学习模式上的记录之统计篇四关于excel里添加趋势线和回归统计的R square数值不一致的情况

嫌长不想看：先看自己有没有设置强制截距为0，若实际应用时确实需要强制截距为0，Excel的算法跟Sigmaplot的算法此时不一样，建议使用LINEST函数的结果。

1. 利用Excel计算 R² 的方法

有以下几种方法：
1.1 做散点图添加趋势线
1.2 利用数据栏-数据分析-回归，回归统计中给出 R² 及 adjusted R² 结果
1.3 利用 LINEST 函数，使用时注意选中输出区域，输入公式后，按 Ctrl+Shift+Enter 实现最终输出，示例结果如下图，标黄数据为函数计算出的 R²

Microsoft官网上给出的了附加回归统计值返回的顺序（对照上图）

1.4 利用 RSQ 函数计算 Excel统计函数：RSQ
返回两个数据数组之间的 Pearson Product-Moment 相关系数的平方
输入 RSQ (known_y’s, known_x’s)
RSQ 的 R² 是基于 截距≠0 计算出来的

2. 用其他统计软件互校结果：

无截距时，使用Sigmaplot的散点图 curve fit，report中的R²与excel散点图的R²一致

3. 回归结果不一致

但有时候，当线性回归设置无截距时，1.1 和 1.2，1.3得到的数值不一致，虽然都是根据（回归平方和/总平方和）计算出来的，但总平方和的计算不一样了，此时，1.3的算法如下说明。

LINEST 函数的官方文档有这样的说明

回归分析时，Excel 会计算每一点的 y 的估计值和实际值的平方差。这些平方差之和称为残差平方和 (ssresid)。然后 Excel 会计算总平方和 (sstotal)。当参数 const = TRUE 或被省略时，截距b正常计算，总平方和是 y 的实际值和平均值的平方差之和。 当参数 const = FALSE 时，截距b=0，总平方和是 y 的实际值的平方和（不需要从每个 y 值中减去平均值）。 回归平方和 (ssreg) 可通过公式 ssreg = sstotal - ssresid 计算出来。与平方和总和相比，残差平方和越小，决定系数 r²的值越大，这表示回归分析产生的公式对变量之间的关系的解释度如何。 r² 的值等于 ssreg/sstotal。

这部分内容应该时线性回归比较基础的部分了，就是一个在满足最小二乘时恒成立的公式：
总平方和=回归平方和+残差平方和
证明过程可以参考证明总偏差平方和 = 回归平方和 + 残差平方和

问题也出在这里，为什么截距为0时，LINEST函数中，总平方和取值为实际值的平方和，而不是实际值减去均值之后的平方和？
当了解到最小二乘法回归得出的intercept和slope的计算方法时，就明白了一部分。
Microsoft官方文档中，说明了

LINEST 函数使用最小二乘法来判定数据的最佳拟合。当只有一个自变量 x 时，m 和 b 是根据下面的公式计算出的

从这里可以看出，当强制截距为0时，也就意味着此时样本均值为0，那么总平方和的计算中，只取了实际值的平方和，而没有取实际值-样本均值的平方和就是有道理的。

而且，也只有拟合函数满足最小二乘法时，总平方和=回归平方和+残差平方和才能成立，此时的R square才是有意义的。

当强制截距为0时，这个时候拟合出来的函数其实已经不满足最小二乘法了，也就不满足R square的计算公式，即使算法可以算出一个数值，但这个数值是没有意义的。

统计是一种数据处理手段，在实际处理时，要注意截距和斜率的实际意义，当确实需要强制截距为0时，建议还是使用回归统计中的结果作为参考。

补充说明：
今天发现不止线性拟合，只要是拟合，当人为fix了某个参数的时候，不同软件和不同统计方法得到的 R² 就会出现偏差。