前言：

这是今天葡萄城老总问的一道智力题，我觉得很有意思，所以将我的解决思路分享出来，希望可以帮助需要的小伙伴 -_-。我喜欢用画图来表达一些事物，因此这道题我以画图的方式表现出来，题目如下图所示：

题目描述：A、B、C、D表示四只蚂蚁，这四只蚂蚁在一个正方形的操场上跑步，它们的速度分别为1圈/分、1.5圈/分、2圈/分、2.5圈/分；
求解：
（1）十分钟后蚂蚁间两两相遇的次数（例如B追上A、C追上B，C追上A，D追上C，D追上B，D追上A）？
（2）九分钟后蚂蚁间两两相遇的次数？

（1）分析：根据题目可得四只蚂蚁ABCD的速度依次增大，并且起始位置各自相差1/4圈，根据这两个条件我们可以得出在一定时间后速度快的蚂蚁会追上速度慢的蚂蚁；首先我们可以求出十分钟后四只蚂蚁各自总共跑了多少圈，结果如下：

	A	B	C	D
总圈数（10分钟）	10	15	20	25
A被其他超越的圈数		5	10	15
B被其他超越的圈数			5	10
C被其他超越的圈数				5

注意：十分钟之后所有蚂蚁回到了初始位置。

我们以A为例，在十分钟后B必A多跑了5圈，C必A多跑了10圈，D必A多跑了15圈，我们可以试想一下，在十分钟内B必A多跑5圈，并且初始位置A在B的后面，因此十分钟后B超过了 A 5次。同理C超过了A 10次、D超过A 15次。

那么我们可以推出十分钟后蚂蚁间两两相遇的次数为5+10+15+5+10+5 = 50次。

（2）分析：按照问题（1）的分析方式分析问题（2），可以得到下表

	A	B	C	D
总圈数（9分钟）	9	13.5	18	22.5
A被其他超越的圈数		4.5（4）	9	13.5 （14）
B被其他超越的圈数			4.5（4）	9
C被其他超越的圈数				4.5（4）

注意：9分钟之后A、C回到了初始位置，而B、D位置调换。

这里出现了某只蚂蚁超越另一只蚂蚁xx.5圈的字样，我们已经知道了一只蚂蚁比另一只蚂蚁多跑1圈就意味着超越该蚂蚁一次，那么在多跑的半圈内，蚂蚁有没有可能超越其他蚂蚁呢。

要分析多跑的半圈，我们可以先找到一个临界点，因为D蚂蚁跑的最快，A蚂蚁跑的最慢，因此这里我们以D、A为例进行分析（1分钟时蚂蚁运动情况图）：

通过以上分析（因为画图过于麻烦，这里我将结论写在下面）可以发现在1分钟的时候D超越A两次，2分钟的时候D超越A三次，3分钟的时候D 超越A 5次……因此可以得出结论当时间为奇数时D与A相遇两次，为偶数时相遇1次。即当计算D与A相遇的次数时最后的半圈两者会相遇一次。

现在蚂蚁A和蚂蚁D 的关系已经明确，就是最后那半圈两者会相遇。下面需要分析A、B之间的半圈关系、AC之间、BC之间、BD之间、CD之间的半圈关系，经过分析我的结论如下：

AB	最后半圈不会相遇
AC	不存在最后半圈的问题
AD	最后半圈会相遇
BC	最后半圈不会相遇
BD	不存在最后半圈的问题
CD	最后半圈不会相遇

因此当时间等于九分钟的时候：蚂蚁两两相遇的次数 = 4 + 9 + 14 + 4 + 9 + 4 = 44次。

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