1.little定理的证明

假设一般的到达到达离去模型如上图所示，假设:

N(t)N(t)N(t)是停留在系统中的人
D(t)D(t)D(t)是离开系统的人
D‾(t)\overline{D}(t)D(t)是仍然在系统中的人。
我们可以得到∫0tN(t)dt=∑i∈D(t)Ti+∑i∈D‾(t)(t−ti)\int^t_0N(t)dt=\sum_{i\in D(t)}T_i+\sum_{i\in \overline{D}(t) }(t-t_i)∫0tN(t)dt=i∈D(t)∑Ti+i∈D(t)∑(t−ti)
作如下运算：1t∫0tN(t)dt=1t∑i∈D(t)Ti+1t∑i∈D‾(t)(t−ti)\frac{1}{t}\int^t_0N(t)dt=\frac{1}{t}\sum_{i\in D(t)}T_i+\frac{1}{t}\sum_{i\in \overline{D}(t) }(t-t_i)t1∫0tN(t)dt=t1i∈D(t)∑Ti+t1i∈D(t)∑(t−ti)
又，我们定义：averagearrivalrate:λt=∣D(t)+D‾(t)∣taverage\ arrival\ rate:\lambda_t=\frac{\left| D(t)+\overline D(t)\right|}taverage arrival rate:λt=t∣∣D(t)+D(t)∣∣
averagearrivaltime:Tt=∑i∈D(t)Ti+∑i∈D‾(t)(t−ti)∣D(t)+D‾(t)∣average\ arrival\ time:T_t=\frac{\sum_{i\in D(t)}T_i+\sum_{i\in \overline{D}(t) }(t-t_i)}{\left| D(t)+\overline D(t)\right|}average arrival time:Tt=∣∣D(t)+D(t)∣∣∑i∈D(t)Ti+∑i∈D(t)(t−ti)
在系统达到稳态的情况下：N(t)=limt→∞[∣D(t)+D‾(t)∣t×∑i∈D(t)Ti+∑i∈D‾(t)(t−ti)∣D(t)+D‾(t)∣]=λTN(t)=lim_{t\rightarrow \infty}[\frac{\left| D(t)+\overline D(t)\right|}t\times \frac{\sum_{i\in D(t)}T_i+\sum_{i\in \overline{D}(t) }(t-t_i)}{\left| D(t)+\overline D(t) \right|}]=\lambda TN(t)=limt→∞[t∣∣D(t)+D(t)∣∣×∣∣D(t)+D(t)∣∣∑i∈D(t)Ti+∑i∈D(t)(t−ti)]=λT得证。

2.网络的时延模型

传输时延：指发送节点在传输链路上开始发送分组的第一个比特至发
完该分组的最后一个比特所需的时间
传播时延：是指发送节点在传输链路上发送第一个比特的时刻至该比特
到达接收节点的时延。

3.举例

3.1例一

平均服务人数=ρ\rhoρ
平均排队人数=λDq=Nq\lambda D_q=N_qλDq=Nq
系统中平均停留人数=ρ+Nq\rho +N_qρ+Nq

3.2 例二

假定一个服务大厅有K个服务窗口，该服务大厅最多可容纳N个顾客 ( ) 。又假定服务大厅始终是客满的，即离开一个顾客将会有一个新顾客立刻进入大厅。设每个顾客的平均服务时间为，问顾客在大厅内停留的时间T＝？

解：由题意可得：λ=μ=KX‾\lambda=\mu =\frac{K}{\overline X}λ=μ=XK
又∵\because∵ N=λTN=\lambda TN=λT得T=Nλ=NX‾KT=\frac{N}{\lambda}=\frac{N\overline X}{K}T=λN=KNX

3.3例三

现在改变例3.3中顾客到达方式。假定顾客到达时发现服务窗口被占满就立即离开系统（即顾客被阻塞或丢失）。设顾客的到达率为λ，问顾客被阻塞的概率β为多少？
解：假设平均服务的人数为k‾\overline kk，有(1−β)λX‾=k‾(1-\beta)\lambda \overline X=\overline k(1−β)λX=k再次变形可以得到β=1−k‾λX‾≥1−KλX‾\beta=1-\frac{\overline k}{\lambda \overline X}\geq 1-\frac{K}{\lambda \overline X}β=1−λXk≥1−λXK给出了阻塞概率的下限

3.4小的结论

Window-based Flow Control
Consider a window flow control with window size W. The number in the system N must be smaller than N=λT<= W, where T is the average time in the system. If congestion occurs, T increases, so λ must decrease
如果发生拥塞，T增加，那么λ\lambdaλ必须变小
Suppose that the system is congested and can deliver packets at a rate λ for each session If acknowledgement delays are negligible w.r.t. forward packet delays, then W=λT. Increasing W for all sessions will only serve to increase delay T

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