1 概述

1.1 数学建模常见问题

1.2 预测类问题

1.3 插值预测

2 Scipy一维插值方法

2.1 直接法——splrep&splev

代码实现（包含画图的模板库）

2.2 内插法 ——interp1d

2.3 外插法——UnivariateSplin

3 Scipy二维实现

3.1概述

3.2 参数

3.3 代码实现

3.4 结果

4 致谢

1 概述

1.1 数学建模常见问题

1.2 预测类问题

1.3 插值预测

2 Scipy一维插值方法

2.1 直接法——splrep&splev

(1)参数

#求取一维曲线的 B-spline 插值,
# 给定一组数据点 (x[i]，y[i])(x[i]，y[i])(x[i]，y[i])，确定在区间xb≤x≤xe 上 k 次的光滑样条逼近。
scipy.interpolate.splrep(x, y, w=None, xb=None, xe=None, k=3, task=0, s=None, t=None, full_output=0, per=0, quiet=1)
#求取 N 维曲线的 B-spline 插值
scipy.interpolate.splprep(x, w=None, u=None, ub=None, ue=None, k=3, task=0, s=None, t=None, full_output=0, nest=None, per=0, quiet=1)

其中，x 和 y 是点的横纵坐标，xb 和 xe 是间隔，k 为样条拟合度，建议使用三次样条（cubic splines），通常 1≤k≤5

接下来介绍 scipy.interpolate 里面两大杀器：splrep 和 splev。两个函数名称都是以 spl 开头，全称 spline (样条)，可以理解这两个函数都和样条有关。不同的是，两个函数名称以 rep 和 ev 结尾。splrep 和 splev 像是组合拳 (one two punch)：

*前者将 x, y 和插值方式转换成「样条对象」

*tck后者利用它在 xnew 上生成 ynew，把 x 和 tck 丢进 splev 函数，我们可以插出在 x 点对应的值 iy。

(2)案例

(3)代码实现（包含画图的模板库）

import numpy as np
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy import interpolate
import matplotlib as mplmpl.rcParams["font.sans-serif"] = ["SimHei"]
mpl.rcParams["axes.unicode_minus"] = False# Import data
file = pd.read_excel('Three moment method.xlsx', header=None, names=['x', 'value'])
data = pd.DataFrame(file)
# 数组切片
x = data['x']  # Take the first column of data
y = data['value']  # Take the second column of data
# Spline interpolation of correlation functions in SciPy Library
tck = interpolate.splrep(x, y)  # （t，c，k）包含节点向量、B样条曲线系数和样条曲线阶数的元组。
xx = np.linspace(min(x), max(x), 200)
yy = interpolate.splev(xx, tck, der=0)
x1, x2 = -0.02, 2.56
y1 = interpolate.splev(x1, tck, der=0)
y2 = interpolate.splev(x2, tck, der=0)
print('When x = -0.02, the value of Y is：', y1)
print('When x = 2.56, the value of Y is：', y2)
print(yy)plt.figure('cubic spline')
plt.plot(x, y, 'ro', xx, yy, 'b')
plt.legend(['true', 'cubic spline'])
plt.xlabel('X')
plt.ylabel('Y')
plt.grid(True)
plt.title('Three moment method of cubic spline interpolation')
# Save picture
plt.savefig('out2.png', dpi=600)
# Set the resolution at which you want to save the picture
plt.show()
#***=======================画图方法，论文改字体=====================***## figsize的8和7指的是英寸，dpi指定图片分辨率。那么图片就是（8*300）*（7*300）像素大小
'''plt.figure('cubic spline', figsize=(8, 7), dpi=600)
#设置字体大小
# 指定横纵坐标的字体以及字体大小，记住是fontsize不是size。yticks上用numpy指定了坐标轴的变化范围。
plt.xticks(np.arange(-2, 4, 0.01),fontproperties = 'Times New Roman', fontsize=0.8)
plt.yticks(np.arange(-7, 12.5, 0.01), fontproperties = 'Times New Roman', fontsize=0.8)
plt.plot(x, y, 'ro', xx, yy, 'b')
# 图上的legend，记住字体是要用prop以字典形式设置的，而且字的大小是size不是fontsize，这个容易和xticks的命令弄混
plt.legend(['true', 'cubic spline'],loc='lower right', prop={'family':'Times New Roman', 'size':0.8})
# 指定横纵坐标描述的字体及大小
plt.xlabel('X', fontdict={'family' : 'Times New Roman', 'size':0.8})
plt.ylabel('Y', fontdict={'family' : 'Times New Roman', 'size':0.8})
#网格
plt.grid(True)
# 指定图上标题的字体及大小
plt.title('Three moment method of cubic spline interpolation', fontdict={'family' : 'Times New Roman', 'size':0.8})
# 保存文件，dpi指定保存文件的分辨率
# bbox_inches="tight" 可以保存图上所有的信息，不会出现横纵坐标轴的描述存掉了的情况
plt.savefig('out.png', dpi=600, bbox_inches="tight")
# 记住，如果你要show()的话，一定要先savefig，再show。如果你先show了，存出来的就是一张白纸。
plt.show()'''

(4)结果

When x = -0.02, the value of Y is： -2.7618446933498895
When x = 2.56, the value of Y is： 4.73015581306341
[-2.46000000e+00 -2.78641445e+00 -3.08977770e+00 -3.37066746e+00-3.62966147e+00 -3.86733746e+00 -4.08427316e+00 -4.28104630e+00-4.45823461e+00 -4.61641582e+00 -4.75616766e+00 -4.87806786e+00-4.98269414e+00 -5.07062425e+00 -5.14243590e+00 -5.19870684e+00-5.24001478e+00 -5.26693746e+00 -5.28005262e+00 -5.27993797e+00-5.26717125e+00 -5.24233019e+00 -5.20599252e+00 -5.15873597e+00-5.10113827e+00 -5.03377715e+00 -4.95723034e+00 -4.87207557e+00-4.77889057e+00 -4.67825307e+00 -4.57074080e+00 -4.45693149e+00-4.33740287e+00 -4.21273266e+00 -4.08349861e+00 -3.95027844e+00-3.81364988e+00 -3.67419066e+00 -3.53247850e+00 -3.38909115e+00-3.24460633e+00 -3.09960177e+00 -2.95465520e+00 -2.81034434e+00-2.66724694e+00 -2.52594072e+00 -2.38700341e+00 -2.25101274e+00-2.11854644e+00 -1.99018224e+00 -1.86649786e+00 -1.74794500e+00-1.63451294e+00 -1.52608502e+00 -1.42254454e+00 -1.32377483e+00-1.22965918e+00 -1.14008093e+00 -1.05492338e+00 -9.74069856e-01-8.97403663e-01 -8.24808121e-01 -7.56166544e-01 -6.91362247e-01-6.30278546e-01 -5.72798756e-01 -5.18806191e-01 -4.68184167e-01-4.20815999e-01 -3.76585002e-01 -3.35374491e-01 -2.97067781e-01-2.61548188e-01 -2.28699025e-01 -1.98403609e-01 -1.70545255e-01-1.45007277e-01 -1.21672990e-01 -1.00425711e-01 -8.11487529e-02-6.37254319e-02 -4.80390629e-02 -3.39729610e-02 -2.14104413e-02-1.02348187e-02 -3.29408529e-04  8.42247428e-03  1.61375146e-022.29323974e-02  2.89238074e-02  3.42284298e-02  3.89629493e-024.32440509e-02  4.71884195e-02  5.09130460e-02  5.45723558e-025.83936999e-02  6.26128392e-02  6.74655344e-02  7.31875464e-028.00146360e-02  8.81825640e-02  9.79270913e-02  1.09483979e-011.23088987e-01  1.38977877e-01  1.57386409e-01  1.78550345e-012.02705445e-01  2.30087470e-01  2.60932180e-01  2.95475338e-013.33952703e-01  3.76600036e-01  4.23653098e-01  4.75347650e-015.31919452e-01  5.93604267e-01  6.60637853e-01  7.33255973e-018.11694387e-01  8.96188856e-01  9.86975140e-01  1.08428900e+001.18836620e+00  1.29944250e+00  1.41775365e+00  1.54353542e+001.67701955e+00  1.81755953e+00  1.96253713e+00  2.10906542e+002.25425749e+00  2.39522641e+00  2.52908525e+00  2.65294709e+002.76416075e+00  2.86268703e+00  2.95011282e+00  3.02804956e+003.09810872e+00  3.16190174e+00  3.22104008e+00  3.27713520e+003.33179854e+00  3.38664156e+00  3.44327571e+00  3.50331246e+003.56836324e+00  3.64003951e+00  3.71995274e+00  3.80971437e+003.91093585e+00  4.02522864e+00  4.15420419e+00  4.29947396e+004.46264940e+00  4.64529207e+00  4.84751920e+00  5.06781661e+005.30458260e+00  5.55621550e+00  5.82111361e+00  6.09767525e+006.38429875e+00  6.67938240e+00  6.98132454e+00  7.28852348e+007.59937753e+00  7.91228501e+00  8.22564423e+00  8.53785351e+008.84731116e+00  9.15241551e+00  9.45156487e+00  9.74315755e+001.00255919e+01  1.02972661e+01  1.05565787e+01  1.08019278e+011.10317118e+01  1.12443291e+01  1.14381779e+01  1.16116565e+011.17631633e+01  1.18910966e+01  1.19938547e+01  1.20698359e+011.21174385e+01  1.21350609e+01  1.21211013e+01  1.20739581e+011.19920296e+01  1.18737141e+01  1.17174099e+01  1.15215154e+011.12844288e+01  1.10045485e+01  1.06802728e+01  1.03100000e+01]

2.2 内插法 ——interp1d

(1)参数

class scipy.interpolate.interp1d(x, y, kind=‘linear’, axis=- 1, copy=True, bounds_error=None, fill_value=nan, assume_sorted=False)

主要参数：

x：一维数组，给定数据点集的 x 值。
y：N 维数组，给定数据点集的 y 值，数组长度必须与 x 相等。
kind：字符串或整数，可选项，指定使用的样条曲线的种类或插值方法。
*可选的字符串：‘linear’, ‘nearest’, ‘nearest-up’, ‘zero’, ‘slinear’, ‘quadratic’, ‘cubic’, ‘previous’, ‘next’；
*‘zero’, ‘slinear’, ‘quadratic’, ‘cubic’ 分别表示零次、一次、二次、三次样条插值；
*‘previous’, ‘next’ 分别表示只前点插值或后点插值；
*‘nearest’ 表示向下舍入， ‘nearest-up’ 表示向上舍入；
*默认值为 ‘linear’，即线性插值。

(2)案例

(3)案例代码实现

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt  # 导入 Matplotlib 工具包
from scipy.interpolate import interp1d  # 导入 scipy 中的一维插值工具 interp1d# 已知数据点集 (x,y)
x = [-1.00,-0.54,0.13,1.12,1.89,2.06,2.54,2.82,3.50]  # 已知数据 x
y = [2.46,-5.26,-1.87,0.05,1.65,2.69,4.56,7.89,10.31]   # 已知数据 y
# 由给定数据点集 (x,y) 求插值函数 fx
fx = interp1d(x, y, kind='cubic')  # 由已知数据 (x,y) 求出插值函数 fx
# 由插值函数 fx 计算插值点的函数值
xInterp = np.linspace(-1,3.5,100) # 指定需插值的数据点集 xInterp
yInterp = fx(xInterp)  # 调用插值函数 fx，计算 xInterp 的函数值
x1,x2=-0.02,2.56
y1Interp=fx(x1)
y2Interp=fx(x2)
print('while x=-0.02,y1=',y1Interp)
print('while x=2.56,y2=',y2Interp)
print('*--------------------all---------------------------------*')
#print(yInterp)
# 绘图
plt.figure('cubic spline')
plt.title('Three moment method of cubic spline interpolation')
plt.plot(xInterp, yInterp, label="cubic interpolate")
plt.plot(x, y, 'ro', label="true")
plt.legend()
plt.show()

(4)案例结果

while x=-0.02,y1= -2.9957315493977394
while x=2.56,y2= 4.730209292889375
*--------------------all---------------------------------*

(5)一维插值方法(内插)比较

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt  # 导入 Matplotlib 工具包
from scipy.interpolate import interp1d  # 导入 scipy 中的一维插值工具 interp1d# 生成已知数据点集 (x,y)，需插值的数据点集 xnew
np.random.seed(10)
x = np.linspace(0, 10, 30)  # 生成已知数据点集的 x
y = np.cos(x/20)*2 + 0.5*np.random.rand(30)  # 生成已知数据点集的 y
xnew = np.linspace(0, 10, 100)  # 指定需插值的数据点集 xnew# 使用不同插值方法，由给定数据点集 (x,y) 求插值函数 fx
f1 = interp1d(x, y, kind="linear")  # 线性插值
f2 = interp1d(x, y, kind="zero")  # 零阶样条插值
f3 = interp1d(x, y, kind="slinear")  # 一次样条插值
f4 = interp1d(x, y, kind="quadratic")  # 二次样条插值
f5 = interp1d(x, y, kind="cubic")  # 三次样条插值
f6 = interp1d(x, y, kind="nearest")  # 临近点插值，向下舍入
f7 = interp1d(x, y, kind="nearest-up")  # 临近点插值，向上舍入
f8 = interp1d(x, y, kind="previous")  # 前点插值
f9 = interp1d(x, y, kind="next")  # 后点插值# 绘图
plt.figure('spline',figsize=(8,6))
plt.suptitle("Data interpolate")  # 全局标题
plt.subplot(221)
plt.plot(x, y, "o",  label="data")  # 已知数据点
plt.plot(xnew, f2(xnew), label="0-order spline")  # 零阶样条插值
plt.plot(xnew, f3(xnew), label="1-order spline")  # 一阶样条插值
plt.legend(loc="lower left")
plt.subplot(222)
plt.plot(x, y, "o",  label="data")  # 已知数据点
plt.plot(xnew, f4(xnew), label="2-order spline")  # 二阶样条插值
plt.plot(xnew, f5(xnew), label="3-order spline")  # 三阶样条插值
plt.legend(loc="lower left")
plt.subplot(223)
plt.plot(x, y, "o",  label="data")  # 已知数据点
plt.plot(xnew, f1(xnew), label="linear")  # 线性插值
plt.plot(xnew, f6(xnew), label="nearest")  # 临近点插值，向下舍入
plt.plot(xnew, f7(xnew), label="nearest-up")  # 临近点插值，向上舍入
plt.legend(loc="lower left")
plt.subplot(224)
plt.plot(x, y, "o",  label="data")  # 已知数据点
plt.plot(xnew, f8(xnew), label="previous")  # 前点插值
plt.plot(xnew, f9(xnew), label="next")  # 后点插值
plt.legend(loc="lower left")
plt.show()

2.3 外插法——UnivariateSplin

(1)参数

class scipy.interpolate.UnivariateSpline(x, y, w=None, bbox=[None, None], k=3, s=None, ext=0, check_finite=False)

主要参数：

x：一维数组，数值必须递增。
y：一维数组，数组长度必须与 x 相等。
w：一维数组，正数，可选项。每个数据点的权重，默认所有点的权重相等。
k：整数，可选项。样条函数的阶数，1 ≤ k ≤ 5 1 \leq k \leq 51≤k≤5，默认值为 3。
s：实数，可选项，平滑参数：

ext：整数或字符串，可选项。用于控制外推插值的方案：

(2)案例

(3)代码实现

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt  # 导入 Matplotlib 工具包
import matplotlib as mpl
mpl.rcParams["font.sans-serif"] = ["SimHei"]
mpl.rcParams["axes.unicode_minus"] = False
from scipy.interpolate import UnivariateSpline  # 导入 scipy 中的一维插值工具 UnivariateSpline# 生成已知数据点集 (x,y)，需插值的数据点集 xnew
x = [-1.00,-0.54,0.13,1.12,1.89,2.06,2.54,2.82,3.50]  # 已知数据 x
y = [2.46,-5.26,-1.87,0.05,1.65,2.69,4.56,7.89,10.31]   # 已知数据 y
xnew = np.linspace(-1.0, 3.5, 9)
#x = np.linspace(0, 10, num=11, endpoint=True)  # 生成已知数据点集的 x
#y = np.cos(-x**2/9.0)  # 生成已知数据点集的 y
#xnew = np.linspace(-0.5, 10.5, 110)  # 指定需插值的数据点集 xnew(np.linspace:等差数列）
#np.logspace()：等比数列# 使用 UnivariateSpline 插值工具，由给定数据点集 (x,y) 求插值函数 fSpl
fSpl1 = UnivariateSpline(x, y, s=0)  # 三次样条插值，s=0：插值函数经过所有数据点
y1 = fSpl1(x)  # 由插值函数 fSpl1 计算插值点的函数值 y1fSpl2 = UnivariateSpline(x, y)  # 三次样条插值，默认 s= len(w)
y2 = fSpl2(xnew)  # 由插值函数 fSpl2 计算插值点的函数值 y2fSpl2.set_smoothing_factor(0.1)  # 设置光滑因子 sf
y3 = fSpl2(xnew)   # 由插值函数 fSpl2(sf=0.1) 计算插值点的函数值 y3
x1,x2=-0.02,2.56
y4= fSpl1(x1)
y5= fSpl1(x2)
print(y4)
print(y5)# 绘图
plt.figure('spline interplote',figsize=(8,6))
plt.plot(x, y, 'ro', ms=5, label="data")
plt.plot(xnew, y1, 'm', label="3rd spline interpolate")
plt.plot(xnew, y2, 'g', label="3rd spline fitting")
plt.plot(xnew, y3, 'b--', label="smoothing factor")
plt.title("Data interpolate with extrapolation")
plt.xlabel('X')
plt.ylabel('Y')
plt.legend(loc="best")
plt.show()

(4)结果

-2.9957315493977403
4.730209292889377

3 Scipy二维实现

3.1概述

3.2 参数

class scipy.interpolate.interp2d(x,y,z,kind=‘linear’,copy=True,bounds_error=False,fill_value=None))

主要参数：

x,y：一维数组，给定数据点集的 x,y 值。
z：一维数组，给定数据点集对应的函数值 z。
kind：字符串或整数，可选项，指定使用的样条曲线的种类或插值方法：‘linear’ 表示线性插值，‘cubic’ 表示三次插值，‘quintic’ 表示五次插值。默认值为 ‘linear’，即线性插值。

3.3 代码实现

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.interpolate import interp2d  # 导入 scipy 中的二维插值工具 interp2d# 生成已知数据网格点集 (xw,yw,z)
x = np.linspace(-1, 2.5, 25)  # x 是一维数组 ,默认50个数（等差）
y = np.linspace(-1, 1, 20)  # y 是一维数组
xw, yw = np.meshgrid(x, y)  # 生成网格点的坐标 xw,yw (二维数组)
z = np.cos((xw**2+yw**2))  # 计算数据网格点的值 z=f(xx,yy)
print("shape of original dataset:\n\txw:{},yw:{},z:{}".format(xw.shape,yw.shape,z.shape))# 由给定数据网格点集 (xw,yw,z) 求插值函数 fInterp: xw,yw,z 都是形状相同的二维数组
fInterp = interp2d(xw, yw, z, kind='cubic')  # 三阶样条插值# 由插值函数 fInterp 计算需插值的数据点的函数值
xnew = np.linspace(-1, 2.5, 150)  # xnew 是一维数组
ynew = np.linspace(-1, 1, 1000)  # ynew 是一维数组
znew = fInterp(xnew, ynew)  # 计算插值函数 fInterp 在 (xnew, ynew) 所描述网格点集的函数值
print("shape of interpolation dataset:\n\txnew:{},ynew:{},znew:{}".format(xnew.shape,ynew.shape,znew.shape))# 绘图
plt.figure('interp2d',figsize=(10, 6))
ax1 = plt.subplot(1, 2, 1, projection='3d')
ax1.set_title(" original data")
# ax1.plot_wireframe(xw, yw, z, rstride=2, cstride=2, linewidth=1)
surf = ax1.plot_surface(xw, yw, z, rstride=2, cstride=2, cmap=plt.cm.coolwarm)
ax1.set_zlabel('zData')
xwnew, ywnew = np.meshgrid(xnew, ynew)  # 将一维数组 xnew, ynew 转换为网格点集（二维数组）
print("\txwnew:{},ywnew:{},znew:{}".format(xwnew.shape,ywnew.shape,znew.shape))
ax2 = plt.subplot(1, 2, 2, projection='3d')  # 3D 绘图要求 x,y,z 都是 n*m 二维数组
ax2.set_title(" interpolation data")
ax2.plot_wireframe(xwnew, ywnew, znew, rstride=2, cstride=2,linewidth=1)
surf2 = ax2.plot_surface(xwnew, ywnew, znew, rstride=2, cstride=2, cmap=plt.cm.coolwarm)
ax2.set_zlabel('zInterp')
plt.show()

3.4 结果

4 致谢

https://blog.csdn.net/youcans/article/details/119139374

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