文章目录

第3章网络的时延分析
- 3.1 Little定理
- 3.2 M/M/m型排队系统
- - 3.2.1 M/M/1排队系统
  - - M/M/1排队系统的例题
  - 3.2.2 M/M/m排队系统
- 3.3 M/G/1型排队系统
- - 3.3.1 M/G/1排队系统
  - 3.3.2服务员有休假的M/G/1排队系统
  - 3.3.3 采用不同服务规则的M/G/1排队系统
  - 3.3.4 本章公式汇总

第3章网络的时延分析

网络中的时延通常包括四个部分：处理时延、排队时延、传输时延和传播时
延。
处理时延是指分组到达一个节点的输入端与该分组到达该节点输出端之间的时延。

若节点的传输队列在节点的输出端，则排队时延是分组进入传输队列
到该分组实际进入传输的时延。若节点的输入端有一个等待队列，则排队时延是指分组进入等待队列到分组进入节点进行处理的时延。

传输时延是指发送节点在传输链路上开始发送分组的第一个比特至发完该分组的最后一个比特所需的时间。（发到链路上的时间）

传播时延是指发送节点在传输链路上发送第一个比特的时刻至该比特到达接收节点的时延。

传播时延
与电磁波在媒质中的传播速度有关
与通信距离有关（成正比）
与信道容量本身无关

3.1 Little定理

描述排队模型有三个方面：

一是顾客到达的规则或行为。它由顾客到达的数目（可以是有限或无限），到达间隔（可以是确定值或随机值）以及到达的方式（顾客是独立到达或是成批到达）等参数特征决定。

二是排队规则，即等待制还是损失制。等待制是指系统忙时，顾客在系统中等待。损失制是指顾客发现系统忙时，立即离开系统。典型的损失制系统是日常使用的电话通信系统。当用户打电话时，发现系统忙（占线）时，立刻会放下电话离开系统。

三是服务规则和服务时间。服务的规则可以是无窗口（如自选商场）、单窗口和多窗口。服务的时间可以是确定的，也可以是随机的。

在不同的传输网络中，顾客和服务时间可能是各不相同的。例如，在分组交换网络中，顾客即为分组，服务时间即为分组传输时间。在电路交换网中，顾客即为呼叫，服务时间即为呼叫持续的时间。

Littl定理的应用

对于输出链路作为对象的时候，需要考虑离开率的大小。

到达率（单位时间内进入系统的平均顾客数）等于离开率吗？回答：在系统达到稳态的情况, 进入系统的顾客数等于离开系统的顾客数。所以，到达率=离开率。

上面公式的具体应用·

3.2 M/M/m型排队系统

3.2.1 M/M/1排队系统

M/M/1排队系统的到达过程是Poisson过程，到达率为λ；系统排队的队长是无限的；服务过程是指数过程，服务率是μ；服务员的个数是1；到达过程与服务过程相互独立。

令系统的状态为系统中的用户数N(t),可以用状态转移概率来描述系统的行为。将时间轴离散化（对N(t)进行采样，采用间隔为δ,δ\delta,\deltaδ,δ为大于0的任意小常数），则该系统可以用马尔科夫链来描述。

系统状态为n的概率为pnp_npn

M/M/1排队系统的例题

本题简要分析：
λ\lambdaλ是到达率，μ\muμ是服务率，ρ=λ/μ\rho =\lambda/\muρ=λ/μ是到达速率和服务速率之比。
服务时间是 1/μ\muμ已知，要求传真速率λ\lambdaλ，需要求出ρ\rhoρ
通过平均队长NQ=ρ2/(1−ρ)N_Q=\rho^2/(1-\rho)NQ=ρ2/(1−ρ)可以求出ρ\rhoρ，这样便可以得到传真速率λ\lambdaλ。

采用统计复用后，在分组数不变的情况下，平均时延变为原来的1/k。

解答：

从该式可以看出，将一个高速信道分解成k个低速信道后，传输时延（发到链路上的时间）将增大为原来的k倍。

这样分解（将高速信道分解为低速信道）的另一个问题是，当各个低速信道的到达率不同时，出现忙闲不均，有的信道很闲，有的信道不足以满足用户的需求。这种分解的优点是当子信道的容量与用户到达相匹配时，各信道没有等待时延和等待队列；而在高速信道中，尽管传输的时延减少了，但各用户的等待时间及时延的变化都会增加。

3.2.2 M/M/m排队系统

在M/M/m排队系统中，到达过程是Poisson过程，服务过程是指数过程，到达过程和服务过程相互独立。并且排队的队长可以无限长。服务员有m个。该系统的到达率为λ，每个用户的服务速率为μ。

离开速率的求解就是指用户被服务完成，然后离开。

下面对上述结果进行讨论

前半部分是一个服务率为μ的M/M/m排队系统（m个信道就是m个服务员，每个服务员的服务率是μ）。后半部分是服务率为mμ的M/M/1系统。

Ｍ／Ｍ／ｍ排队系统可进行下列两种形式的推广。
1）ｍ→∞∞∞ 时的Ｍ／Ｍ／∞∞∞

2）限定系统容量为ｍ时的排队系统Ｍ／Ｍ／ｍ／ｍ

对于M/M/m/m排队系统,系统中的容量为m。当用户进入系统时, 发现m个服务员全忙时, 就立刻离开系统(或丢失)。这种情况主要用于电路交换系统。比如,当我们打长途电话时,假定仅有m条线路可用,如果我们发现线路全忙, 我们就会过一会再打或以后再打,这就相当于我们离开系统。这是一种呼损制系统, 而不像M/M/m是一个等待制系统。

在呼损制系统中, 感兴趣的主要参数是呼损率(阻塞概率Blocking Probability)。所谓呼损率就是新到用户发现系统所有线路都忙的概率, 也就是他的呼叫被拒绝的概率。

例3.8 假定系统的服务员数分别为m1=10，m2=20，每次呼叫的平均时间为3min，要求系统的呼损率小于5%，试求系统支持的最大呼叫到达率和服务员的繁忙程度。

所求的呼叫到达率即为λ，根据下面的公式

从上例和表3-1可以看出，如果系统要求呼损率越小，则系统可承担的负荷越小（能处理的越少），各服务员的繁忙程度就越低。在相同的呼损率条件下，服务员越多，各服务员的繁忙程度越高，因而系统承担的负荷越大（能够处理更多的东西）。这也反映了统计复用带来的好处。

3.3 M/G/1型排队系统

M/G/1型排队系统和M/M/1系统的主要差别是服务时间为一般性的独立同分布。

3.3.1 M/G/1排队系统

3.3.2服务员有休假的M/G/1排队系统

3.3.3 采用不同服务规则的M/G/1排队系统

这里不做要求

3.3.4 本章公式汇总

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