【HDU 5869】Different GCD Subarray Query【区间不同 gcd 个数】

题意：

给出 nnn 个数字，一共 qqq 次查询，每次询问一个 lll、rrr，查询区间 [l,r][l,r][l,r] 中有多少个不同的 gcdgcdgcd，其中一个子区间代表一个 gcdgcdgcd。(1≤n,q≤105,1≤ai≤106)(1\leq n,q\leq 10^5,1\leq a_i\leq 10^6)(1≤n,q≤105,1≤ai≤106)

思路：

区间查询不同 gcdgcdgcd 的个数，这类题像一类套路问题，主要要抓住 gcdgcdgcd 的几个性质。

固定右端点，移动左端点，gcdgcdgcd 的值从 ara_rar 不断变化，要么不变，要么至少除 222（因为 gcdgcdgcd 最小值为 222）。因此固定右端点之后，只会存在至多 logloglog 个不同的 gcdgcdgcd，我们对于相同的 gcdgcdgcd 仅保留最靠右的位置。
因此对于每个右端点，我们记录一个 vectorvectorvector，存储对于这个右端点的所有不同的 gcdgcdgcd 值。我们可以根据 vector[i−1]vector[i-1]vector[i−1] 来更新 vector[i]vector[i]vector[i]。

处理完上述操作之后，我们得到了 n∗lognn*lognn∗logn 个 (l,r,gcd)(l,r,gcd)(l,r,gcd) 三元组，然后我们将所有查询按照右端点排序。

记录一个 pospospos，不断右移到查询的右端点位置，每次移动时将 vector[pos]vector[pos]vector[pos] 内的信息存储到树状数组中，即对于每个三元组 (l,pos,gcd)(l,pos,gcd)(l,pos,gcd)，如果该 gcdgcdgcd 未出现过，则在树状数组的 lll 位置 +1+1+1，并设置 vis[gcd]=lvis[gcd]=lvis[gcd]=l。如果该 gcdgcdgcd 出现过，则比较 lll 是否比 vis[gcd]vis[gcd]vis[gcd] 更大，如果更大，则修改 gcdgcdgcd 在树状数组中的位置。上述操作即不断维护 gcdgcdgcd 最靠右的出现位置。然后对于每个查询，直接在树状数组中区间查询即可。

总结：

此题最关键的在于发现区间 gcdgcdgcd 不断除 222 的性质，然后将查询离线利用树状数组不断维护每个 gcdgcdgcd 最后出现的位置即可完成。

代码：

#include <bits/stdc++.h>
#define mem(a,b) memset(a,b,sizeof a);
#define rep(i,a,b) for(int i = a; i <= b; i++)
#define per(i,a,b) for(int i = a; i >= b; i--)
#define __ ios::sync_with_stdio(0);cin.tie(0);cout.tie(0)
typedef long long ll;
typedef double db;
const int N = 1e6+100;
const db EPS = 1e-9;
using namespace std;void dbg() {cout << "\n";}
template<typename T, typename... A> void dbg(T a, A... x) {cout << a << ' '; dbg(x...);}
#define logs(x...) {cout << #x << " -> "; dbg(x);}int n,q,a[N],vis[N];
ll ans[N],c[N];
struct Node{int l,r,id;bool operator < (Node xx) const {return r < xx.r;}
}Q[N];
vector<pair<int,int> > base[N];inline int lowbit(int x) {return x&(~x+1);}
inline void update(int x,ll v) {for(;x<=n;x+=lowbit(x)) c[x] += v;}
inline ll ask(int x){ll tp = 0;while(x) tp += c[x], x -= lowbit(x);return tp;
}int gcd(int a,int b){return b == 0 ? a:gcd(b,a%b);
}int main()
{while(~scanf("%d%d",&n,&q)){rep(i,1,n) scanf("%d",&a[i]);rep(i,1,n) base[i].clear();rep(i,0,n) c[i] = 0;//更新每个点的vectorrep(i,1,n){base[i].push_back(make_pair(i,a[i])); vis[a[i]] = 1;for(auto &v:base[i-1]){int tp = gcd(v.second,a[i]);if(!vis[tp]){base[i].push_back(make_pair(v.first,tp));vis[tp] = 1;}}for(auto &v:base[i])vis[v.second] = 0;}rep(i,1,q) scanf("%d%d",&Q[i].l,&Q[i].r), Q[i].id = i;sort(Q+1,Q+1+q);int pos = 0;rep(i,1,q){while(pos <= Q[i].r){for(auto &v:base[pos]){int hp = v.first;if(hp > vis[v.second]){if(vis[v.second]) update(vis[v.second],-1);vis[v.second] = hp;update(vis[v.second],1);}}pos++;}ans[Q[i].id] = ask(Q[i].r)-ask(Q[i].l-1);}rep(i,1,q) printf("%lld\n",ans[i]);memset(vis,0,sizeof vis);}return 0;
}

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