频谱感知3：合作频谱检测中的硬合并与软合并

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1、硬合并
2、软合并

1、硬合并

我们先来考虑硬判决的情况。假定我们一共有KKK个次用户，第kkk个次用户采用能量检测器得到本地判决
LDk={0:H01:H1,(1.1)\tag{1.1} {\rm LD}_k=\left\{\begin{aligned} 0:&\quad H_0\\ 1:&\quad H_1, \end{aligned}\right. LDk={0:1:H0H1,(1.1)并将其发往融合中心(FC)。FC采用m-out-of-K的方式进行投票，可以得到全局判决为
GD={1;∑k=1KLDk≥m0;∑k=1KLDk<m.(1.2)\tag{1.2} {\rm GD}=\left\{\begin{aligned} 1;&\quad \sum_{k=1}^{K}{\rm LD}_k\ge m\\ 0;&\quad \sum_{k=1}^{K}{\rm LD}_k< m. \end{aligned}\right. GD=⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎧1;0;k=1∑KLDk≥mk=1∑KLDk<m.(1.2)因此，FC处的检测概率和虚检概率分别为
Qd=∑k=mK(Kk)Pd,kk(1−Pd,k)K−k(1.3)\tag{1.3} {\rm Q_d}=\sum_{k=m}^{K}\binom{K}{k}{\rm P}^k_{{\rm d},k}(1-{\rm P}_{{\rm d},k})^{K-k} Qd=k=m∑K(kK)Pd,kk(1−Pd,k)K−k(1.3)以及
Qf=∑k=mK(Kk)Pf,kk(1−Pf,k)K−k,(1.4)\tag{1.4} {\rm Q_f}=\sum_{k=m}^{K}\binom{K}{k}{\rm P}^k_{{\rm f},k}(1-{\rm P}_{{\rm f},k})^{K-k}, Qf=k=m∑K(kK)Pf,kk(1−Pf,k)K−k,(1.4)其中
Pd,k=Q[η−E(rk∣H1)Var(rk∣H1)](1.5)\tag{1.5} {\rm P}_{{\rm d},k}=Q\left[\frac{\eta-{\rm E}(r_k|H_1)}{\sqrt{{\rm Var}(r_k|H_1)}} \right] Pd,k=Q[Var(rk∣H1)η−E(rk∣H1)](1.5)为第kkk个用户的检测概率，
Pf,k=Q[η−E(rk∣H0)Var(rk∣H0)](1.6)\tag{1.6} {\rm P}_{{\rm f},k}=Q\left[\frac{\eta-{\rm E}(r_k|H_0)}{\sqrt{{\rm Var}(r_k|H_0)}} \right] Pf,k=Q[Var(rk∣H0)η−E(rk∣H0)](1.6)为第kkk个用户的虚检概率，rkr_krk为第kkk个用户的检测变量，且rkr_krk分布如下：
rk∼N(Nσk2,2Nσk4):H0rk∼N((N+μk)σk2,2(N+2μk)σk4):H1(1.7)\tag{1.7}\begin{aligned} r_k\sim {\mathcal N}(N\sigma_k^2,2N\sigma_k^4): & \quad H_0\\ r_k\sim {\mathcal N}\left((N+\mu_k)\sigma_k^2,2(N+2\mu_k)\sigma_k^4\right):&\quad H_1 \end{aligned}rk∼N(Nσk2,2Nσk4):rk∼N((N+μk)σk2,2(N+2μk)σk4):H0H1(1.7)其中μk=2αk2EsN0\mu_k=\frac{2\alpha_k^2 E_{s}}{N_0}μk=N02αk2Es，α\alphaα为瑞利分布。
在Rayleigh衰落信道条件下的硬判决检测性能如图1所示，这里假定所有用户的衰落与噪声都是独立同分布的。此时γ=12\gamma=12γ=12dB，K=10K=10K=10，m=6m=6m=6。图2给出为固定单用户虚检概率Pf=0.01P_f=0.01Pf=0.01情况下，对于不同节点数KKK，当mmm在1~KKK之间变化时，显然QfQ_fQf减少，漏检概率QmQ_mQm增大。

图1 瑞利衰落信道条件下检测性能曲线

图2 不同节点数情况下硬合并性能曲线，单用户虚检概率为0.01

2、软合并

这里我们考虑软合并。融合节点处，收到来自所有KKK个节点的检测变量rkr_krk，k=1,2,…,Kk=1,2,\ldots,Kk=1,2,…,K，可以表示为
[u1u2⋮uK]=[r1r2⋮rK]+[n1n2⋮nK](2.1)\tag{2.1} \begin{bmatrix} u_1\\ u_2\\ \vdots \\ u_K \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} r_1\\ r_2\\ \vdots\\ r_K \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} n_1\\ n_2\\ \vdots\\ n_K \end{bmatrix} ⎣⎢⎢⎢⎡u1u2⋮uK⎦⎥⎥⎥⎤=⎣⎢⎢⎢⎡r1r2⋮rK⎦⎥⎥⎥⎤+⎣⎢⎢⎢⎡n1n2⋮nK⎦⎥⎥⎥⎤(2.1)即u=r+n\bf u=r+nu=r+n。这里nkn_knk为从kkk用户到融合节点的信道噪声且nk∼N(0,δk2)n_k\sim{\mathcal N}(0,\delta_k^2)nk∼N(0,δk2)。进一步对这些变量进行加权合并，可以得到FC处的检测变量为
y=∑k=1Kwkuk=∑k=1Kwk(rk+nk)=wTu,(2.2)\tag{2.2} y=\sum_{k=1}^{K}{w_ku_k}=\sum_{k=1}^{K}w_k(r_k+n_k)={\bf w}^{\rm T}{\bf u}, y=k=1∑Kwkuk=k=1∑Kwk(rk+nk)=wTu,(2.2)其中，w≜[w1,w2,…,wK]T{\bf w}\triangleq[w_1,w_2,\ldots,w_K]^{\rm T}w≜[w1,w2,…,wK]T为权重系数，wk≥0w_k\ge 0wk≥0；rkr_krk分布如（1.7）。
由于yyy是本地检测结果的线性组合，显然我们同样可以假定其为正态分布。下面来求它的均值和方差。

- yyy的均值
E[y]=∑k=1KwkE[uk]=∑k=1Kwk(E[rk]+E[nk])(2.3)\tag{2.3} \begin{aligned} {\rm E}[y]&=\sum_{k=1}^{K}{w_k{\rm E}[u_k]}=\sum_{k=1}^{K}w_k({\rm E}[r_k]+{\rm E}[n_k]) \end{aligned} E[y]=k=1∑KwkE[uk]=k=1∑Kwk(E[rk]+E[nk])(2.3)
首先考虑H0H_0H0，可以得到
my0=E[y∣H0]=∑k=1Kwkσk2=NσTw(2.4)\tag{2.4} m_{y0}={\rm E}[y|H_0]=\sum_{k=1}^{K}w_k\sigma^2_k=N{\bm \sigma}^{\rm T}{\bf w}my0=E[y∣H0]=k=1∑Kwkσk2=NσTw(2.4)其中，σ=[σ12,σ22,…,σK2]T{\bm \sigma}=[\sigma_1^2,\sigma_2^2,\ldots,\sigma_K^2]^{\rm T}σ=[σ12,σ22,…,σK2]T。对于H1H_1H1则有
E[y∣H1]=∑k=1Kwk(N+μk)σk2,(2.5)\tag{2.5} {\rm E}[y|H_1]=\sum_{k=1}^{K}w_k(N+\mu_k)\sigma_k^2, E[y∣H1]=k=1∑Kwk(N+μk)σk2,(2.5)由于μk=2αk2EsN0=αk2Esσk2\mu_k=\frac{2\alpha_k^2E_s}{N_0}=\frac{\alpha_k^2E_s}{\sigma_k^2}μk=N02αk2Es=σk2αk2Es，(2.5)可以重写成
my1=E[y∣H1]=∑k=1Kwk(Nσk2+αk2Es)=(Nσ+αEs)Tw,(2.6)\tag{2.6} m_{y1}={\rm E}[y|H_1]=\sum_{k=1}^{K}w_k(N\sigma_k^2+\alpha^2_kE_s)=(N{\bm \sigma}+{\bm \alpha}E_s)^{\rm T}{\bf w}, my1=E[y∣H1]=k=1∑Kwk(Nσk2+αk2Es)=(Nσ+αEs)Tw,(2.6)其中α=[α12,α22,…,αK2]T{\bm \alpha}=[\alpha_1^2,\alpha_2^2,\ldots,\alpha_K^2]^{\rm T}α=[α12,α22,…,αK2]T。

- yyy的方差
下面来看yyy的方差，有
Var[y]=E(y−my)2=wTE[(u−mu)(u−mu)T]w=∑k=1K(Var[rk]+Var[nk])wk2,(2.7)\tag{2.7} \begin{aligned} {\rm Var}[y]&={\rm E}(y-m_y)^2\\ &={\bf w}^{\rm T}{\rm E}[({\bf u}-{\bf m}_u)({\bf u}-{\bf m}_u)^{\rm T}]{\bf w}\\ &=\sum_{k=1}^{K}\left({\rm Var}[r_k]+{\rm Var}[n_k]\right)w_k^2, \end{aligned} Var[y]=E(y−my)2=wTE[(u−mu)(u−mu)T]w=k=1∑K(Var[rk]+Var[nk])wk2,(2.7)对于不同假设可以分别得到方差为Var(y∣H0)=∑k=1K(2Nσk4+δk2)wk2=wTΣH0w(2.8)\tag{2.8}\begin{aligned} {\rm Var}(y|H_0)&=\sum_{k=1}^{K}(2N\sigma_k^4+\delta_k^2)w_k^2\\ &={\bf w}^{\rm T}{\bm \Sigma}_{H_0}{\bf w} \end{aligned} Var(y∣H0)=k=1∑K(2Nσk4+δk2)wk2=wTΣH0w(2.8)以及
Var(y∣H1)=∑k=1K(2Nσk4+4μkσk4+δk2)wk2=∑k=1K(2Nσk4+4αk2σk2+δk2)wk2=wTΣH1w,(2.9)\tag{2.9} \begin{aligned} {\rm Var}(y|H_1)&=\sum_{k=1}^{K}(2N\sigma_k^4+4\mu_k\sigma_k^4+\delta_k^2)w_k^2\\ &=\sum_{k=1}^{K}(2N\sigma_k^4+4\alpha^2_k\sigma_k^2+\delta_k^2)w_k^2\\ &={\bf w}^{\rm T}{\bm \Sigma}_{H_1}{\bf w}, \end{aligned} Var(y∣H1)=k=1∑K(2Nσk4+4μkσk4+δk2)wk2=k=1∑K(2Nσk4+4αk2σk2+δk2)wk2=wTΣH1w,(2.9)其中ΣH0=2Ndiag2(σ)+diag(δ){\bm \Sigma}_{H_0}=2N{\rm diag}^2({\bm \sigma})+{\rm diag}({\bm \delta})ΣH0=2Ndiag2(σ)+diag(δ)，ΣH1=2Ndiag2(σ)+diag(δ)+4Esdiag(α)diag(σ){\bm \Sigma}_{H_1}=2N{\rm diag}^2({\bm \sigma})+{\rm diag}({\bm \delta})+4E_s{\rm diag}({\bm \alpha}){\rm diag}({\bm \sigma})ΣH1=2Ndiag2(σ)+diag(δ)+4Esdiag(α)diag(σ)。由此，我们可以得到yyy的分布为
H0:y∼N(NσTw,wTΣH0w)H1:y∼N([Nσ+αEs]Tw,wTΣH1w).(2.10)\tag{2.10}\begin{aligned} &H_0:y\sim {\mathcal N}(N{\bm \sigma}^{\rm T}{\bf w},{\bf w}^{\rm T}{\bm \Sigma}_{H_0}{\bf w})\\ &H_1: y\sim {\mathcal N}\left([N{\bm \sigma}+{\bm \alpha}E_s]^{\rm T}{\bf w},{\bf w}^{\rm T}{\bm \Sigma}_{H_1}{\bf w}\right). \end{aligned}H0:y∼N(NσTw,wTΣH0w)H1:y∼N([Nσ+αEs]Tw,wTΣH1w).(2.10)
因此，若FC处的判决门限为ηFC\eta_{\rm FC}ηFC，我们可以得到软合并时的检测概率为
Qd,sc=Q[ηFC−E(y∣H1)Var(y∣H1)],(2.11)\tag{2.11} {\rm Q}_{{\rm d,sc}}=Q\left[\frac{\eta_{\rm FC}-{\rm E}(y|H_1)}{\sqrt{{\rm Var}(y|H_1)}} \right], Qd,sc=Q[Var(y∣H1)ηFC−E(y∣H1)],(2.11)虚检概率为
Qf,sc=Q[ηFC−E(y∣H0)Var(y∣H0)].(1.6)\tag{1.6} {\rm Q}_{{\rm f,sc}}=Q\left[\frac{\eta_{\rm FC}-{\rm E}(y|H_0)}{\sqrt{{\rm Var}(y|H_0)}} \right]. Qf,sc=Q[Var(y∣H0)ηFC−E(y∣H0)].(1.6)

下面我们来比较软硬合并性能，假定合并后的虚检概率Pf=0.1P_f=0.1Pf=0.1，可以得到漏检率如图3所示。显然软合并性能更好。

图3 不同合并方式、用户数情况下漏检概率与信噪比关系