) rn(x)=(n+1)!f(n+1)(ξ)(x−x0)n+1.(ξ在x与x0之间)
\quad上述公式称为 f(x)f(x)f(x) 在点 x0x_0x0 处的带 Lagrange 余项的 Taylor 公式，rn(x)r_n(x)rn(x) 称为 Lagrange 余项。

证明：

\quad构造辅助函数
G(t)=f(x)−∑k=0nf(k)(t)k!(x−t)k,H(t)=(x−t)n+1.G(t)=f(x)-\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(t)}{k!}(x-t)^k,\quad H(t)=(x-t)^{n+1}. G(t)=f(x)−k=0∑nk!f(k)(t)(x−t)k,H(t)=(x−t)n+1.
则
G′(t)=−∑k=0n[f(k)(t)k!⋅(x−t)k]′=−∑k=1n[f(k)(t)k!⋅(x−t)k]′−f′(t)=−∑k=1n[f(k+1)(t)k!⋅(x−t)k−f(k)(t)(k−1)!⋅(x−t)k−1]−f′(t)=∑k=1nf(k)(t)(k−1)!(x−t)k−1−∑k=1nf(k+1)(t)k!(x−t)k−f′(t)=∑k=2nf(k)(t)(k−1)!(x−t)k−1−∑k=1nf(k+1)(t)k!(x−t)k=∑j=1n−1f(j+1)(t)(j!(x−t)j−∑k=1nf(k+1)(t)k!(x−t)k=−f(n+1)(t)n!(x−t)n.\begin{aligned} G'(t)&=-\sum_{k=0}^{n}\left[\frac{f^{(k)}(t)}{k!}\cdot (x-t)^{k}\right]' \\ &=-\sum_{k=1}^{n}\left[\frac{f^{(k)}(t)}{k!}\cdot (x-t)^{k}\right]'-f'(t) \\ &=-\sum_{k=1}^{n}\left[ \frac{f^{(k+1)}(t)}{k!}\cdot(x-t)^k-\frac{f^{(k)}(t)}{(k-1)!}\cdot (x-t)^{k-1}\right]-f'(t) \\ &=\sum_{k=1}^{n}\frac{f^{(k)}(t)}{(k-1)!}(x-t)^{k-1}-\sum_{k=1}^{n}\frac{f^{(k+1)}(t)}{k!}(x-t)^{k}-f'(t) \\ &=\sum_{k=2}^{n}\frac{f^{(k)}(t)}{(k-1)!}(x-t)^{k-1}-\sum_{k=1}^{n}\frac{f^{(k+1)}(t)}{k!}(x-t)^{k} \\ &=\sum_{j=1}^{n-1}\frac{f^{(j+1)}(t)}{(j!}(x-t)^{j}-\sum_{k=1}^{n}\frac{f^{(k+1)}(t)}{k!}(x-t)^{k} \\ &=-\frac{f^{(n+1)}(t)}{n!}(x-t)^n. \end{aligned} G′(t)=−k=0∑n[k!f(k)(t)⋅(x−t)k]′=−k=1∑n[k!f(k)(t)⋅(x−t)k]′−f′(t)=−k=1∑n[k!f(k+1)(t)⋅(x−t)k−(k−1)!f(k)(t)⋅(x−t)k−1]−f′(t)=k=1∑n(k−1)!f(k)(t)(x−t)k−1−k=1∑nk!f(k+1)(t)(x−t)k−f′(t)=k=2∑n(k−1)!f(k)(t)(x−t)k−1−k=1∑nk!f(k+1)(t)(x−t)k=j=1∑n−1(j!f(j+1)(t)(x−t)j−k=1∑nk!f(k+1)(t)(x−t)k=−n!f(n+1)(t)(x−t)n.

H′(t)=−(n+1)(x−t)n.H'(t)=-(n+1)(x-t)^{n}. H′(t)=−(n+1)(x−t)n.

\quad注意，G(x0)=H(x0)=0G(x_0)=H(x_0)=0G(x0)=H(x0)=0。由 Cauchy 中值定理，在 xxx 与 x0x_0x0 之间存在一点 ξ\xiξ 使得
G(x)H(x)=G(x)−G(x0)H(x)−H(x0)=G′(ξ)H′(ξ)=−f(n+1)(t)n!(x−t)n−(n+1)(x−t)n=f(n+1)(ξ)(n+1)!\frac{G(x)}{H(x)}=\frac{G(x)-G(x_0)}{H(x)-H(x_0)}=\frac{G'(\xi)}{H'(\xi)}=\frac{-\frac{f^{(n+1)}(t)}{n!}(x-t)^n}{-(n+1)(x-t)^{n}}=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!} H(x)G(x)=H(x)−H(x0)G(x)−G(x0)=H′(ξ)G′(ξ)=−(n+1)(x−t)n−n!f(n+1)(t)(x−t)n=(n+1)!f(n+1)(ξ)
也就是说，
rn(x)=G(x0)=f(n+1)(ξ)(n+1)!(x−x0)n+1.r_n(x)=G(x_0)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}. rn(x)=G(x0)=(n+1)!f(n+1)(ξ)(x−x0)n+1.

证毕

Maclaurin 公式

定义 1：函数 f(x)f(x)f(x) 在 x=0x=0x=0 处的 Taylor 公式，被称为函数 f(x)f(x)f(x) 的 Maclaurin 公式。

参考文献

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[5] 常庚哲，史济怀. 数学分析教程上册. 第3版. 合肥：中国科学技术大学出版社. 2012.8.
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