CodeForces - 560E Gerald and Giant Chess(组合数学+dp)

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题目大意：给出一个 n∗mn*mn∗m 的矩阵，其中有 kkk 个坏点，每次只能向右走或向下走，问从点 (1,1)(1,1)(1,1) 到点 (n,m)(n,m)(n,m) 共有多少种不同的路线

题目分析：刷知乎看到的一道题，心血来潮就想写题了

数据范围 n,mn,mn,m 都是 1e51e51e5 级别的，而 kkk 却只有 200020002000，所以从坏点入手，考虑 dpdpdp 和组合数学

首先对于两个点 (x1,y1)(x1,y1)(x1,y1) 和 (x2,y2)(x2,y2)(x2,y2) 来说，如果没有坏点的限制，那么这两个点之间的路线有 C(x2−x1)+(y2−y1)x2−x1C_{(x2-x1)+(y2-y1)}^{x2-x1}C(x2−x1)+(y2−y1)x2−x1 条，下面可以分两步进行思考，对于每个坏点 (x,y)(x,y)(x,y) 来说：

加上点 (1,1)(1,1)(1,1) 到点 (x,y)(x,y)(x,y) 之间方案数
对于每个满足 xx<=xxx<=xxx<=x 且 yy<=yyy<=yyy<=y 的坏点 (xx,yy)(xx,yy)(xx,yy) 来说，点 (1,1)(1,1)(1,1) 经过点 (xx,yy)(xx,yy)(xx,yy) 然后到达点 (x,y)(x,y)(x,y) 的这些路线显然是不合法的，减去即可

综上所述，将所有坏点排序之后的转移方程就是（设 f(x1,y1)(x2,y2)f_{(x1,y1)}^{(x2,y2)}f(x1,y1)(x2,y2) 为坏点 (x1,y1)(x1,y1)(x1,y1) 到坏点 (x2,y2)(x2,y2)(x2,y2) 的方案数，dpidp_idpi 为点 (1,1)(1,1)(1,1) 到第 iii 个坏点的方案数）：
dpi=f(1,1)(pi.x,pi.y)−[pj.x<=pi.x&&pj.y<=pi.y]∗dpj∗f(pi.x,pi.y)(pj.x,pj.y)dp_i=f_{(1,1)}^{(p_i.x,p_i.y)} \\ -[p_j.x<=p_i.x\ \&\&\ p_j.y<=p_i.y]*dp_j*f_{(p_i.x,p_i.y)}^{(p_j.x,p_j.y)} dpi=f(1,1)(pi.x,pi.y)−[pj.x<=pi.x && pj.y<=pi.y]∗dpj∗f(pi.x,pi.y)(pj.x,pj.y)
将点 (n,m)(n,m)(n,m) 设为第 k+1k+1k+1 个坏点，那么答案自然就是 dpk+1dp_{k+1}dpk+1 了

代码：

// #pragma GCC optimize(2)
// #pragma GCC optimize("Ofast","inline","-ffast-math")
// #pragma GCC target("avx,sse2,sse3,sse4,mmx")
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<string>
#include<ctime>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<stack>
#include<climits>
#include<queue>
#include<map>
#include<set>
#include<sstream>
#include<cassert>
#include<bitset>
#include<unordered_map>
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef unsigned long long ull;
template<typename T>
inline void read(T &x)
{T f=1;x=0;char ch=getchar();while(0==isdigit(ch)){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}while(0!=isdigit(ch)) x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0',ch=getchar();x*=f;
}
template<typename T>
inline void write(T x)
{if(x<0){x=~(x-1);putchar('-');}if(x>9)write(x/10);putchar(x%10+'0');
}
const int inf=0x3f3f3f3f;
const int N=1e6+100;
const int mod=1e9+7;
struct Point {int x,y;void input() {read(x),read(y);}bool operator<(const Point& t)const {if(x!=t.x) {return x<t.x;}return y<t.y;}
}p[N];
LL dp[N],fac[N],inv[N];
LL q_pow(LL a,LL b) {LL ans=1;while(b) {if(b&1) {ans=ans*a%mod;}a=a*a%mod;b>>=1;}return ans;
}
LL C(int n,int m) {if(n<m) {return 0;}return fac[n]*inv[m]%mod*inv[n-m]%mod;
}
void init() {fac[0]=1;for(int i=1;i<N;i++) {fac[i]=fac[i-1]*i%mod;}inv[N-1]=q_pow(fac[N-1],mod-2);for(int i=N-2;i>=0;i--) {inv[i]=inv[i+1]*(i+1)%mod;}
}
int main()
{#ifndef ONLINE_JUDGE
//  freopen("data.in.txt","r",stdin);
//  freopen("data.out.txt","w",stdout);
#endif
//  ios::sync_with_stdio(false);init();int n,m,k;read(n),read(m),read(k);for(int i=1;i<=k;i++) {p[i].input();}p[++k]={n,m};sort(p+1,p+1+k);for(int i=1;i<=k;i++) {dp[i]=C((p[i].x-1)+(p[i].y-1),(p[i].x-1));for(int j=1;j<i;j++) {if(p[i].x>=p[j].x&&p[i].y>=p[j].y) {dp[i]=(dp[i]-dp[j]*C((p[i].x-p[j].x)+(p[i].y-p[j].y),p[i].x-p[j].x)%mod+mod)%mod;}}}write(dp[k]);return 0;
}

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