模糊数学模型

基本理论
- 模糊集合的表示方法
- - zadeh 表示法
  - 序偶表示法
  - 向量表示法
- 隶属函数的确定方法
- - 模糊统计方法
  - 借助已有的客观尺度
  - 指派法
- 模糊关系
- 一级模糊综合评价模型
- - 1.确定因素集（评价指标体系集合）
  - 2.确定评语集（各种不同评语集合）
  - 3.确定权重分配（U上的一个模糊向量）
  - 4.确定模糊综合判断矩阵
  - 5.综合评判

基本理论

数学模型分类：

确定性数学模型
随机性的数学模型
模糊性模型

模糊集合的表示方法

zadeh 表示法

当论域 XXX 为有限集时，记X=[x1,x2,⋯,xn]X=[x_1,x_2,\cdots,x_n]X=[x1,x2,⋯,xn]，则模糊集AAA可以写成

A=∑i=1nμA(xi)xi=μA(x1)xi1+⋯+μA(xn)xnA=\sum_{i=1}^n\frac{\mu_A(x_i)}{x_i}=\frac{\mu_A(x_1)}{x_i1}+\cdots+\frac{\mu_A(x_n)}{x_n}A=∑i=1nxiμA(xi)=xi1μA(x1)+⋯+xnμA(xn)

该式表示点 xix_ixi 对模糊集 AAA 的隶属度是 μA(xi)\mu_A(x_i)μA(xi)

∑\sum∑ 和 +++ 非求和之意，概括集合诸元，方便论域为无限集合的表示：
A=∫x∈XμA(x)xA=\int_{x\in X}\frac{\mu_A(x)}{x}A=∫x∈XxμA(x)

序偶表示法

A={(x1,μA(x1)),(x2,μ2(x2)),⋯,(xn,μA(xn))}A=\{(x_1,\mu _A (x_1)),(x_2,\mu_2(x_2)),\cdots,(x_n,\mu_A(x_n))\}A={(x1,μA(x1)),(x2,μ2(x2)),⋯,(xn,μA(xn))}

向量表示法

A=(μA(x1),μ2(x2),⋯,μA(xn))A=(\mu _A (x_1),\mu_2(x_2),\cdots,\mu_A(x_n))A=(μA(x1),μ2(x2),⋯,μA(xn))

隶属函数的确定方法

模糊统计方法

基于模糊统计实验，例如发放问卷等

借助已有的客观尺度

例如：

论域	模糊集	隶属度
设备	设备完好	设备完好率
产品	质量稳定	正品率
家庭	小康家庭	恩格尔系数

指派法

根据问题性质主观地选用某些形式的模糊分布，再根据实际测量数据确定其中所包含的参数

模糊关系

二元模糊关系：

设论域 U,VU,VU,V，乘积空间上U×V={(u,v)∣u∈U,v∈V}U\times V=\{(u,v)|u\in U,v\in V\}U×V={(u,v)∣u∈U,v∈V}上的一个模糊子集 RRR 为从集合UUU到集合VVV的模糊关系，若模糊关系 RRR 的隶属函数为
μR:U×V→[0,1],(x,y)→μR(x,y)\mu _R:U\times V\rightarrow [0,1],\qquad(x,y)\rightarrow \mu _R(x,y)μR:U×V→[0,1],(x,y)→μR(x,y)
则称隶属度 μR(x,y)\mu_R(x,y)μR(x,y) 为 (x,y)(x,y)(x,y) 关于模糊关系 RRR 的相关程度

一级模糊综合评价模型

1.确定因素集（评价指标体系集合）

U={u1,u2,⋯,un}U=\{u_1,u_2,\cdots,u_n\}U={u1,u2,⋯,un}

2.确定评语集（各种不同评语集合）

V={v1,v2,⋯,vm}V=\{v_1,v_2,\cdots,v_m\}V={v1,v2,⋯,vm}

3.确定权重分配（U上的一个模糊向量）

A=[a1,a2,⋯,an]A = [a_1,a_2,\cdots,a_n]A=[a1,a2,⋯,an]

与因素集长度一致，满足元素和为1

4.确定模糊综合判断矩阵

对指标uiu_iui来说，对各个评语的隶属度为VVV上的模糊子集，记为
Ri=[ri1,ri2,⋯,rim]R_i=[r_{i1},r_{i2},\cdots,r_{im}]Ri=[ri1,ri2,⋯,rim]
模糊矩阵为：
[r11r12⋯r1mr21r22⋯r2m⋮⋮⋱⋮rn1rn2⋯rnm]\begin{bmatrix} r_{11} & r_{12} & \cdots & r_{1m} \\ r_{21} & r_{22} & \cdots & r_{2m} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ r_{n1} & r_{n2} & \cdots & r_{nm} \\ \end{bmatrix} ⎣⎢⎢⎢⎡r11r21⋮rn1r12r22⋮rn2⋯⋯⋱⋯r1mr2m⋮rnm⎦⎥⎥⎥⎤

模糊综合判断矩阵：
每列：各个指标对于单一评语的隶属度
每行：单一指标的隶属度

5.综合评判

B=A⋅RB=A\cdot RB=A⋅R

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